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2.2-2.3等差与等比数列求和习题(苏教版必修5)


等差与等比数列求和习题
2 2 1.设{an}是首项为 1 的正项数列, ?n ? 1?an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 ( n =1,2,3,…), an =________. 且 则

2.数列{an}中,a1 =1,当 n≥2 时,n2= a1 a2 ? an 恒成立,则 an ?

. .

r />3.数列{an}中,a1+2a2+3a3+…+nan =n(n+1)(n+2) ,则 an ? . n+1 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+…+(-1) (4n-3),则 S15+S22-S31= 5.已知数列{an}中, an ? 6. 1 ?
1 ,则 Sn= n ? n ?1

. .

1 1 ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?(n ? 1)

7.设函数 f(x)满足 2f(n+1)=2f(n)+n,f(1)=2 则 f(20)= . 8.已知等比数列的前 n 项和为 Sn,若 S3 :S2=3:2,则公比 q = 9.在等差数列{an}中,若 S4=21,an-3+an-2+an-1+an=67, Sn=286,则 n = 10.已知数列{an}, (1)若 a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,则 an ? (2)若 a1 ? 1, an ?1 ? n an ,则 an ? n ?1 (3)若 a1 ? 1, an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2) ,则 an ? (4)若前 n 项和 Sn=3n2+n+1,则 an ? (5)若 a1 ? ; ; ; ; ;

. .

1 , Sn ? n2an ,则 an ? 2

11.设 a1=2,a2=4,bn=an+1-an,bn+1=2bn+2, (1)求证:数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

12.已知数列{an}的前 n 项为 Sn,且满足 a n ? 2 S n ? S n?1 ? 0( n ? 2), a1 ? (1)求证 ? 1 ? 是等差数列; ? ? ? Sn ? (2)求 an .

1 2

1

13.设数列{an}满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (1)求数列{an}的通项;

n , a ? N* . 3

(2)设 anbn=n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

14.正数数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 2 S n ? a n ? 1,求: (1) 数列{an}的通项公式; (2) b ? 设 n
1 , 数列{bn}的前 n 项的和为 Bn, 求证: n<1 2B an an ?1

15.数列{an}中,a1=8,a4=2,,满足 an+2-2an+1+an=0,n=1,2, … (1)数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn ? (n ? N *), S n ? b1 ? b2 ? ?bn ,是否存在最大的整数 m,使得任意的 n n(12 ? a n ) 均有 S n ?

m 总成立,若存在求出 m,若不存在说明理由. 32

2

参考答案
1、

1 n

2、 a ? ? 2 ?? n ? n

?1, n ? 1

3、3n+3

4、-76

5、 n ? 1 ? 1

?? n ? 1 ? , n ? 2 ? ??

6、

n n?2
(2)

7、97

8、1 或 ? (4) ?

1 2

9、26 (5)
1 n(n ? 1)

10(1)n2

1 n

(3)2n-1

?5,n ? 1 ?6n ? 2, n ? 2

11、证明:?

bn ?1 ? 2 (2bn ? 2) ? 2 ? ? 2 ,又 b1 ? 2 ? 4 bn ? 2 bn ? 2

? 数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列。
解:?bn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1, bn ? 2n ?1 ? 2 ? 由累加法知

an ? 2n ?1 ? 2n
1 1 ? ?2 Sn Sn ?1

12、解: (1) n ? 2 时,由题知,Sn-Sn-1=-2 SnSn-1 即



1 ?2 S1 1 ? 2n Sn

故?

?1? ? 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列。 ? Sn ?

?

(2) n ? 2 时,an=Sn-Sn-1=

1 2n( ? n) 1
3
3

13、解: (1)由题知 n ? 2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? n 且 a1 ? 3a2 ? ? ? 3n ? 2 an ?1 ? n ? 1 两式相减知 3
n ?1

an ?

1 1 , 故 an ? n 。 3 3 1 。 3n

验证 n ? 1 也符合。 故数列{an}的通项 an ? (2)由题知 bn ? n ? 3
n

由错位相减 Sn ? 3 ? 2 ? 3 ? ?n ? 3
2

n

3

3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? n ? 3n ?1
知 Sn ?

3 n 1 n ?1 ? ( ? )3 4 2 4

14、解: (1)由题知 Sn ? Sn ?1 ? 1又 S1 ? 1 故 Sn ? n 2

? n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1, an ? 2n ? 1 ?
又 n ? 1 ,符合上式。 故 an ? 2n ? 1 (2)? bn ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? Bn ? (1 ? ),又 n ? 1故Bn ? 2 2n ? 1 2

15、解: (1)由题知{an}是首项为 8,公差为-2 的等差数列,

? an ? 10 ? 2n
(2)? bn ?

1 1 1 1 1 ( ? ) ,? S n ? (1 ? ) 2 n n ?1 2 n ?1 m 要使得任意的 n 均有 S n ? 总成立, m ? (32Sn )min 即可。 32

?32Sn ?[8,16) ,?m ? 7 即可。

4


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