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必修二数学教案 学案(全册)-4.1.2圆的一般方程

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4. 1.2 圆的一般方程 【教学目标】 1. 使学生掌握圆的一般方程的特点; 能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆 心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 2.使学生掌握通过配方求圆心和半径的方 法,熟练地用待定系数法由已知条件导出 圆的方法, 熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程, 培养学生用配方法和待定系数法 解决实际问题的能力. 3. 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法 打下牢固的基础. 【教学重难点】 教学重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法, 由已知条件导出圆的方程. 教学难点:圆的一般方程的特点. 【教学过程】 (一)情景导入、展示目标 前面,我们已讨论了圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r ,现将展开可得 x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 可见, 任何一个圆的方程都可以写成 x +y +Dx+Ey+F=0. 请 大家思考一下:形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这 一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程” . (二)检查预习、交流展示 1.写出圆的标准方程. 2.写出圆的标准方程中的圆心与半径. (三)合作探究、精讲精练 探究一:圆的一般方程的定义 1.分析方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的轨迹 将方程 x +y +Dx+Ey+F=0 左边配方得: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) (1)当 D +E -4F>0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程 2 2 半径的圆; (3)当 D +E -4F<0 时, 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 没有实数解, 因而它不表示任何图形. 这时,教师引导学生小结方程 x +y +Dx+Ey+F=0 的轨迹分别是圆、 2 2 2 2 2 2 法. 2.引出圆的一般方程的定义 当 D +E -4F>0 时,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程. 探究二:圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题: 问题:比较二元二次方程的一般形式 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0. (2) 与圆的一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0,(D +E -4F>0). (3) 的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论. 当二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 具有条件: (1)x 和 y 的系数相同,不等于零,即 A=C≠0; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)没有 xy 项,即 B=0; (3)D +E -4AF>0. 它才表示圆.条件(3 )通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出. 强调指出: (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件; (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件. 例1 2 2 2 求下列圆的半径和圆心坐标: 2 (1)x +y -8x+6y=0, (2)x +y +2by=0. 解析:先配方,将方 程化为标准形式,再求圆心和半径. 解:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为 b. 点拨:由 圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握. 变式训练1: 1.方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示圆的充要条件是

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