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北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷及答案2[1]


北京市 2012 届高考数学理科仿真模拟卷 2
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.在复平面内,复数 z ?

1 ? 2i 对应的点位于 1? i
(C) 第三象限 (D) 第四象限

(A) 第一象限 (B) 第二象限 2.下列四个命题中,假

命题为 (A) ?x ? R , 2 x ? 0 (C) ?x ? R , lg x ? 0
x

(B) ?x ? R , x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 (D) ?x ? R , x ? 2
1 2

3.已知 a>0 且 a≠1,函数 y ? log a x , y ? a , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

(A) 4.参数方程 ?

(B)

(C)

(D)

? x ? 2 cos ?, (? 为参数和极坐标方程 ? ? 4sin ? 所表示的图形分别是 ? y ? 3sin ?,
(D) 椭圆和圆 (D) 48

(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 5.由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 2 与 5 不相邻的四位数的个数是 (A) 120 (B) 84 (C) 60 6.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则 该函数的解析式可能是

4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5
(A) y ? 本题就是考查正弦函数的图象变换。最好采用排除法。考查的关键是 A,ω ,φ 每一个字母 的意义。 7 . 已 知 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 (A , B 不 全 为 0) , 两 点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 若

-1-

( Ax1 ? By1 ? C )( Ax2 ? By2 ? C ) ? 0 ,且 Ax1 ? By1 ? C ? Ax2 ? By2 ? C ,则
(A) 直线 l 与直线 P1P2 不相交 (C) 直线 l 与线段 P1 P2 的延长线相交 (B) 直线 l 与线段 P2 P1 的延长线相交 (D) 直线 l 与线段 P1P2 相交

本题就是考查线性规划问题。关键是 1) ( Ax1 ? By1 ? C )( Ax2 ? By2 ? C ) ? 0 的含义:点 在直线的同侧;2) Ax1 ? By1 ? C ? Ax2 ? By2 ? C 的含义:点到直线的距离的大小关系。 8. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , 若 ?x1 ? [?1, 2] , 使得 f(x1)= ?x2 ? [?1, 2] , g ( x) ? ax ? 2 (a>0),
2

g(x2),则实数 a 的取值范围是
(A) (0, ]

1 2

(B) [ ,3]

1 2

(C) (0,3]

(D) [3, ??)

本题虽然是一道小题,但完全可以改成一道大题,处理的关键是对“任意” 、 “存在”的 理解。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.圆 C: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距
2 2

离是 . 10.如图所示,DB,DC 是⊙O 的两条切线,A 是圆上一点,已知 ∠D=46°,则∠A= . 11.函数 y ? 3 sin x cos x ? sin 2 x 的最小正周期为 为 . 考查的目的是没考三角, 12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . ,最大值

13.如果执行右面的程序框图,那么输出的 a =___. 14.如图所示,∠AOB=1rad,点 Al,A2,?在 OA 上,点 B1, B2,?在 OB 上,其中的每一个实线段和虚线段的长均为 1 个长度单位,一个动点 M 从 O 点出发,沿着实线段和以 O

-2-

为圆心的圆弧匀速运动,速度为 l 长度单位/秒,则质点 M 到达 A3 点处所需要的时间为__ 秒,质点 M 到达 An 点处所需要的时间为__秒. 本题考查了弧度制的定义,数列的基础知识。解题关键是由特殊到一般,通过对特殊情况的 观察,就可得到应进行分类讨论。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a2=4, S5=35. (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? e n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

本题是由下面的题经过改编后得到的,可作为练习。 已知等比数列 {an } 中,a2=9, a5=243. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? ? (Ⅰ)通项公式 an ? 3n 。 (Ⅱ)因为等比数列 {an } ,所以偶数项构成首相为 a2=9,公比为 3 =9 的等比数列。
2

?an ,

(n为偶数),

?log 3 an , (n为奇数).

求数列 {bn } 的前 100 项的和。

因为 log 3 a2 k ?1 ? log 3 a2 k ?1 ? log 3 2 ? 3

2k

? log 3 2 ? 32 k ? 2 ? log 3

2 ? 32 k ? 2 (k ? N) , 2 ? 32 k ? 2

所以 奇数项构成首项为 1,公差为 2 的等差数列。

S100 ? b1 ? b2 ? ? ? b99 ? b100 =(log 3a1 +log 3a3 +? +log 3a99 )+(a2 +a4 + ? ? a100 )
? (50 ?1 ? 50 ? 49 9(1 ? 950 ) 1 51 7 ? 2) ? ? ? 9 ? 2498 2 1? 9 8 8
1 8 7 。 8

所以数列 {bn } 的前 100 项的和是 ? 951 ? 2498 若再增加难度,可将 100 改成 n。

16.(本小题共 14 分) 张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到公司上

-3-

班有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 ; 2

L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为
(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; ..

3 3 , . 4 5

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条 最好的上班路线,并说明理由. 关于概率统计问题,几次考查都没有将概率与统计图表结合起来,请老师们注意,在 复练时要有意识的进行练习。 17.(本小题共 13 分) 已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的 中点.沿 BD 将△BCD 翻折到△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. 本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中,哪些是不变的, 哪些是改变的学生必须非常清楚。 18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x .
2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a , a ] 上的最大值.
2

19.(本小题共 14 分) 2 已知抛物线 P:x =2py (p>0). (Ⅰ)若抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 . (ⅰ)求抛物线 P 的方程; (ⅱ)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物线 的准线于 C,D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F.

20.(本小题共 13 分) 用 [a ] 表示不大于 a 的最大整数.令集合 P ? {1, 2,3, 4,5} ,对任意 k ? P 和 m ? N* ,定义

-4-

f (m, k ) ? ? [m
i ?1

5

k ?1 ] ,集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*, k ? P} ,并将集合 A 中的元素按 i ?1

照从小到大的顺序排列,记为数列 {an } . (Ⅰ)求 f (1, 2) 的值; (Ⅱ)求 a9 的值; (Ⅲ)求证:在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 f (m0 , k0 ) 项.

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.3 10.67° 11. ? ,

1 2

12.12

13. ?

2 3

? n(n ? 1) , n 为奇数, ? ? 2 14.6, an ? ? ? n(n ? 3) , n 为偶数. ? ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a2=4, S5=35. (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? e n ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn .
a

解: (Ⅰ)设数列 {an } 的首项为 a1,公差为 d.

-5-



?a1 ? d ? 4 ? ? 5(5 ? 1) 5a1 ? d ? 35 ? ? 2
??????5 分



?a1 ? 1 , ? ?d ? 3
∴ an ? 3n ? 2 . ∴ 前 .

n

项 ??????7 分



n(1? 3 n? 2) n ( n3 ? Sn ? ? 2 2
(Ⅱ)∵ an ? 3n ? 2 , ∴

1)

bn ? e3n ? 2

, ??????8 分



b1=e. 当 n≥2 时,

bn e3 n ? 2 ? 3( n ?1) ? 2 ? e3 bn ?1 e
值, ∴ 列. ∴ 数 列 {bn } 构 成 首 项 为

为 ??????10 分



e , 公 比 为

e3 的 等 比 数

??????11 分

Tn ?

e(1 ? e3n ) e3n ?1 ? e . ? 3 1 ? e3 e ?1 e3n ?1 ? e 数列 {bn } 的前 n 项的和是 Tn ? 3 . e ?1

??????13 分

16.(本小题共 14 分) 张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上 班路上有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,

1 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路 2 3 3 口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5
各路口遇到红灯的概率均为 (Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条 最好的上班路线,并说明理由.

-6-

解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2
????4 分 所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 ( 2. Ⅱ ) 依 题 意 ,

??

1 . 2
值 为 0 , 1 ,

X

的 可 能 取 ??????5 分

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 , P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20 3 3 9 . P( X =2)= ? ? 4 5 20
????8 分 随机变量 X 的分布列为:

??

X
P

0

1

2

1 10

9 20

9 20
??

EX ?
????10 分

1 9 9 27 . ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 10 20 20 20 1 2

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B (3, ) , 所 以 ??????12 分

EY ? 3 ?
好.

1 3 ? . 2 2




EX ? EY



所 以 选 择 ??????14 分

L2



线







17.(本小题共 13 分) 已知平行四边形 ABCD 中, AB=6, AD=10, BD=8, E 是线段 AD 的中点. 沿 直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. 证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8,

-7-

即 BC '2 ? C ' D 2 ? BD 2 , 故

C ' D ? BD .


??????2

∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C ?D ? 平面 BC ?D , ∴

C ?D ?

平 ??????5 分



ABD .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , 如 图 , 以

D



























D ? xyz .

??????6 分

则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B (8,0,0) , C '(0,0,6) . ∵E 是线段 AD 的中点,

??? ? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , ? 设平面 BEC ? 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
??? ? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? ? BC ' ? n ? 0
令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故

? n ? (3, 4, 4) .
设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则

??????8 分

? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? ? . sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? 41 | n | ? | BD |
????9 分 ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为

??

3 41 . 41

??????10 分

? (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC ? 的法向量为 n ? (3, 4, 4) , ???? ? 而平面 DBE 的法向量为 DC ? ? (0,0,6) ,

-8-

? ???? ? ? ???? ? n? C ?D 4 41 ? ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? , 41 | n | ? | C ?D |
因为二面角 D ? BE ? C ? 为锐角, 所 以 二 面 角

D ? BE ? C ?











4 41 . 41
18.(本小题共 13 分)

??????13 分

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x .
2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a , a ] 上的最大值.
2

解 :( Ⅰ ) ∵

f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (a ? 2) x ,
??????1 分

∴ 函 数 的 定 义 域 为

(0, ??) .
∴ f ?( x) ? ????3 分

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) . ? 2ax ? (a ? 2) ? ? x x x

??

∵ f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)( a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?1 . ????5 分 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , ∴ ??

1 2

x ?1







y ? f ( x)















a ? ?1 .
( ∴ 0 ? a ? 1. Ⅱ

??????6 分 ) ∵

a2 ? a
??????7 分



f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x

∵ x∈ (0, ??) , ∴ ax ? 1 ? 0 , ∴

f ( x)



1 1 (0, ) 上 单 调 递 增 ; 在 ( , ?? ) 上 单 调 递 2 2

-9-

减, ①当 0 ? a ?

??????9 分

1 2 时, f ( x) 在 [a , a ] 单调递增, 2
??

∴ f max ( x) ? f (a ) ? ln a ? a 3 ? a 2 ? 2a ; ????10 分

1 ? a? ? 2 1 1 ? 2 ,即 1 ②当 ? 时, f ( x) 在 (a 2 , ) 单调递增,在 ( , a ) 单调递减, ?a? 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2
∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ? ????11 分 ③当

1 2

a a?2 a ? ? ? 1 ? ln 2 ; 4 2 4

??

2 1 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [a 2 , a] 单调递减, ? a 2 ,即 2 2
??

∴ f max ( x) ? f (a 2 ) ? 2 ln a ? a 5 ? a 3 ? 2a 2 . ????12 分 综 上 所 述 , 当 0?a?

1 2 时 , 函 数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上 的 最 大 值 是 2

ln a ? a 3 ? a 2 ? 2a ;


1 2 a 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a , a ] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; ?a? 2 2 4
2 2 时 , 函 数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上 的 最 大 值 是 2

当 a?

2 ln a ? a 5 ? a 3 ? 2a 2 .
? ? ????13 分 19.(本小题共 14 分) 2 已知抛物线 P:x =2py (p>0). (Ⅰ)若抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 . (ⅰ)求抛物线 P 的方程; (ⅱ)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物线 的准线于 C,D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F. 解: (Ⅰ) (ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离与到准线距离相等,

- 10 -

即 M (m, 2) 到 y ? ? ∴ ? ∴

p 的距离为 3; 2

p ? 2 ? 3 ,解得 p ? 2 . 2
抛 物 线

P









x2 ? 4 y .

??????4 分

(ⅱ)抛物线焦点 F (0,1) ,抛物线准线与 y 轴交点为 E (0, ?1) , 显然过点 E 的抛物线的切线斜率存在,设为 k ,切线方程为 y ? kx ? 1 .



? x2 ? 4 y ? ? y ? kx ? 1





y



x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,

??????6 分 , ??????7 分 方 解 得

? ? 16k 2 ? 16 ? 0

k ? ?1 .
∴ 切 线





y ? ? x ?1.
(Ⅱ)直线的斜率显然存在,设: y ? kx ? 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

??????8 分

p , 2

? x 2 ? 2 py ? 由? p ? y ? kx ? ? 2

消 y 得 x ? 2 pkx ? p ? 0 .
2 2

且? ? 0.

∴ x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p 2 ; ∵ A( x1 , y1 ) , ∴ 直线 OA : y ?

y1 x, x1




y??

p 2







C (?

px1 p ,? ) 2 y1 2









D(?

px2 p ,? ) . 2 y2 2
∵ 焦点 F (0,

??????10 分

p ), 2

- 11 -



??? ? px FC ? (? 1 , ? p ) 2 y1
??????12 分



??? ? px FD ? (? 2 , ? p) , 2 y2

??? ? ??? ? px1 px2 p 2 x1 x2 px1 px2 2 ∴ FC ? FD ? (? ?p ? ? p2 , ? p) ? (? , ? p) ? 2 y1 2 y2 4 y1 y2 2 y1 2 y2

?

p 2 x1 x2 p4 p4 2 2 ? p ? ? p ? ? p2 ? 0 x12 x2 2 x1 x2 ? p2 4 2p 2p




CD



F.
20.(本小题共 13 分)

直 径 的 ??????14 分









用 [a ] 表示不大于 a 的最大整数.令集合 P ? {1, 2,3, 4,5} ,对任意 k ? P 和 m ? N* ,定义

f (m, k ) ? ? [m
i ?1

5

k ?1 ] ,集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*, k ? P} ,并将集合 A 中的元素按 i ?1

照从小到大的顺序排列,记为数列 {an } . (Ⅰ)求 f (1, 2) 的值; (Ⅱ)求 a9 的值; (Ⅲ)求证:在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 f (m0 , k0 ) 项. 解: (Ⅰ)由已知知 f (1, 2) ? [

3 3 3 3 3 ]?[ ]?[ ]?[ ]?[ ] 2 3 4 5 6


? 1?1? 0 ? 0 ? 0 ? 2 .
所 . ) f( 1 ? , 2

2

??????4 分

(Ⅱ)因为数列 {an } 是将集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*,k ? P} 中的元素按从小到大的顺序 排成而成, 所以我们可设计如下表格 m k 1 2 3 4 5 ‥‥

m0

- 12 -

1 2 3 4 5

2
3

2 2
2 3

3 2
3 3

4 2
4 3
‥‥ ‥‥ ‥‥

‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥

‥‥

4
5 6

2 4
2 5 2 6

3 4
3 5 3 6

从上表可知,每一行从左到右数字逐渐增大,每一列从上到下数字逐渐增大. 且 2 ? 所

3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 3 2 ? 2 5 ? ‥‥
以 ??????8 分

a9 ? 3 2 .
(Ⅲ)任取 m1 , m2 ? N* , k1 , k2 ? P , 若 m1 k1 ? 1 ? m2 k2 ? 1 ,则必有 m1 ? m2 ,k1 ? k2 . 即在(Ⅱ)表格中不会有两项的值相等.

对于 m0 k0 ? 1 而言,若在(Ⅱ)表格中的第一行共有 m1 的数不大于 m0 k0 ? 1 , 则 m1

2 ? m0 k0 ? 1 ,即 m1 ?

m0 k0 ? 1 2

,所以 m1 ? [

m0 k0 ? 1 2

],

同理,第二行共有 m2 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 m2 ? [

m0 k0 ? 1 3 ].

],

第行共有 mi 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 mi ? [

m0 k0 ? 1 i ?1

所以,在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有

? [m
i ?1

5

0

k0 ? 1 ] 项,即 f (m0 , k0 ) 项. i ?1
? ?

????13 分

- 13 -


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