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圆的标准方程PPT

时间:2016-10-03


解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

y




l : Ax ? By ? C ? 0

y0
0

P0 (x0,y0)

o

x

圆在坐标系下有什么样的方程?<

br />解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

x O

天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 书 山 路 勤勤 为 奋,努 径,学 崖 苦成 作 功! 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习,老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能

师生互动探究

1、什么是圆?
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.
2、确定圆有需要几个要素? 圆心--确定圆的位置(定位) 半径--确定圆的大小(定形)

二、探究新知,合作交流

探究一

已知圆的圆心c(a,b)及圆的 半径R,如何确定圆的方程?
y R
C(a,b)

P={M||MC|=R}
M

O

x

一.圆的标准方程 如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离. y M(x,y) 则 |MC|= R 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R } O C x

2 ( x ? a)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R
2 ? ( y ? b)

?

2 R

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

基础演练
1圆 (x-2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,半径r =__.

2圆(x+1)2+(y - 3) 2=a2,(a ? 0)的圆心,半径是?

练习、回答下列圆的圆心坐标和半径:

C1 : x ? y ? 5
2 2

(0,0)

5

C 2 : ( x ? 3) ? y ? 4 (3,0) r = 2 2 2 C 3 : x ? ( y ? 1) ? 2 (0,-1) , r = 2 2 2 C 4 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(-2,1) , r =

3

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是:

( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7)的坐标代入方程 左右两边相等,点 M 1的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢?圆上?还是在圆外呢?
y M2 M3

C

o

M1

x

2 2 2 M ( x , y ) 结论:点 0 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

的关系的判断方法: ( 1) 点在圆外: ( x0 ? a) ? ( y0 ? b)
2 2

?r
?r

2
2

2 2 点在圆上: ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ( 2)

( 3) 点在圆内: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2?

r

2

练习:

点P(1,5)与圆x2+y2=25的位置关系
A在圆外 C在圆内
) B在圆上 ( D在圆上或圆外

变式演练
圆心为A(3,?1) 半径长等于5的圆的方程 (
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5

)

B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式一 圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程?
变式二 以点(2,-3)为圆心且与x轴相切的圆 的方程?

变式演练
圆心为A(3,?1) 半径长等于5的圆的方程 (
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5

)

B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式三 圆心在C(8,-3),且经过原点的 圆的方程?
变式四 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合


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