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重庆高考试题分类整理(数学理)01集合与函数(理)

时间:2012-12-26


集合、函数、复数与不等式(理)
一、选择题 1、 (2004 理 1)函数 y ? A. [1,??)

log 1 (3x ? 2) 的定义域是( )
2

2 2 C. [ ,1] 3 3 2 2、 (2004 理 2)设复数 Z ? 1 ? 2i , 则 Z ? 2Z ? (
B. ( ,?? ) A –

3 B 3 C -3i

D. ( ,1] ) D 3i

2 3

2 3、 (2004 理 4)不等式 x ? ( ) ? 2 的解集是: x ?1 A B (?1,0) ? (1, ??) (??, ?1) ? (0,1) C D (?1,0) ? (0,1) (??, ?1) ? (1, ??) 2 4、 2004 理 7) ( 一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0, (a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是: ( A B a?0 C D a?0 a ? ?1 a ?1
5、 (2005 理 2) (1 ? i )2005 ?
1? i



( B.- i C. 2


2005

A. i

D.- 2

2005

6、 (2005 理 3) 若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, (??,0] 上是减函数, f (2) ? 0 , 在 且 则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 A. (??,2) B. (2,??) C. (??,?2) ? (2,??) D. (-2,2) ( )

7、 (2005 理 5)若 x,y 是正数,则 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是 2y 2x
C.4 D.





A.3

B.

7 2

9 2

8、 (2006 理 1)已知集合 U ? ? ,2,3,4,5,6,7?, A ? ?2,4,5,7?, B ? ?3,4,5?,则 痧A ? ( 1 U

?

?

U

B) =(



1 (A) ? ,6?

(B) ?4,5?

(C) ?2,3,4,5,7?

(D){ 1,2,3,6,7 }

AB AB 9、 (2006 理 9)如图所示,单位圆中 ? 的长为 x , f ( x)表示弧 ? 与弦 AB 所围
成的弓形面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图像是( )

10、 (2006 理 10)若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3, 则 2a ? b ? c 的最小值为(
-1-



(A) 3 ? 1

(B) 3 ? 1
2

(C) 2 3 ? 2 )

(D) 2 3 ? 2

11、 (2007 理 2)命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A、若 x ≥ 1,则 x ≥ 1 或 x ≤ ? 1
2

B、若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1
2

C、若 x ? 1或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D、若 x ≥ 1 或 x ≤ ? 1,则 x ≥1
2

12、 (2007 理 8)设正数 a, b 满足 lim A、0 B、

a n ?1 ? abn ?1 等于( n ?? a n ?1 ? 2b n



1 4

C、

1 2

D、1

13、 (2007 理 9)已知定义域为 R 的函数 f (x) 在 (8,??) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则 ( ) A、 f (6) ? f (7) B、 f (6) ? f (9) C、 f (7) ? f (9) D、 f (7) ? f (10)

14、 (2008 理 1)复数 1+ (A)1+2i

2 =( i3

) (B)1-2i (C)-1 (D)3 )

15、 (2008 理 2)设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

16、 (2008 理 4)已知函数 y= 1 ? x ?

x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则
(C)

m 的值为( M



(A)

1 4

(B)

1 2

2 2

(D)

3 2

17、 (2008 理 6)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2 ? R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法 一定正确的是( ) (A)f(x)为奇函数 (B)f(x)为偶函数 (C) f(x)+1 为奇函数 (D)f(x)+1 为偶函数 18、 (2008 理 10)函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是( 3 ? 2 cos x ? 2sin x
(C)[- 2,0 ] (D)[- 3,0 ]



(A)[-

2 ,0 ] 2

(B)[-1,0]

19、 (2009 理 2)已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i
2

5i =( z



D. ?2 ? i )

20、 (2009 理 5)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
-2-

A. (??, ?1] ? [4, ??) C. [1, 2]

B. (??, ?2] ? [5, ??) D. (??,1] ? [2, ??)

21、 (2009 理 8)已知 lim(
x ??

2 x2 ? ax ? b) ? 2 ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的值为( x ?1
C. 2 D. 6



A. ? 6

B. ?2

22、 2009 理 10) ( 已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( A. ( )

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? , 其中 m ? 0 。 若方程 3 f ( x) ? x 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

23、 (2010 理 3) lim ?
x ?2

1 ? ? 4 ? ? ?( 2 ? x ?4 x ?2?
B、 ?



A、 ? 1

1 4

C、

1 4

D、1

4x ?1 24、 (2010 理 5)函数 f ( x) ? 的图象( 2x
A、关于原点对称 C、关于 x 轴对称



B、关于直线 y ? x 对称 D、关于 y 轴对称 )

25、 (2010 理 7)已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是( A、3 B、4 C、

9 2

D、

11 2

i 2 ? i3 ? i 4 26、 (2011 理 1)复数 ?( 1? i
A. ?



1 1 ? i 2 2

B. ?

1 1 ? i 2 2
?

C.

1 1 ? i 2 2


D.

1 1 ? i 2 2

27、 (2011 理 2) x ? ?? ”是“ x ?? ? ? ”的( “ A.充分而不必要条件 C.充要条件 28、 (2011 理 3)已知 lim(
x ??

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要 ) D.6 )

A. ??

? ax ?? ? ) ? ? ,则 a ? ( x ?? ?x
B. 2 C.3

= 29、 (2011 理 5)下列区间中,函数 f(x) In(2 ? x) 在其上为增函数的是(

-3-

A. ?,1 ] (-

B. ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

C. ? 0,

? 3 ? 2

?

D. ?1, 2 ? ) D.5

30、 (2011 理 7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= A.

7 2

B.4
2

1 4 ? 的最小值是( a b 9 C. 2

31、 (2011 理 10)设 m,k 为整数,方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的最 小值为( A.-8 二、填空题 ) B.8 C.12 D.13

1 2 1 x 与y ? x3 ? 2 在交点处切线的夹角是______(用幅度数作答) 2 4 1 33、 (2004 理 15)如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到 2
32、 (2004 理 14)曲线 y ? 2 ? 图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 P3、P4、…..Pn…,记 纸板 Pn 的面积为 S n ,则 lim S n ? ______
x ??

P1

P2

P3

P4

34、 (2005 理 11)集合 A ? {x ? R | x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x ? R| | x ? 2 |? 2} ,则 A ? B =
2 3 3

.

35、 (2001 理 12)曲线 y ? x 在点(a, a )( a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为

1 , 则a = 6
36、 (2005 理 14) lim

.

2 3n ? 3 2 n ?1 = n ?? 2 3 n ? 3 2 n

.

-4-

1 ? 2i 的值是 3 ? i3 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) 38、 (2006 理 12) lim ? n ?? 2n 2 ? n ? 1
37、 (2006 理 11)复数 39、 (2006 理 15)设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? a 集为 。

。 。
lg( x 2 ?2 x ?3)

有最大值,则不等式 log a x ? 5 x ? 7 ? 0 的解
2

?

?

40、 (2007 理 11)复数

2i 的虚部为_______________. 2 ? i3
2x
2

41、 (2007 理 13)若函数 f ( x ) ?

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为___________________.
.

42、 (2008 理 11)设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ? B) ?(? ? C ) = 43、 (2008 理 12) 已知函数 f ? x ? ? ?
1 2

?2 x ? 3 ?当x ? 0时? an 2 ? 1 ? , 在点在 x=0 处连续, lim 2 2 则 ? x ?? a n ? n ?当x=0时? ?a ?
.

.

44、 (2008 理 13)已知 a ?

4 (a>0) ,则 log 2 a ? 9 3

45、 (2009 理 11)若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A ? B ?
x

?

?

?

?



1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1 2 47、 (2010 理 11)已知复数 z ? 1 ? i, 则 ? z ? ____________. z
46、 (2009 理 12)若 f ( x) ?
x

48、 (2010 理 12)设 U ? {0,1,2,3}, A ? {x ? U | x ? mx ? 0} ,若 CU A ? {1,2} ,则实数 m ? _________.
2

49、 (2010 理 15)已知函数 f (x) 满足: f (1) ?

1 ,4 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y)( x, y ? R) ,则 4

f (2010) ? __________.
三、解答题 50、 (2004 理 20)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a),(a ? 1) (1) 求导数 f ( x) ; 并证明 f ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ;
王新敞
奎屯 新疆

/

(2) 若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围

-5-

51、 (2005 理 19)已知 a ? R ,讨论函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? a ? 1) 的极值点的个数.
x 2

52、 (2006 根据 20)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c e ,其中 b, c ? R 为常数。
2 2

?

?

(I)若 b ? 4c ? 1 ,讨论函数 f ( x) 的单调性;
2

(II)若 b ? 4(c ? 1) ,且 lim
2

x ??

f ( x) ? c ? 4 ,试证: ?6 ? b ? 2 x

53、 (2006 理 21)已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f

? f ( x) ? x

2

? x ? ? f ( x ) ? x 2 ? x.

(I)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f (a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析表达式

-6-

54、 (2007 理 20)已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c( x ? 0) 在 x ? 1处取得极值 ? 3 ? a ,其中 a、b 为常
4 4

数. (Ⅰ)试确定 a、b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

2 55、 (2008 理 20) 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点 (0,2a ? 3 ) 且在点 ?1, f ? ?1? ,

?

?

处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g ? x ? ? ? f ? x ? e
?x

的单调区间.

56、 (2009 理 18)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))
2

处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a, b 的值;

ex (Ⅱ)若函数 g ( x) ? ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

-7-

57、 (2010 理 18)已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? ln( x ? 1) ,其中实数 a ? ?1 . x?a

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在 x ? 1处取得极值,试讨论 f (x) 的单调性.

58、 (2011 理 18) f ( x) ? x ? ax ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b , 设 其中常数 a, b ? R . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e
?x

?

?

,求函数 g ( x) 的极值.

-8-

集合、函数、复数与不等式(理)参考答案
一、选择题 1、D 2、A 3、A 4、C 5、A 6、D 7、C 8、D 9、D 如图所示,单位圆中 ? 的长为 x , AB

AB AB f ( x)表示弧 ? 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍,当 ? 的长小于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的
越来越快,当 ? 的长大于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越慢,所以函数 y ? f ( x) 的图像是 D. AB 10、D 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3, 所以 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ? 2 3 ,
2

1 1 4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ? (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc) ≤ (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ) 4 4
∴ (2 3 ? 2) ≤ (2a ? b ? c) ,则( 2a ? b ? c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D.
2 2

11、D 12、B 13、D

14、A

15、A

16、C

17、 C

18、 解析: B 特殊值法, sin x ? 0,cos x ? 1 则 f(x)=

0 ?1 ? ?1 3 ? 2 ?1 ? 2 ? 0

6 ? (sin x ? 1) 2 sin x ? 1 3 排除 A,令 当时 sin x ? ? 1时 cos x ? 所以矛盾 ? ? 2 得 cos x ? 4 2 3 ? 2 cos x ? 2sin x
f ( x) ? ? 2 排除 C, D(此解法有问题,当 sin x ? ?1 时, cos x ? 0 ,此时 f ( x) ? ? 2 )
单调性法: f ( x) ?

sin x ? 1 3 ? 2cos x ? 2sin x

?

sin x ? 1 3 ? 2 2 sin( x ? ) 4

?



? ? ? ? 5? 5? 3? 3? ? x ?[0, ],[ , ],[ , ],[ , ],[ ,2? ] 来讨论函数的单调性,易知当 x ?[0, ] ,函数为增函数,又当 4 4 2 2 4 4 2 2 4 ? ? ? 5? x ?[ , ] 时,函数的分母增大,分子的绝对值减小,故函数仍为增函数,当 x ? [ , ] 时,函数不减函 2 4 4 2 5? 3? 3? 数,当 x ?[ , ] 时,函数的分母减小,分子的绝对值增大,故函数仍为减函数,当 x ?[ , 2? ] 时,函 4 2 2 3? 数为增函数。故知函数在 x ? 0, 或 处取得最小值。通过计算易知,最小值为-1。故选 B。 2 19、A 20、A 21、D 22、B 23、C 24、D 25、B 26、C 27、A 28、D 29、D 30、C 31、D 二、填空题

1 7 1 ? ? 33、 34、 {x | 0 ? x ? 3} 35、 ? 1 36、-3 37、 39、 ? 2, 3 ? ? i 38、 10 10 2 4 3 4 1 1 1 40、 41、[?1,0] 42、{2,5} 43、 44、3 45、(0,3) 46、 47、 ? 2i 48、 ? 3 49、 5 3 2 2
32、 三、解答题 50、解: (I) f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a.
2

-9-

令f ?( x) ? 0得方程3 x 2 ? 2(1 ? a ) x ? a ? 0. 因? ? 4( a 2 ? a ? 1) ? 4a ? 0, 故方程有两个不同实根x1 , x2 不妨设x1 ? x2 ,由f ?( x) ? 3( x ? x1 )( x ? x2 )可判断f ?( x)的符号如下 : 当x ? x1时, f ?( x) ? 0;当x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0;当x ? x2时, f ?( x) ? 0
因此 x1 是极大值点, x 2 是极小值点. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式
3 2 x13 ? x 2 ? (1 ? a)( x12 ? x 2 ) ? a ( x1 ? x 2 ) ? 0.

即( x1 ? x 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 3 x1 x 2 ] ? (1 ? a)[( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? a( x1 ? x 2 ) ? 0.

2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 (1 ? a ), ? 又由(I)知 ? 代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得 ?x x ? a . ? 1 2 3 ?
1 a ? 2或a ? (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 2a 2 ? 5a ? 2 ? 0.解不等式得
51、 解 : f ?( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) ? e x (2 x ? a)

? e x [ x2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)], 令f ?( x) ? 0得x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0
(1)当 ? ? (a ? 2) ? 4(2a ? 1) ? a ? 4a ? a(a ? 4) ? 0.
2 2

即a ? 0或a ? 4时, 方程x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个不同的实根x1 , x 2 , 不妨设x1 ? x 2 , 于是f ?( x) ? e x ( x ? x1 )( x ? x 2 ), 从而有下表 :
x

(??, x1 )
+

x1 0

( x1 , x 2 )


x2
0

( x 2 ,??)
+

f ?(x) f (x)

f ( x1 ) 为极大值

f ( x2 ) 为极小值

即此时 f (x) 有两个极值点. (2)当 ? ? 0即a ? 0或a ? 4时, 方程x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个相同的实根 x1 ? x2
2

于是 f ?( x) ? e ( x ? x1 )
x

2

故当x ? x1时, f ?( x) ? 0;当x ? x2时, f ?( x) ? 0,因此f ( x) 无极值.
(3) 当? ? 0,即0 ? a ? 4时, x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0,
2

- 10 -

f ?( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)] ? 0, 故f ( x) 为增函数,此时 f (x) 无极值. 因此当

a ? 4或a ? 0时, f ( x)有2个极值点,当0 ? a ? 4时, f ( x) 无极值点.
52、 解:(I)求导得f ( x) ? ? x ? (b ? 2) x ? b ? c ? e ? ?
' 2 2

因b2 ? 4 ? c ? 1? .故方程f ' ( x) ? 0即x 2 ? (b ? 2) x ? b ? c ? 0有两根。 b 2 ? 4 ? c ? 1? b 2 ? 4 ? c ? 1? b?2 b?2 x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? 2 2 2 2 ' 令f ( x ) ? 0.解得x ? x1或x ? x2 又令f ' ( x ) ? 0.解得x1 ? x ? x2 故当x ? ? ??, x1 ? 时,f ( x )是增函数;当x ? ? x2 , ?? ? 时,f ( x)也是增函数; 但当x ? ? x1 , x2 ? 时,f ( x )是减函数

(II)易知 f (0) ? c, f ' (0) ? b ? c,因此 lim f ( x) ? c f ( x) ? f (0) ? lim ? f ' (0) ? b ? c x ?? x ?? x x ?b+c=4 所以,由已知条件得 ? 2 ,因此b 2 ? 4b ? 12 ? 0 b ? 4(c ? 1) ? 解得-6 ? b ? 2
2 2

53、 解:(I)因为对任意x ? R,有f(f(x)-x ? x) ? f ( x) ? x ? x

所以f(f(2)-22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2又由f(2)=3,得f(3-22 ? 2) 3 ? 22 ? 2,即f (1) ? 1 ? 若f(0)=a,则f(a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0,即f (a) ? a

(II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 又因为f ( x0 ) ? x0,所以x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R)
54、解: (Ⅰ)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f (x) 求导得 f ( x) ? 4ax ln x ? ax ?
/ 3 4
/

1 ? 4bx3 ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f (1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .

- 11 -

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 48 x ln x( x ? 0) .令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 1.
/ 3 /

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f (x) 为减函数;
/

当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ,此时 f (x) 为增函数. 因此 f (x) 的单调递减区间为 (0,1) ,而 f (x) 的单调递增区间为 (1,??) . (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f (x) 在 x ? 1处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值. 要使 f ( x) ? ?2c ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c .
2

2

即 2c ? c ? 3 ? 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 .
2

解得 c ?

3 或 c ? ?1 . 2

3 所以 c 的取值范围为 (??,?1] ? [ ,??) 2
2 55、解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c , 所以f ?(x ) ? 2ax ? b.

又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a(2a ? 3) ? 4(a ? ) ?

3 2 9 , 4 4 3 9 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 2 3 3 ?x g ( x) ? ? f ( x)c ? x ? ( x ? x ? )e , 4 2 2 3 2 ?x ?x 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x) e ? ? ( x ? 4) e . 4
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2.

当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数.
- 12 -

由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) ;单调递增区间为(-2,2). 56、解: (Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b
2

又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

ex (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? 2 (k ? 0) x ?k
g ?( x) ? ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2
2

令 g ?( x) ? 0 ,有 x ? 2 x ? k ? 0(k ? 0) (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0 ,即当 k ? 1 时, g ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,故函数 g ( x) 在 R 上位增函数 (2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0 ,即当 k ? 1 时,有 g ?( x) ? 上为增函数 ( 3 ) 当 ? ?4 ?k 4 , ?0 即 当 0 ? k ? 1 时 , 方 程 x2 ? 2 x ? k ? 0 有 两 个 不 相 等 实 根

e x ( x ? 1) 2 ? 0( x ? 1) ,从而当 k ? 1 时, g ( x) 在 R ( x 2 ? 1) 2

x1 ? 1 ? 1 ? k , x2 ? 1 ? 1 ? k
( 当 x ? (??,1 ? 1 ? k ) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ? ?,1 ? 1 ? k ) 上为增函数;
( 1 当 x ? 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 上为减函数;

( 1 当 x ? 1 ? 1 ? k,+?) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k,+?) 上为增函数
57、解: (Ⅰ) f ( x) ?
/

x ? a ? ( x ? 1) 1 a ?1 1 ? ? ? . 2 2 x ? 1 ( x ? a) x ?1 ( x ? a)
/

当 a ? 1 时 , f (0) ?

2 ?1 1 7 1 ? ? , 而 f (0) ? ? , 因 此 曲 线 y ? f (x) 在 点 2 0 ?1 4 2 (0 ? 2)

1 7 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (? ) ? ( x ? 0) 即 7 x ? 4 y ? 2 ? 0 . 2 4
(Ⅱ) a ? ?1 ,由(Ⅰ)知 f ( x) ?
/

a ?1 1 1 1 ? ? ? , 2 1?1 a ?1 2 (1 ? a)

- 13 -

1 1 ? ? 0 ,解得 a ? ?3 . a ?1 2 x ?1 此时 f ( x) ? ? ln( x ? 1) ,其定义域为 (?1,3) ? (3,??) ,且 x?3


f / ( x) ?

?2 1 ( x ? 1)( x ? 7) / ,由 f ( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 7 .当 ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? 3) ( x ? 1) ( x ? 3)

? 1 ? x ? 1 或 x ? 7 时, f / ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 7 且 x ? 3 时, f / ( x) ? 0 .
由以上讨论知, f (x) 在区间 (?1,1], [7,??) 上是增函数,在区间 [1,3), (3,7] 上是减函数. 58、解: (I)因 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1, 故 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.
3 2 2

令 x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? .

3 2

3 2 5 x ? 3x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? (? ) ? ?3, 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为 2 5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1), 即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2
因此 f ( x) ? x ?
3

(II)由(I)知 g ( x) ? (3x ? 3x ? 3)e ,
2

?x

从而有 g ?( x) ? (?3x ? 9 x)e .
2 ?x

令 g ?( x) ? 0, 得 ? 3x ? 9 x ? 0, 解得x1 ? 0, x2 ? 3.
2

当 x ? (??,0)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(??,0) 上为减函数; 当 x ? (0,3)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x) 在(0,3)上为增函数; 当 x ? (3, ??) 时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(3, ??) 上为减函数; 从而函数 g ( x)在x1 ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3, 在x2 ? 3 处取得极大值 g (3) ? 15e .
?3

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