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史上最全的数列通项公式的求法15种

时间:2012-01-08


最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

◆一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 根据下列数列的前几项,说出数列的通项公式: 例1. 1、1.3.7.1

5.31……… 2、1,2,5,8,12……… 3、 2,1,

2 1 2 1 , , , ……… 3 2 5 3

4、1,-1,1,-1……… 5、1、0、1、0………

◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前 n 项和 S n 与 a n 的关系,求数列 {a n } 的通项 a n 可用公式 an = ? (注意:求完后一定要考虑合并通项)

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n = 1 求解. ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ≥ 2

例 2.①已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = 2a n + ( ?1) , n ≥ 1 .求数列 {a n } 的通项公式. .
n

②已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ③

= n 2 + n ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.

已知等比数列 {a n } 的首项 a1 = 1 ,公比 0 < q < 1 ,设数列 {bn } 的通项为 bn = a n +1 + a n + 2 ,求数列

{bn }的通项公式。
③解析 解析:由题意, bn +1 = a n + 2 + a n +3 ,又 {a n } 是等比数列,公比为 q 解析 ∴

bn+1 an+2 + an+3 = = q ,故数列 {bn }是等比数列, b1 = a2 + a3 = a1q + a1q 2 = q(q +1) , bn an+1 + an+2

∴ bn = q(q +1) ? q n?1 = q n (q +1)

归纳猜想 猜想法 ◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项 公式,然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。 例 3.(2002 年北京春季高考)已知点的序列 An ( x n ,0), n ∈ N ,其中 x1 = 0 , x 2 = a (a > 0) , A3 是线
*

段 A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An? 2 An?1 的中点,… 。 (1) 写出 x n 与 x n ?1 , x n? 2 之间的关系式( n ≥ 3 ) 最全的数列通项公式的求法- 1 -

(2) 设 a n = x n +1 ? x n ,计算 a1 , a 2 , a 3 ,由此推测 {a n } 的通项公式,并加以证明。 (3) 略 解析: (1)∵ An 是线段 An ? 2 An ?3 的中点, ∴ x n = 解析: (2) a1 = x 2 ? x1 = a ? 0 = a ,

x n ?1 + x n? 2 (n ≥ 3) 2

a 2 = x3 ? x 2 =

x 2 + x1 1 1 ? x 2 = ? ( x 2 ? x1 ) = ? a , 2 2 2

a 3 = x 4 ? x3 =
猜想 a n = ( ? )

x3 + x 2 1 1 ? x3 = ? ( x 3 ? x 2 ) = a , 2 2 4
n ?1

1 2

a (n ∈ N *) ,下面用数学归纳法证明

10 当 n=1 时, a1 = a 显然成立; 1 2 0 假设 n=k 时命题成立,即 a k = (? ) k ?1 a (k ∈ N *) 2
则 n=k+1 时, a k +1 = x k + 2 ? x k +1 = = (? )( ? ) ∴ 当 n=k+1 时命题也成立, ∴ 命题对任意 n ∈ N 都成立。
*

x k +1 + x k 1 1 ? x k = ? ( x k +1 ? x k ) = ? a k 2 2 2 1 a = (? ) k a 2

1 2

1 2

k ?1

变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 变式 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

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累加( ◆四、累加(乘)法
对于形如 a n +1 = a n + f ( n) 型或形如 a n +1 = f ( n) a n 型的数列,我们可以根据递推公式,写出 n 取 1 到 n 时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例 4. 若在数列 {a n } 中, a1 = 3 , a n +1 = a n + n ,求通项 a n 。

解析:由 a n +1 = a n + n 得 a n +1 ? a n = n ,所以 解析

a n ? a n ?1 = n ? 1 , a n?1 ? a n? 2 = n ? 2 ,…, a 2 ? a1 = 1 ,
将以上各式相加得: a n

? a1 = (n ? 1) + (n ? 2) + ? ? ? + 1 ,又 a1 = 3
最全的数列通项公式的求法- 2 -

所以 a n = 例5.

n(n ? 1) +3 2
n
*

在数列 {a n } 中, a1 = 1 , a n +1 = 2 a n ( n ∈ N ) ,求通项 a n 。

解析:由已知 解析

a n +1 a a a = 2 n , n = 2 n ?1 , n ?1 = 2 n ?2 ,…, 2 = 2 ,又 a1 = 1 , an a n ?1 a n?2 a1

n ( n ?1) a n a n ?1 a2 n ?1 n ?2 ? ?… ? a1 = 2 ? 2 ? … ? 2 ? 1 = 2 2 所以 a n = a n ?1 a n? 2 a1

取倒( ◆五、取倒(对)数法
a、 a n +1 = pa n 这种类型一般是等式两边取对数 两边取对数后转化为 a n +1 = pa n + q ,再利用待定系数法 待定系数法求解 两边取对数 待定系数法
r

b、数列有形如 f ( a n , a n ?1 , a n a n ?1 ) = 0 的关系,可在等式两边同乘以

1 1 , 先求出 , 再求得a n . a n a n ?1 an

c、 a n +1 =

f (n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数 换元 两边取倒数 换元转化为 a n +1 = pa n + q 。 两边取倒数后换元 g ( n) a n + h ( n)

例 6..设数列 {a n } 满足 a1 = 2, a n +1 =

an (n ∈ N), 求 a n . an + 3
1 1 1 , 得1 + 3 ? = . a n ? a n +1 a n a n +1

解:原条件变形为 a n +1 ? a n + 3 ? a n +1 = a n . 两边同乘以

∵( 3

1 1 1 1 1 1 + )= + ,∴ + = 3 n ?1 an 2 a n +1 2 a n 2 2 . 2 × 3 n ?1 ? 1

∴ an =

例 7 、 设正项数列 {an }满足 a1 = 1 , a n = 2a n?1 (n≥2).求数列 {an }的通项公式.
2

解:两边取对数得: log 2n = 1 + 2 log 2n ?1 , log 2n + 1 = 2(log 2n ?1 + 1) ,设 bn = log 2n + 1 ,
a a a a a

则 bn = 2bn ?1 变式: 变式

{bn } 是以 2 为公比的等比数列, b1 = log12 + 1 = 1 .

bn = 1× 2 n?1 = 2 n?1 , log an + 1 = 2 n?1 , log an = 2 n?1 ? 1 , 2 2

∴ an = 2

2 n ?1 ?1

1.已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ≥ 2,n ∈ N?) 2 2a n-1+n-1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an<2?n! 2、若数列的递推公式为 a1 = 3,

1 1 = ? 2(n ∈ ) ,则求这个数列的通项公式。 an +1 an
最全的数列通项公式的求法- 3 -

3、已知数列{ a n }满足 a1 = 1, n ≥ 2 时, a n ?1 ? a n = 2a n ?1 a n ,求通项公式。 4、已知数列{an}满足: a n =

a n ?1 , a1 = 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? a n?1 + 1
2a n an + 2

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n +1 =

n∈N + ,求通项 a n .

◆六、迭代法
迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算. 例 8、(2003·高考·广东) n -1 设 a 0 为常数,且 a n=3 -2 a n -1(n 为正整数)证明对任意 n≥1 , n a n= [ 3 +(-1)n -1· 2 n ]+(-1)n · 2 n a 0 证明: a n=3 n -1-2 a n -1=3 n -1-2(3 n -2-2 a n -2) n -1 n -2 2 n -3 =3 -2· 3 +2 (3 -2 a n -3) n -1 n -2 2 n -3 3 n -4 -2 ·3 +2 ·3 -2 (3 -2 a n -4) =3 ……… ……… n -1 n -2 2 n –3 n -1 n -1 n n =3 -2·3 +2 ·3 -…+(-1) ·2 +(-1) ·2 a 0 n n n -1 ,公比为-的等比数列,这 n 项的和为: (-1) ·2 a 0 前面的 n 项组成首项为 3 n n -1 n = [ 3 +(-1) ·2 ] n n -1 n n n ∴ a n= [ 3 +(-1) · 2 ]+(-1) · 2 a 0 待定系数法: ◆七、待定系数法:

求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推 理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解, 理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法 体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的 体现了数学中化未知为已知的化归思想, 转化方法。 转化方法。

通过分解常数, 可转化为特殊数列{ +k}的形式求解。 一般地, 1、 通过分解常数, 可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。 一般地, 形如

a n +1 =p a n +q

pq≠ 分解法: (p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n +1 +k=p +k) pk- (a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k=
例 9、数列{a n }满足 a 1 =1,a n =

q 从而得等比数列{ +k} ,从而得等比数列{a n +k}。 p ?1

1 a n ?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2 1 1 解:由 a n = a n ?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n ?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 1 ∴a n -2=-( ) n ?1 ∴a n =2-( ) n ?1 2 2
2},从而达到解决问题的目的。 说明: 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ 说明:通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。 最全的数列通项公式的求法- 4 -

练习、1 数列{a n }满足 a 1 =1, 3a n +1 + a n ? 7 = 0 ,求数列{a n }的通项公式。 练习 解:由 3a n +1 + a n ? 7 = 0 得 a n +1 = ? a n +

7 3 1 k 7 7 设 a n +1 + k = ? ( a n + k ) ,比较系数得 ? k ? = 解得 k = ? 3 3 3 4 7 1 7 7 3 ∴{ a n ? }是以 ? 为公比,以 a1 ? = 1 ? = ? 为首项的等比数列 4 3 4 4 4 7 3 1 n ?1 7 3 1 ∴ a n ? = ? × (? ) ? a n = ? × (? ) n?1 4 4 3 4 4 3

1 3

2、已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 ,且 an +1 = 3an + 2 ,求 a n . 解:设 a n +1 + t = 3( a n + t ) ,则 a n +1 = 3a n + 2t ? t = 1 , a n +1 + 1 = 3( a n + 1) ? {a n + 1}是 : 以 (a1 + 1) 为首项,以 3 为公比的等比数列 ? a n + 1 = ( a1 + 1) ? 3
n ?1

= 2 ? 3 n?1 ? a n = 2 ? 3 n?1 ? 1

点评: 为常数)的数列通项,可用迭代法或 迭代法或待定系数法构造新 点评:求递推式形如 a n +1 = pa n + q (p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新 数列 a n +1 +

q q = p(an + ) 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求, p ?1 1? p
n +1 n +1 为常数) (p、q 为常数)时,可同除 q ,得

很多的一种题型. 很多的一种题型. 2、递推式为 a n +1 = pa n + q

a n+1 p a n a = ? n + 1 ,令 bn = n 从而化归 n +1 q q q qn

为常数) 为 a n +1 = pa n + q (p、q 为常数)型.


10. 例 10.已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a n = 3 + 2a n ?1 ( n ≥ 2) ,求 a n .
n

an 2a an 2 a n?1 = 1 + n?1 ? n = 1 + n n 3 3 n?1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn = n ,则 bn = 1 + bn ?1 .令 bn ? t = (bn ?1 ? t ) ? bn = bn ?1 + t 3 3 3 3 3 a 2 8 ? t = 3 .条件可化成 bn ? 3 = (bn?1 ? 3) ,数列 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 = 1 ? 3 = ? 为首项, 3 3 3 an 2 8 2 n?1 为公比的等比数列. bn ? 3 = ? × ( ) .因 bn = n , 3 3 3 3 8 2 n?1 ∴ a n = bn 3n = 3 n (? × ( ) + 3) ? a n = 3 n+1 ? 2 n+ 2 . 3 3
解:将 a n = 3 + 2a n ?1 两边同除 3 ,得 :
n
n

3、形如 a n +1 = pa n + an + b ( p ≠ 1 0,a ≠ 0) 、 解法:这种类型一般利用待定系数法 待定系数法构造等比数列,即令 a n +1 + x ( n + 1) + y = p ( a n + xn + y ) ,与已知递 待定系数法 推式比较,解出 x, y ,从而转化为 {a n + xn + y}是公比为 p 的等比数列。 例 11:设数列 {a n } : a1 = 4, a n = 3a n ?1 + 2n ? 1, ( n ≥ 2) ,求 a n . 解:令

an+1 + x(n + 1) + y = 3(an + xn + y ) an+1 = 3an + 2 xn + 2 y ? x
最全的数列通项公式的求法- 5 -

化简得:

?2 x = 2 ?x = 1 ? ? y=0 2 y ? x = ?1 所以 ? 解得 ?
又因为

,所以

an+1 + (n + 1) = 3(an + n)

a1 + 1 = 5 ,所以数列 {an + n} 是以 5 为首项,3 为公比的等比数列。

从而可得

an + n = 5 × 3n?1 , 所以an = 5 × 3n?1 -n

变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分)

1 a1 = 、点(n、an +1 ? an) 2 a 2 已知数列{ n }中, 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…
(Ⅰ)令 4、形如 an +1

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

bn = a n ?1 ? a n ? 3, 求证数列{bn }是等比数列;

(Ⅱ)求数列

{a n }的通项;

= pan + an 2 + bn + c ( p ≠ 1 0,a ≠ 0) 、

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an+1 + x(n + 1) 2 + y (n + 1) + c = p (an + xn 2 + yn + c) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,z.从而转化


{a

n

+ xn 2 + yn + c} 是公比为 p 的等比数列。 = 4, an = 3an?1 + 2n 2 ? 1,(n ≥ 2) ,求 a n .

例 12:设数列 {a n } : a1

5. 递推公式为 a n + 2 = pa n +1 + qa n (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 a n + 2 ? sa n +1 = t ( a n +1 ? sa n ) 其中 s,t 满足 ?

?s + t = p ?st = ? q

解法二(特征根法):对于由递推公式 a n + 2 = pa n +1 + qa n , a1 = α , a 2 =

β 给出的数列 {a n } ,方程

x 2 ? px ? q = 0 ,叫做数列 {a n } 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 ≠ x 2 时,数
列 {a n } 的通项为 a n = Ax1
n ?1 n + Bx 2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 = α , a 2 = β 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和

n n = 1,2 ,代入 a n = Ax1n ?1 + Bx 2 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ;当 x1 = x 2 时,数列 {a n } 的通项

为 an = ( A + Bn) x1

n ?1

,其中 A,B 由 a1 = α , a 2 =

β 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n = 1,2 ,代入

a n = ( A + Bn) x1n ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。
例 13:已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = 变式: 变式

2 1 a n+1 + a n ,求 a n 。 3 3

最全的数列通项公式的求法- 6 -

1.已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an ( n ∈ N ).
*

(I)证明:数列 {an +1 ? an } 是等比数列; (II)求数列 {an } 的通项公式; (III)若数列 {bn } 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

= (an + 1)bn (n ∈ N * ), 证明 {bn } 是等差数列

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

2.已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 =

2 1 a n+1 + a n ,求 a n 3 3

3.已知数列 {a n } 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2,L), a1 = 1 , ⑴设数列 bn = a n +1 ? 2a n ( n = 1,2, LL) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; ⑵设数列 c n =

an , (n = 1,2, LL) ,求证:数列 {c n }是等差数列;⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 2n

特征根法。 ◆八:特征根法。 设已知数列 {a n } 的项满足 a1 = b, a n +1 = ca n + d ,其中 c ≠ 0, c ≠ 1, 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。 1、 作出一个方程

x = cx + d , 则当 x0 = a1 时, a n 为常数列,即 an = a1;当x0 ≠ a1时, an = bn + x0 ,其中 {bn } 是以 c 为公比的等 为常数列,
比数列, 比数列,即 bn = b1c
n ?1

, b1 = a1 ? x0 .

2.对于由递推公式 2.对于由递推公式 a n + 2 = pa n +1 + qa n , a1 = α , a 2 =

β 给出的数列 {a n } ,方程 x 2 ? px ? q = 0 ,叫做数列
n = Ax1n ?1 + Bx 2 ?1 ,其

{a n }的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的两个根,当 x1 ≠ x2 时,数列 {a n }的通项为 a n 的特征方程。 是特征方程的两个根,
中 A,B 由 a1 = α , a 2 =

n β 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n = 1,2 ,代入 a n = Ax1n ?1 + Bx 2 ?1 ,得到关于 A、B 的方 决定( n ?1

;当 程组 ) 当 x1 = x 2 时 , 数列 {a n } 的通项为 an = ( A + Bn) x1 ;

, 其中 A , B 由 a1 = α , a 2 =

β 决定 ( 即把 决定(

a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n = 1,2 ,代入 a n = ( A + Bn) x1n ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 的方程组) 。
14: 例 14 (1)已知数列 {a n } 满足 a1 = a, a 2 = b,3a n + 2 ? 5a n +1 + 2a n = 0( n ≥ 0, n ∈ N ) ,求数列 {a n } 的通项公 式。 解法一(待定系数——迭加法) 由 3a n + 2 ? 5a n +1 + 2a n = 0 ,得

2 (a n+1 ? a n ) ,且 a 2 ? a1 = b ? a 。 3 2 则数列 {a n +1 ? a n } 是以 b ? a 为首项, 为公比的等比数列,于是 3 2 n?1 a n+1 ? a n = (b ? a )( ) 。把 n = 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3 a n+ 2 ? a n+1 =
最全的数列通项公式的求法- 7 -

a 2 ? a1 = b ? a ,
2 a 3 ? a 2 = (b ? a ) ? ( ) , 3 2 2 a 4 ? a3 = (b ? a ) ? ( ) , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 = (b ? a )( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

2 2 2 a n ? a1 = (b ? a )[1 + + ( ) + ? ? ? + ( ) n? 2 ] = 3 3 3

2 1 ? ( ) n ?1 3 (b ? a ) 。 2 1? 3

2 2 ∴ a n = [3 ? 3( ) n?1 ](b ? a ) + a = 3(a ? b)( ) n?1 + 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法:这种方法一般不用于解答题) :数列 {a n } : 3a n + 2 ? 5a n +1 + 2a n = 0( n ≥ 0, n ∈ N ) ,

a1 = a, a 2 = b 的特征方程是: 3 x 2 ? 5 x + 2 = 0 。
2 n ∴ a n = Ax1n ?1 + Bx 2 ?1 = A + B ? ( ) n ?1 。 3
又由 a1 = a, a 2 = b ,于是

Q x1 = 1, x 2 =

2 , 3

?a = A + B ? A = 3b ? 2a ? 2 ?? ? ? B = 3(a ? b) ?b = A + 3 B ?

故 a n = 3b ? 2a + 3( a ? b)( )

2 3

n ?1

(2).已知数列 {a n } 满足: a n +1 = ? a n ? 2, n ∈ N, a1 = 4, 求 a n .

1 3 1 3 3 11 解:作方程 x = ? x ? 2, 则x 0 = ? . 当 a1 = 4 时, a1 ≠ x 0 , b1 = a1 + = . 3 2 2 2 1 数列 {bn } 是以 ? 为公比的等比数列. 3 1 n?1 11 1 n?1 3 3 11 1 n?1 于是 bn = b1 ( ? ) = ( ? ) , a n = ? + bn = ? + ( ? ) , n ∈ N. 3 2 3 2 2 2 3
不动点法, ◆九:不动点法,形如 a

n +1

=

pa n + q ra n + h pa n + q (其中 p、q、r、h 均 ra n + h

解法:如果数列 {a n } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ∈ N ,都有 a n +1 =

最全的数列通项公式的求法- 8 -

为常数,且 ph ≠ qr , r ≠ 0, a1 ≠ ?

h px + q ) ,那么,可作特征方程 x = ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 r rx + h

? 1 ? ? an ? x1 ? ? ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ? ? 是等比数列。 ? an ? x0 ? ? an ? x2 ?
例 15:已知数列 {a n } 满足性质:对于 n ∈ N, a n ?1 = :

an + 4 , 且 a1 = 3, 求 {a n } 的通项公式. 2a n + 3

例:已知数列 {a n } 满足:对于 n ∈ N, 都有 a n +1 =

13a n ? 25 . an + 3

(1)若 a1 = 5, 求 a n ; (2)若 a1 = 3, 求 a n ; (3)若 a1 = 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {a n } 不存 在? 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分) 变式 数列 {a n }满足a1 = 1且8a n +1 a n ? 16a n +1 + 2a n + 5 = 0( n ≥ 1). 记 bn =

1 1 an ? 2

(n ≥ 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n .

换元法: ◆十:换元法:类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种,目的是代换后出现的整体数列具有
规律性。 例 16 已知数列 {an } 满足 an +1 =

1 (1 + 4an + 1 + 24an ),a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn = 1 + 24an ,则 an = 故 an +1 =

1 2 1 (bn +1 ? 1) ,代入 an +1 = (1 + 4an + 1 + 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 (bn +1 ? 1) = [1 + 4 (bn2 ? 1) + bn ] 24 16 24
即 4bn +1 = (bn + 3)
2 2

因为 bn = 1 + 24an ≥ 0 ,故 bn +1 = 1 + 24an +1 ≥ 0 则 2bn +1 = bn + 3 ,即 bn +1 = 可化为 bn +1 ? 3 =

1 3 bn + , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
最全的数列通项公式的求法- 9 -

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 = 1 + 24a1 ? 3 = 1 + 24 × 1 ? 3 = 2 为首项,以

1 为公比的等比数列,因此 2

1 1 1 1 bn ? 3 = 2( ) n ?1 = ( ) n ? 2 ,则 bn = ( ) n ? 2 + 3 ,即 1 + 24an = ( ) n ? 2 + 3 ,得 2 2 2 2 an = 2 1 n 1 n 1 ( ) +( ) + 。 3 4 2 3 1 3 bn + 形式, 2 2

评注: 本题解题的关键是通过将 1 + 24an 的换元为 bn , 使得所给递推关系式转化 bn +1 =

从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公 式。

例 18. 已知数列 {a n } 满足 a1 =

1 + an 1 , a n +1 = ,求 a n 。 2 2 a n+1 = 1 + an , 2

解析:设 a1 = 解析

1 π = cos ,∵ 2 3



a 2 = cos

π
6

, a 3 = cos

π
2 ?3
2

,…, a n = cos

π
2
n ?1

?3

总之,求数列的通项公式,就是将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比) 数列的通项公式求其通项。 十一。 ◆十一。双数列 解法:根据所给两个数列递推公式的关系, 活采用累加、累乘、化归等方法求解。 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 累加 等方法求解 19. 例 19 已知数列 {a n } 中, a1 = 1 ;数列 {bn } 中, b1 = 0 。当 n ≥ 2 时,

1 1 a n = (2a n?1 + bn?1 ) , bn = (a n?1 + 2bn?1 ) ,求 a n , bn . 3 3 1 1 解:因 a n + bn = ( 2a n ?1 + bn ?1 ) + ( a n ?1 + 2bn ?1 ) = a n ?1 + bn ?1 3 3
所以 a n + bn = a n ?1 + bn ?1 = a n ? 2 + bn ? 2 = ? ? ? = a 2 + b2 = a1 + b1 = 1 即 a n + bn = 1 …………………………………………(1)

1 1 1 (2a n ?1 + bn ?1 ) ? (a n?1 + 2bn ?1 ) = (a n?1 ? bn?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n?1 所以 a n ? bn = ( a n ?1 ? bn ?1 ) = ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) = …… = ( ) (a1 ? b1 ) 3 3 3 1 n ?1 1 n ?1 = ( ) .即 a n ? bn = = ( ) ………………………(2) 3 3
又因为 a n ? bn = 最全的数列通项公式的求法- 10 -

由(1)(2)得: a n = 、

1 1 1 1 [1 + ( ) n ?1 ] , bn = [1 ? ( ) n ?1 ] 2 3 2 3

十二、 ◆十二、周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 20:若数列 {a n } 满足 a n +1 :

1 ? ?2 a n , (0 ≤ a n ≤ 2 ) 6 ? =? ,若 a1 = ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ≤ a < 1) n ? n 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5) 变式 已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 =

an ? 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

十三、 ◆十三、分解因式法 当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得 an.
4 3 ,且有条 例 21.已知 f ( x) = ( x ? 1) , g ( x) = r ? ( x ? 1) , ( r ≠ 0,1), 数列 {a n } 满足 a1 = 2, an = 1 (n∈ N )

件 ( a n ? a n?1 ) ? g ( n ? 1) + f ( a n ?1 ) = 0, 求a n ( n ≥2). 解:由得:

(a n ? a n?1 ) ? r ? (a n ?1 ? 1) 3 + (a n ?1 ? 1) 4 = 0.即(a n ?1 ? 1) 3 [r (a n ? a n?1 ) + (a n ?1 ? 1)] = 0 对 n ∈ N , a n ≠ 1, 故r (a n ? a n ?1 ) + (a n ?1 ? 1) = 0.合并同类项得 : a n = an ? 1 = r ?1 (a n?1 ? 1). r r ? 1 n ?1 ∴ an = 1 + ( ) . r 1 r ?1 + ? a n ?1 , 再 由 待 定 系 数 法 得 : r r

◆十四、循环法
数列有形如 f ( a n + 2,a n +1 , a n ) = 0 的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环 关系而求出 a n . 例 22..在数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 = 5, a n + 2 = a n +1 ? a n , 求a1998. 最全的数列通项公式的求法- 11 -

解:由条件 a n + 3 = a n + 2 ? a n + 1 = ( a n + 1 ? a n ) ? a n + 1 = ? a n , 即 a n + 3 = ? a n ,∴ a n + 6 = ? a n + 3 = a n , 即每间隔 6 项循环一次.1998=6×333, ∴ a1998 = a 6 = ?4. 十五、 ◆十五、开方法 对有些数列,可先求 a n 或3 a n , 再求 a n . 两个数列 {a n }, {bn }, 它们的每一项都是正整数, 且对任意自然数 n, a n 、bn 、a n +1 成等差数列,bn 、 例 23、 、

a n+1 、 bn +1 成等比数列, a1 = 1, a 2 = 3, b1 = 2, 求a n 和bn .
2bn=an+an+1,① 解:由条件有: a2n+1=bn·bn+1.② 由②式得: a n =

bn?1 ? bn , ③

a n+1 = bn ? bn+1 . ④
把③、④代入①得: 2bn = 变形得 bn ( bn ? bn ?1 ) = ∵ bn >0,∴ bn - bn ?1 =

bn?1 ? bn + bn ? bn +1 , b( bn +1 ? bn ). n bn +1 ? bn .

∴ bn 是等差数列.因 a1 = 1, a 2 = 3, b1 = 2,

故b2 =

9 , 故 b2 ? b1 = 2
2

9 ? 2 = 2, 2
bn bn +1 = 2n(n ? 1).

∴ bn = n 2 , bn = 2n , 故 a n =

小结:除了熟悉以上常见求法以外,对具体的数列进行适当的变形,一边转化为熟知的数列模型更是突破数 列通项的关键。做题时要不断总结经验,多加琢磨。

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

最全的数列通项公式的求法- 12 -


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