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函数模型及其应用题目

时间:2015-03-27


函数模型及其应用题目
1. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD, CB 上分别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的 面积最大?并求出最大面积. 2.某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个,现在他采用提 高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售量就减少 10 个,问 他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 3.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如 果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由. 4.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台,需要加可变成 本 (即另增加投入) 0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台, 销售的收入函数为 R (x) =5x- x (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本? 5. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该月用水量分别 为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 6.1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题, 控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少? (2 ) 我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿, 若将人口平均增长率控制在 1%以内, 我国人口在 2008 年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用:
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2

函数模型及其应用题目
数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2

7.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下 的方法促销,买一台单价为 780 元,买二台单价为 760 元,依次类推,每多买一台单价均减少 20 元,但每台最低不低于 440 元;乙商场一律按原价的 75%销售,某单位需购买一批此类影碟机, 问去哪家商场购买花费最小. 8.某皮鞋厂今年 1 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双. 由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定 单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量 . 厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练 和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长,就月份 x,产量为 y 给出
1

四种函数模型:y = ax + b,y = ax2 + bx + c,y = a x 2 + b,y = abx + c,你将利用哪一种模型去估算以 后几个月的产量?

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函数模型及其应用题目
参考答案: 1.解: 设四边形 EFGH 的面积为 S,则 S△AEH=S△CFG= 1 x2,S△BEF=S△DGH= 1 (a-x) (b-x) ,
2 2

∴S=ab-2[ 1 x 2+ 1 (a-x) (b-x) ]=-2x2+(a+b)x=-2(x- a ? b ) 2+ (a ? b)
2

2

2

4

8

,

由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. 又 0<b<a,∴0<b< a ? b ,若 a ? b ≤b,即 a≤3b 时,
2 4

则当 x= a ? b 时,S 有最大值 (a ? b) ;
2

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8

若 a ? b >b,即 a>3b 时,S(x)在(0,b]上是增函数,此时
4
2

当 x=b 时,S 有最大值为-2(b- a ? b )2+ (a ? b) =ab-b2,
4 8

综上可知,当 a≤3b 时,x= a ? b 时,四边形面积 Smax= (a ? b) ,
2

4

8

当 a>3b 时,x=b 时,四边形面积 Smax=ab-b2. 2.解:设每个提价为 x 元(x≥0) ,利润为 y 元,每天销售总额为(10+x) (100-10x)元, 进货总额为 8(100-10x)元,显然 100-10x>0,即 x<10, 则 y=(10+x) (100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x<10). 当 x=4 时,y 取得最大值,此时销售单价应为 14 元,最大利润为 360 元. 3.解: (1)由图象可知:当 t=4 时,v=3×4=12,∴s= 1 ×4×12=24.
2

(2)当 0≤t≤10 时,s= 1 · t· 3t= 3 t2,
2 2

当 10<t≤20 时,s= 1 ×10×30+30(t-10)=30t-150;
2 2

当 20<t≤35 时,s= 1 ×10×30+10×30+(t-20)×30- 1 ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
2
?3 2 t ? ?0,10?, ?2 t , ? ? t ? ?10,20?, s= ?30t ? 150, ?? t 2 ? 70t ? 550, t ? ?20,35? . ? ? ?

综上可知

(3)∵t∈[0,10]时,smax= 3 ×102=150<650.
2

t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650. ∴当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40,∵20<t≤35, t=30,所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.

4.解: (1)当 x≤5 时,产品能售出 x 百台;当 x>5 时,只能售出 5 百台,故利润函数为 L(x) =R(x)-C(x)
x2 ? (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25 x) ? 2 =? ? 2 ?(5 ? 5 ? 5 ) ? (0.5 ? 0.25 x) ? 2 ? (0 ? x ? 5) ( x ? 5) x2 ? ?4.75 x ? ? 0.5 ?? 2 ?12 ? 0.25 x ? (0 ? x ? 5), ( x ? 5).

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(2)当 0≤x≤5 时,L(x)=4.75x- x -0.5,
2

2

当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25 万元. 当 x>5 时,L(x)=12-0.25x 为减函数, 此时 L(x)<10.75(万元).∴生产 475 台时利润最大. (3)由 ? ?
?0 ? x ? 5, ? x ? 5, 或? x2 4 . 75 x ? ? 0 . 5 ? 0 , ?12 ? 0.25 x ? 0. ? 2 ?

得 x≥4.75-

21.562 5 =0.1(百台)或

x<48(百台).

∴产品年产量在 10 台至 4 800 台时,工厂不亏本. 5. 解: (1) 当甲的用水量不超过 4 吨时, 即 5x≤4, 乙的用水量也不超过 4 吨, y= (5x+3x) ×1.8=14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,即 3x≤4 且 5x> 4, y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.

当乙的用水量超过 4 吨时,即 3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,
? ?14.4 x ? y= ? ?20.4 x ? 4.8 ? ? ?24 x ? 9.6 ? 4 (0 ? x ? ) 5 4 4 ( ? x ? ). 5 3 4 (x ? ) 3
5 5

所以

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当 x∈[0, 4 ]时,y≤f( 4 )<26.4; 当 x∈( 4 , 4 ]时,y≤f( 4 )<26.4;
5 3 3

当 x∈( 4 ,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,
3

所以甲户用水量为 5x=7.5 吨, 乙户用水量为 3x=4.5 吨,

付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);

付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

6. 解: (1) 设每年人口平均增长率为 x, n 年前的人口数为 y, 则 y· (1+x)n=60, 则当 n=40 时, y=30, 即 30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2,则 lg(1+x)= lg 2 =0.007 525,
40

∴1+x≈1.017,得 x=1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1+1%)10 有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿. ,得 lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2, y≤13.78,故人口至多

7.解:设单位购买 x 台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为 800 – 20x,则总费用
?800 x ? 20 x 2 , (1 ? x ? 18) y?? ( x ? 18) ?440 x,

在乙商场购买,费用 y = 600x.

(1)当 0<x<10 时,(800x – 20x2)>600x ∴购买影碟机低于 10 台,在乙商场购买.
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(2)当 x = 10 时,(800x – 20x2) = 600x ∴购买 10 台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样. (3)当 10<x≤18 时,(800x – 20x2)<600x ∴购买影碟机多于 10 台且不多于 18 台,在甲商场 购买. (4)当 x≥18 时,600x>440x ∴购买影碟机多于 18 台,在甲商场购买. 答:若购买小于 10 台,去乙商场购买;若购买 10 台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若 购买多于 10 台,在甲商场购买. 8.解:由题意知 A(1,1) ,B(2,1.2) ,C(3,1.3) ,D(4,1.37). (1)设模拟函数为 y=ax+b,将 B、C 两点的坐标代入函数式,有 ? 所以得 y=0.1x+1. 因此此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升 1000 双,这是不太可能 的. (2)设 y = ax + bx + c,将 A、B、C
2

?3a ? b ? 1.3 ? a ? 0 .1 ,解得 ? 2 a ? b ? 1 . 2 ? ?b ? 1

?a ? b ? c ? 1 ?a ? ?0.05 ? ? 三点代入,有 ?4a ? 2b ? c ? 1.2 ,解得 ?b ? 0.35 , ?9a ? 3b ? c ? 1.3 ?c ? 0.7 ? ?

所以 y= – 0.05x2+0.35x+0.7. 因此由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双,比实际产量少 700 双,而且,由二次函数性质可知, 产量自 4 月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴 x=3.5) ,不合实际. (3)设 y= a x +b,将 A,B 两点的坐标代入,有 ? ? 所以 y= 4.8 x ? 0.52 . 因此把 x = 3 和 4 代入,分别得到 y=1.35 和 1.48,与实际产量差距较大.
?ab ? c ? 1 ? a ? ? 0 .8 ? 2 ? (4)设 y = ab + c,将 A,B,C 三点的坐标代入,得 ?ab ? c ? 1.2 ,解得 ?b ? 0.5 , ?c ? 1.4 ? 3 ? ?ab ? c ? 1.3
x

?a ? b ? 1 ? ? 2b ? b ? 1.2

,解得 ?

?a ? 0.48 , ?b ? 0.52

所以 y= – 0.8×(0.5)x+1.4. 因此把 x= 4 代入得 y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最 小,又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性 . 经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是 误差小,二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升, 但过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模拟恰好反映了这种趋势. 因此,选用 y= –0.8×0.54+1.4 模拟比较接近客观实际.
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