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3.2.2直线的两点式方程


1、直线的方程 (已知过点P(x0,y0)及斜率k) (1)点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 平行于x轴的直线方程: y ? y0 (斜率k=0) x轴所在的直线方程: y=0 平行于y轴的直线方程: x ? x0 (斜率不存在) y轴所在的直线方程: x=0 (2)斜截式方程: y ? kx ? b (已知过点P(o,b)及斜率k)

/> 课题引入

利用点斜式解答 已知直线 l经 过 两 点 P 1 (1,2), P 2 (3,5), 求直线 l的 方 程

探索新知 1、直线的两点式探究:
已知P ( x1 ? x2且 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 其中
y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

y1 ? y2 ),能否求出通过这两点的 直线方程?

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

探索新知
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )(其 中x1 ? x2且 y1 ? y2 )的 直 线 方 程 y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 叫做直线的两点式方, 程简 称 两 点 式
注意:当直线的斜率不存在( x1 ? x2)或者 斜率为零(y1 =y2)时,不能用两点式表示

练习
求过下列两点的直线的两点式方程

(1)A(1, 2),B(3, 5); (2)A(?4,?5),B(0, 0);
y?5 x?4 ? 5 4

y ? 2 x ?1 ? 5 ? 2 3 ?1

例3
y
B(0,b)

如图,已知直线l与x轴的交点为 A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.

解:将A(a,0),B(0,b)代 入两点式方程得
y?0 x?a ? b?0 0?a
A(a,0)

l

0

x

化简得 x y ? ?1 a b

不能表示过原点或与坐标轴平 截距式 横截距 纵截距 行或重合的直线

x y ? ? 1(ab ? 0) 直线的截距式方程: a b
思考:
x y x ? ? ? 1; ? y ? ?1 是截距式吗? 2 3 2
不是

截距式有何要求? 加号连接,右边为1

例4
三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直 y 线的方程.

.
C

. A

O

.M
. B

x

灵活运用

求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上 的截距相等的直线方程.
y P

o

x

灵活运用 变式

已知直线l过点P(?5, 4), 且与坐标 轴正半轴围成的三角形的面积为5, 求直线l的方程.

x y ? ?1 5 2

小结

通过上面的学习和应用,请同学们总结一 下,确定一条直线需要几个独立的条件?
已知条件 P1(x1,y1) P2(x2,y2)
x轴上的截距 y轴上的截距

方程名称 两点式

直线方程

适应范围

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x ?x , 1 2 y ?y
1 2

截距式

x y ? ?1 a b
分类讨论、 数形结合

a?0且b?0

数学思想方法:

灵活运用
P97练 习 2、 根 据 下 列 条 件 求 直 线 方 的程 (1)在x轴 上 的 截 距 是 2, 在y轴 上 的 截 距 是 3; ( 2)在x轴 上 的 截 距 是 ? 5, 在y轴 上 的 截 距 是 6 3 、 根据下列条件 , 求直线的方程 (1)过 点 (0,5), 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 之 距和为 2; ( 2)过 点 (5,0), 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 之 距差为 2

作业:

活页十八