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2.3幂函数1


一、幂函数定义:

y? 一般地, 函数 中 是自变量, ?

x

x

叫做幂函数,其 是常数。

?

幂函数与指数函数的区别:

y?x
y?a

?

自变量在底数位置;指数为常数



x

自变量在指数位置;底数为常数。

讨论幂函数 y 的图像.即

?x

?

1 , ? ? 1, 2, 3, 2 , ?1.

?1? y ? x ? 2? y ? x ?3? y ? x
2

?1

? 4? y ? x ? 5 ? y ? x
3

1 2

y 8 7 6 5 4

y?x

3
2 1

-8 -7 -6 -5

-4 -3 -2

-1 o 1 -1 -2

2

3

4

5

6 7 8

x

-3 -4
-5 -6 -7 -8

8

y

7
6 5 4 3 2 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
C

y?x

2

2

3

4

5

6 7 8

x

4 3 2 1

y

y?x

?1

-4

-3

-2

-1 -1 -2

o

1

2

3

4

x

-3 -4

y 8 7 6 5 4

?

y?x

3

3
2 1 ? 2 3 4 5 6 7 8 x ? -4 -3 -2 -1 o 1 ? -1 -2

-8 -7 -6 -5

-3 -4
-5 -6 -7 ? -8

… -2 -1 0 1 2 … y=x3 … -8 -1 0 1 8 …
x

4 3 2 1

y

y?x
? ? o ? ? ?

1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

X

0 1 2 3
1 2

4
3 2

-1 -2 点击观察幂函数图象

y?x

0 1

2

-3 -4

y

y ? x2
6 4

y=x

2

-5

1

1
0
-2 -4

5

x y=x y=x2
R
[0,﹢∞)

y=x3
R
R 奇

y=x

1 2

y=x-1
{x |x≠0} {y |y≠0} 奇
(0,﹢∞) (﹣∞,0)

-6

定义域 值 域

R
R 奇

[0,﹢∞)
[0,﹢∞)

奇偶性
单调性 公共点


[0,﹢∞) (﹣∞,0)

非奇 非偶

(1,1)

y
点击观察 图象

? ?1

? ?1
0 ?? ?1 ? ?0

1

幂函数的性质 :

o

1

x

(1)所有幂函数在(0,+ )上都有意义,并且 图 象都经过点(1,1) (2)如果 >0,则函数的图像经过原点,且 在区间[0,+ )上是增函数; 是减函数

?

? ? (3)如果 ? <0,则函数在区间(0,+ ?)上

练习3:下列函数图象中,表示

y?x

2 3 的是 (

D)

y A -3 o y C x D
3

y x B

o
y

x

x

例1.证明幂函数f(x)= x

在[0, ﹢∞)上是增函数.

证明:任取x1,x2∈[0, ﹢∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

x1 - x2

( x1 - x )( x + x ) 2 2 1 =

x1 ? x 2 ? x1 ? x2
因为x1-x2<0,
x1 ? x2 ? 0

x1

+

x2

所以f(x1)<f(x2),即幂函数f(x)= x 在[0, ﹢∞) 上是增函数

例2.比较下列各组数的大小:
(1)
(3)

1.5 ,1.7

1 2

1 2

(2)
(4)

?8 , ?( )
1 9

?7 8
1 4

7 8

0.7 ,( 3 )
1 2
1 3

?

2 ?

3 ,5
2 5 ?3 2

1 2

练习5:比较下列各组数的大小:
(1) (3)

( ) ,( )
2 3

1 3

(2)

?( ) , ?( )
3 4

2 3

6 ,( )
1 7

2 5

5 ?6

(1)且
1 ∴ 2

y?x

1 3

?2 , 3
1 1 3 2

( ) ?( )

1 2 3 3

(2)

?( ) , ?( )
3 4

2 5 ?3 2

2 3

解:



( ) ?( ) ,
2 5

2 5 ?3 2

2 3

又∵幂函数 y
2 且 5

? ,
3 4

?x

2 3

在[0, ﹢∞)上单调递增,



( ) ?( )
2 ? 5 3 2

1 2 3 5

1 3 3 4
2 3

3 ?( ) ? ?( 4 )



(3)
∵ 又∵ ∵

6 ,( )

2 5

5 ? 1 6 7

( )
1 7
2 5

?5 6
5 6

?7
5 6

5 6

6 ?6 ?7

6 ?( )
1 7

2 5

?5 6

课堂小结: 1.幂函数的定义 2.幂函数的图象及性质
3.幂值大小的比较方法.


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