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四川省成都七中高2015届高三上学期期中考文科数学试题


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成都七中高 2015 届高三上学期期中数学试题(文科)
满分 150 分,考试时间 120 分钟 出题人:江海兵 审题人:廖学军 一、选择题,本大题有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题有一个正确选项,请 将正确选项涂在答题卷上.

1 1. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3, b ? 2.cos( A ? B ) ? ,则 c ? ( ) 3 A. 4 B. 15 C. 3 D. 17 答案: D 1 1 解析: cos C ? ? , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 9 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2(? ) ? 17 3 3 2. 《张丘建算经》卷上第 22 题为:今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一 天多织相同量的布,若第 1 天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布,则每天 比前一天多织________尺布。 (不作近似计算) ( ) 1 8 16 16 A. B. C. D. 2 15 29 31 答案:C 解析: 由题可知,是等差数列,首项是 5,公差为 d ,前 30 项和为 390.根据等差数列前 n 项 30 ? 29 16 d ,解得 d ? 和公式,有 390 ? 30 ? 5 ? . 29 2 1 3.若 f(x ) ? ? x 2 ? b ln(x ? 2)在(?1, ) ??)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[?1, ??) B.(?1, ??) C.(??, ?1) D.(??, ?1] 答案:D b ? 0 ,在 x ? (?1, ??) 上恒成立, 解析:由题意可知 f ?( x) ? ? x ? x?2 即 b ? x( x ? 2) 在 x ? (?1, ??) 上 恒 成 立 , f ( x) ? x( x ? 2) ? x2 ? 2x 且 x ? (?1, ??) ? f ( x) ? ?1 故答案为 b ? ?1 ,选 D ? 要使 b ? x( x ? 2) ,需 b ? ?1 4.已知 c>1, a ? c ? 1 - c , b ? c - c ? 1 ,则正确的结论是( ) A.a<b B.a>b C.a=b D.a、b 大小不定 答案:A 1 1 b ? c - c ? 1= 解析:a ? c ? 1 - c ? , 易看出分母的大小, c ?1 ? c c ?1 ? c 所以 a<b 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 , n ? N * ,则 a2015 等于( 3an ? 1

)

A. 0
答案:B

B. ? 3

C.

3
·1 ·

D.

3 2

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解析:根据题意,由于数列{an}满足 a1=0,an+1=

an ? 3 ,那么可知∴a1=0,a2=3a n ? 1

3 ,

a3= 3 ,a4=0,a5=- 3 ,a6= 3 ?,故可知数列的周期为 3,那么可知 a2015 ? a2 ? ? 3 , 选 B. 6.在 ?ABC 中,若 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,且 cos 2B ? cos B ? cos( A ? C) ? 1 , 则有( ) D .a , b, c C .a, b, c 成等差数列 A .a, c, b 成等比数列 B .a, c, b 成等差数列 成等比数列 答案:D 解析:由 cos 2B ? cos B ? cos( A ? C ) ? 1 变形得: cos B ? cos( A ? C ) ? 1 ? cos 2B ,

cos B ? cos ?? ? ( A ? C)? ? ? cos( A ? C),cos 2B ? 1 ? 2sin 2 B ,

∴上式化简得: cos( A ? C) ? cos( A ? C) ? 2sin B2 ,??2sin A sin(?C) ? 2sin 2 B , 即 sin A sin C ? sin 2 B ,由正弦定理 a : sin A ? b : sin B ? c : sin C 得: ac ? b2 ,则 a, b, c 成等 比数列.故选 D

MD 3 3 7.设 M 是 ?ABC 所在平面上的一点,且 MB ? MA ? MC ? 0, D 是 AC 中点,则 的 2 2 BM
值为( 1 A. 3 答案: A )

B.

1 2

C. 1

D. 2

MD 1 3 3 解析: D 为 AC 中点,? MB ? ? ( MA ? MC ) ? ? ? 2 MD ? ?3MD ? ? 2 2 MB 3
8.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ?
9 , x ? (0, 4), 当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值 b ,则在直角坐标 x ?1

1 系中函数 g ( x) ? ( )| x ?b| 的图像为( a



答案:B 解 析 :

因 为 x ∈ ( 0 , 4 ) , ∴ x+1 > 1 , 故 9 9 f ( x) ? x ? 4 ? ? x ?1? ? 5 ? 2 9 ? 5 ? 1, x ? (0, 4), x ?1 x ?1 9 当且仅当 x ? 1 ? 时取得等号,此时函数有最小值 1,∴a=2,b=1,可知 g(x)的解析 x ?1 式进而作图可知结论选 B.
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9.下列说法正确的是( ) A.函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? a 可能有两个交点; B.函数 y ? log2 x2 与函数 y ? 2log2 x 是同一函数; C.对于 ? a, b? 上的函数 y ? f ( x ) ,若有 f (a) ? f (b)<0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在 ? a, b? 内有零 点; D.对于指数函数 y ? a x ( a>1 )与幂函数 y ? xn ( n>0 ),总存在一个 x0 ,当 x>x0 时,就 会有 a x>x n . 答案:D 解析:因为选项 A 中最多有个交点,选项 B 中,不是同一函数,定义域不同,选项 C 中, 函数不一定是连续函数,故选 D. 15 10.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ? x ? 9 都相切,则 a ? ( ) 4 25 21 7 25 7 A. ?1 或 ? B. ?1 或 C. ? 或 ? D. ? 或 7 64 4 64 4 4 答案:A 解 析 : 由 y ? x3 求 导 得 y ' ? 3x2 设 曲 线 y ? x3 上 的 任 意 一 点 ( x0 , x03 ) 处 的 切 线 方 程 为 3 y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 ) ,将点 ?1,0 ? 代入方程得 x0 ? 0 或 x0 ? . 2 15 25 (1)当 x0 ? 0 时:切线为 y ? 0 ,所以 ax 2 ? x ? 9 ? 0 仅有一解,得 a ? ? 4 64 27 27 ? y? x? ? 3 27 27 4 ? 4 4 x? (2)当 x0 ? 时:切线为 y ? ,由 ? 得 ax 2 ? 3 x ? ? 0 仅有一解, 2 4 4 9 ? y ? ax 2 ? 15 x ? 9 ? ? 4 得 a ? ?1 . 25 综上知 a ? ?1 或 a ? ? . 64 二、填空题,本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填在答题卷上. 11. sin155 cos35 ? cos 25 cos 235 ? __ . 3 答案: 2 解析:略 1 12.已知指数函数 y ? f ( x) ,对数函数 y ? g ( x) 和幂函数 y ? h( x) 的图像都过 P( , 2) ,如 2 果 f ( x 1) ? g ( x2 ) ? h( x3 ) ? 4 ,那么 x1 ? x2 ? x3 ? 3 答案: 2 1 1 1 1 x c 2 f ( ) ? a ? 2, g ( ) ? log b ? ? log b 2 ? 2 , 解析:令 f ( x) ? a , g ( x) ? logb x, h( x) ? x 则 2 2 2
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1 1 h( ) ? ( ) c ? 2 2 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 2

? a ? 4, b ?

2 1 1 , c ? ?1? f ( x1 ) ? 4 x1 ? 4 ? x1 ? 1, x2 ? , x3 ? 2 4 4

13.已知 a ? 6, b ? 6 2, 若ta ? b与ta ? b 的夹角为钝角,则t的取值范围为 答 案 : (? 2,0) (0, 2) 解 析 :
2 2

t ? 与 a?

的夹角为钝角 b

t

, a

?

b

(ta ? b)( ? ta ? b) ? 0,?t 2 a ? b ? 0,?36t 2 ? 72 ? 0,?? 2 ? t ? 2 , 又 因 为 ta ? b 与 ta ? b 不 共 线 , 所 以 t ? 0 , 所 以 t ? (? 2 , 0 ) ( 0 , 2 ) 2 14. 已 知 命 题 p : 函 数 f ( x) ? x ? a x? 2在 [?1,1] 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 . 命 题 q : 1 3 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,实数 a 的取值范 2 2 围是 . 5 答案: a ? ? 2 提示:先确定 p 且 q 为真命题的 a 的取值范围,然后取补集可得结果. 1 1? ? 15.给出定义: 若 x ? ? m ? , m ? ? , (m ? Z ) , 则 m 叫做实数 x 的 “亲密函数” , 记作 ?x? ? m , 2 2? ? 在此基础上给出下列函数 f ( x) ? x ? ? x? 的四个命题:
①函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,1) 上是增函数;②函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; k ③函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? (k ? Z ) 对称; 2 ④当 x ? ? 0, 2? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中正确命题的序号是 答案:②③④ ? 1 1? ? 1 3? 解析: x ? ? ? , ? 时, f ( x ) ? x ? ? x? ? x ? 0 ,当 x ? ? , ? 时, f ( x) ? x ?1 ? 2 2? ? 2 2? ? 3 5? 当 x ? ? , ? 时, f ( x) ? x ? 2 ,作出函数的图像可知①错,②,③对,再作出 y ? ln x 的 ? 2 2? 图像可判断有两个交点,④对 三、解答题,本大题共 6 个小题,共 75 分,请将答案及过程写在答题卷上. ? 16.(12 分)已知函数 f ( x) ? 3 cos 4 x ? 2 cos 2 (2 x ? ) ? 1 4 ? ? ?? (1)求 f ( x) 得最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的取值范围. ? 6 4? ? ? ? 解析: (1) f ( x) ? 3 cos 4 x ? cos(4 x ? ) ? 3 cos 4 x ? sin 4 x ? 2sin(4 x ? ),?T ? 2 3 3
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(2)
? ? 3, 2 ? ? ?

?

?
6

?x?

?
4

,??

?
3

? 4x ?

?
3

?

4? 3 ? ,?? ? sin(4 x ? ) ? 1 ? f ( x) 的 取 值 范 围 为 3 2 3
2n ?1 an (n ? N *) . an ? 2 n

17. (12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?
? 2n ? ? an ?

(Ⅰ)证明数列 ? ? 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? n(n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 解析:(Ⅰ)由已知可得
? 2n ? ? an ?
an ?1 an ? n ?1 2 an ? 2 n
2n ?1 2n 2 n ?1 2 n ? ? 1, ? ? 1 ,即 an ?1 an an ?1 an

,所以

∴数列 ? ? 是公差为 1 的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得
2n 2 2n ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ an ? . an a1 n ?1

.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, bn ? n ? 2n ,所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? n ? 2n , n ?1 n ?1 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? n ? 2n ?1 ,相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 2 ? 2 ? n ? 2 , ∴ Sn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 18.(12 分) ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 AC 的长为 3(百米) ,底 AB 的长 为 4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF (宽度不计) ,将该空地分成一个四 边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为 S1 和 S2 . (1)若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; S (2)若小路的端点 E , F 两点分别在两腰上,求 1 得最小值. S2 3 3 3 ? F 不在 BC 上, ?3 ? ? 4, 解: (1) E 为 AC 中点,? AE ? EC ? , 故 F 在 AB 上, 2 2 2 7 可得 AF ? , 2 2 15 30 cos A ? , 在 ?ABC 中, 在 ?AEF 中,EF 2 ? AE 2 ? AF 2 ? 2 AE ? AF cos A ? , ? EF ? 3 2 2 (2)若小路的端点 E , F 两点分别在两腰上,如图所示, C 设 CE ? x, CF ? y ,则 x ? y ? 5 1 CA ? CB sin C E S1 S ?ABC ? S ?CEF S ?ABC 9 9 11 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? ?1 ? ? 1 ? 2 1 S2 S ?CEF S ?CEF xy 25 A ? x? y? CE ? CF sin C ? ? 2 ? 2 ?

F B

当且仅当 x ? y ?

5 11 S 时取等号,故 1 的最小值为 . 2 25 S2
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3 19.(12 分)关于 x 的不等式 2 . (Ⅰ)当 m ? 1 时,解此不等式; -

? ) ? ? (Ⅱ) 设函数 f(x ) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |), 当 2 为何值时, 3 恒成立? 解析: (1) 当 m ? 1 时, 原不等式可变为 0 ?| x ? 3 | ? | x ? 7 |? 10 , 可得其解集为 {x | 2 ? x ? 7}. (2)设 t ?| x ? 3| ? | x ? 7 | ,则由对数定义及绝对值的几何意义知 0 ? t ? 10 , 因 y ? lg x 在(0,? ?)上为增函数, 则 lg t ? 1,当t ? 10,x ? 7 时, lg t ? 1 , 故只需 m ? 1 即可,即 m ? 1 时, f(x ) ? m 恒成立.

M (1,

3

?x ? 1 ? 1 20.(13 分)设 x ,y 满足约束条件: ? y ? x 的可行域为 M 2 ? ? 2x ? y ? 10 (1)求 A ? y ? 2x 的最大值与 B ? x 2 ? y 2 的最小值; ?x ?x ?? ?? (2)若存在正实数 a ,使函数 y ? 2a sin ? ?2 ? 4? ? cos? ?2 ? 4? ? 的图象经过 ? ? ? ? 区域 M 中的点,求这时 a 的取值范围. ? ? ? x ? 1 ?x ? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 1 1 ,得 ? 1 ∴ A(1, )由 ? 解:(1)由 ? ,得 ? y ? x y ? 2 ?2x ? y ? 10 ?y ? 8 ? ? 2 2 ? ? ∴ B(1, 8) ?2x ? y ? 10 ? ?x ? 4 1 由? ,得 ? ∴ c(4, 2),可行域 M 为如图 ?ABC y ? x y ? 2 ? ? 2 ? 1 1 ∵ k AC ? ,又∵ A ? y ? 2x ∴ y ? 2x ? A,A 是 y 轴的截距, k ? 2 ? k AC ? 2 2 2 2 ∴过点 B(1, 8)时,A最大 ? 8 ? 2 ? 1 ? 6 ∵ B ? x ? y 是表示区域 M 上的点(x ,y )到原 点 O(0, 0)距离平方.
?1? 1 2 如图 A(1, )使所求距离的平方最小,∴ B 最小 ? 1 ? ? ?2? ? 2 ? ?
2

?

5 . 4

i n ( (2) ∵ a ? 0 y ? 2a s

x
2

?

?
4

)c o s (

x
2

?

?
4

)? as i n ( x ?

?
2

)? ac o s x 过区域 M 中

的点,而区域中 1 ? x ? 4 又∵ a ? 0 ,函数 y ? a cos x 图象过点(

?
2

, 0), 1 ?

?
2

? 4,

? ? 3? ? 3? ? 4 ∴满足 y ? a cos x 过区域 M 中的点,只须图象 当x ? ? ?2 , 2 ? ? 时,y ? 0, 2 ? ? 1 1 1 与 射 线 x ? 1,(y ? ) 有 公 共 点 . ∴ 只 须 x ? 1 时 , a cos 1 ? ? a ? 2 2 2 cos 1
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? 1 ? , ?? ? ∴所求 a 的取值范围是 a ? ? ?. ? 2 cos 1 ? 1 21.(14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ? f ?( x) ? sin x ,其中函数 g ( x) 在 ??1,1? 上是减函 2 数. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
(2)若 g ( x) ? ? ? 3sin1 在 x ???1,1? 上恒成立,求 ? 得取值范围.
?1 ? (3)关于 x 的方程 ln f ( x ? 1) ? 2 x ? m , x ? ? ? 1.e ? 1? 有两个实根,求 m 的取值范围. ?e ? 2 解析: ( 1 ) f ( x) ? x ,? f ?( x) ? 2x, f ?(1) ? 2 , ? 在 点 ( 1 , f ( 1处 ) )的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 2( x ? 1) , 即 2x ? y ?1 ? 0 (2) g ( x) ? ? x ? sin x,? g ?( x) ? ? ? cos x, g ( x) 在 ??1,1? 上单减? g ?( x) ? 0 在 ??1,1? 上恒

成立, 即 ? ? ? cos x 在 ??1,1? 上 恒 成 立 , ? ? ? ?1 , 又

?? g ( x? )m

g ( x) 在 ??1,1? 单 减 ,

? ? ? ?2sin1 g ( x) ? ? ? 3sin1 在 x ???1,1? 上恒成立, ? 只需 ?? ? sin1 ? ? ? 3sin1 恒成立,

a x

? g(? 1 ? ) ? ?

s i n 1

sin 30 ? sin1,1 ? 2sin1,??2sin1 ? ? ? ?1 (3)由(1)知 f (1 ? x) ? (1 ? x ) 2? 方程为 ln(1 ? x)2 ? 2x ? m ,设 h(x) ? ln(1 ? x ) 2? 2 x ?m , 2 则方程 ln(1 ? x) ? 2x ? m 根的个数即为函数 h( x) 图像与 x 轴交点的个数. 2 ?2 x h?( x) ? ?2 ? ,当 x ? (?1, 0) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 (?1, 0) 上为增函数, 1? x 1? x 当 x ? (??, ?1) (0, ??) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 x ? (??, ?1)和(0, ??) 都是减函数. ? 1 ? ? h( x ) 在 ? , 0 ? 上为减函数,在 ? 0, e ?1? 上为减函数. ? e ?1 ? 1 2 ? 1 ? ? h( x ) 在 ? , e ? 1? 上的最大值为 h(0) ? m ,又 h( ? 1) ? m ? , h(e ? 1) ? m ? 4 ? 2e e e ? e ?1 ? ? 1 ?h( e ? 1) ? 0 ? 2 2 且 2e ? 4 ? , ? 所求方程有两根需满足 ? h(0) ? 0 ? 0 ? m ? 时原方程有两根, e e ? h(e ? 1) ? 0 ? ? ? 2? ? m ? ? 0, ? ? e?

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