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组合数的两个性质 (1)


组合数的两个性质

复习
? 一.组合的定义 ? 二.组合数公式的两种形式

A C ? A
m n

m n m m

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? m ? 1) ? m!

C

m n

n! ? m!(

n ? m)!

新课引入
利用组合数公式考察: 9 7 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
? C 11 ? 11! ? 11 ? 10 9!2! 2! 2 11 ? 10 ? 11 2!
9

C

3 10

;

C

10 ! 10 ? 9 ? 8 C10 ? ? 7!3! 3! 3 10 ? 9 ? 8 ? C10 3!
7

? C 11 ? C 11

9

2

? C10 ? C10

3

7

组合数的性质

用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n-m个不同的元素的方法

C

m n

=

C

n?m n

即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等 于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数

性质一

C ?C
n
m n
n?m n

m

n?m n

证明: 根据组合数的公式有:

C
C

n! ? m!(n ? m)!
n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! n! ? m!(n ? m)!

练习: 计算

9?8 解: C 9 ? C 9 ? C 9 ? 2 ? 1 ? 36 100 ? 99 98 2 C100 ? C100 ? 2 ? 1 ? 4950 n m 注 (1)当m ? 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
7 9?7 2

C

7

9



C

98 100

(2)当m ? n时, 公式C n ? C n 变形为

m

n?m

C ?C
n

n

0

n
0

又 C n ? 1, 所以规定 : C n ? 1即0!? 1

n

例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? ? 2 7 ? 6 ?
? 21? ?C7 ? 2! ? ?
? 3 8? 7? 6 ? ? 56 ? ?C8 ? 3! ? ?

(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多 7?6?5 3 ? 少种取法? ? ? ? 35 ? ?
?

C

7

3!

?

C

3 8

? C7 ? C7

2

3

即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a2 ?, an ?1 这n ? 1个不同的

元素中取出m个的组合数是 C n?1

m

含有 a1的
元素与 a1 组成, 有 C n 个
m ?1

不含有 a1的
元素组成, 有 C n 个
m m ?1
m

从 a2 , a3?, an ?1中取出m ? 1个 从 a2 , a3?, an ?1中取出m个
m n ?1

C

? Cn ? Cn

用计算的方法验证 3 2 3 C 5 和C 4 ? C 4 的关系
5? 4 3 2 ?C 5 ? C 5 ? 2 ? 1 ? 10

C

5 8

和 C7 ? C7
5 3

5

4

8? 7? 6 ? C8 ? C8 ? ? 56 3 ? 2 ?1

C ?C ?C ?C ?C ? C ? C
4 4 4 3 5 3 2 4 4

3

2

1

2 4

? 4 ? 6 ? 10

C ?C ?C ?C
7 7 7

5

4

2

3 7

7?6 7?6?5 ? ? ? 21 ? 35 ? 56 2 ?1 3 ? 2 ?1 ?C8 ? C 7 ? C 7
5 5 4

C

m

? ? C n ?1 n Cn

m

m ?1

性质2
m n

证明:根据组合数公式有

C

m

? ? C Cn n ?1 n

m

m ?1

C

? Cn

m ?1

n! n! ? ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]!

n!( n ? m ? 1) ? n! m ? m!( n ? m ? 1)! ( n ? m ? 1 ? m) n! ? m!( n ? 1 ? m)! ( n ? 1)! ? m![( n ? 1) ? m]! ?

C

m n ?1

得证

例 题

计算 ? ? n ?1 n n 6 5 6 5 6 ? C 12 (C12 ? C12 ? C13 ? 1716) (1) C12 3 2 (2)C 8 ? C 7 ( 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 35) C7 C7 C7 C7 求证 m ?1 m ?1 m m ?1 C n ? C n ? 2 C n ? C n?2

C

m

C C

m

m ?1

证明 : 原式 ? (C n ? C n ) ? (C n ? C n )

m ?1

m

m

m ?1

? C n ?1 ? C n ?1
得证

m ?1 m ?1

m

? C n?2

课堂练习
一.计算 197 3 (1) ( 200) 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 ? C 7 ? C 8 ? C 9

C

C

(2)

C
5

n

? n ?1 C n
1

n ?1
1

{C n?1 ? C n ? n ? (n ? 1)}

(C 8 ? C 8 ? C 9)
(2)

4

5

C

m

C (C

m n ?1

? C n ? C n ?1 ? C n ?1
m m

m ?1

m

m ?1

m ?1 n

? ? C Cn n ?1 n

m

? C n ? C n ?1)
m ?1

C ?C
n

m

n?m n

小 结
性 质 应 用

C ?C
n

m

n?m n
m m ?1

证明

C

m n ?1

? Cn ? Cn

简化计算 等式证明

作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 ? 2 C 5 ? 2 C 5 ? 2 C 5 ? C 5

(2)证明:

C ?C
n

n

n n ?1

? C n ? 2 ? ? ? C n ? m ?1 ? C n ? m?1

n

n

n ?1

3.求值: (1)C ? C ? C ? C ? C ? C
4 5 4 6
2 4

4 7

4 8

4 9

4 10

(2)C ? C ? C ? C ? ?? C
1 3 3 5 4 6

39 41

4.已知C ? C ? C ? C ? ?C ? K
0 n 1 n 2 n 3 n n n

化简 : C ? 2C ? 3C ? ?(n ? 1)C
1 n 2 n 3 n

n ?1 n


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