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集合1


课题

集合含义及其表示

一、1)集合: 2)集合的元素: 3)集合按元素的个数分,可分为 1)__________2)_________ 二、集合中元素的三个性质: 1)___________2)___________3)_____________ 三、元素与集合的关系:1)____________2)____________ 四、特殊

数集专用记号: 1)非负整数集(或自然数集)______2)正整数集_____3)整数集_______ 4)有理数集______5)实数集_____ 6)空集____ 五、集合的表示方法: 1) 2) 3) 六、例题讲解 例 1: (集合的概念)下列集合中,集合 M 与几何 N 相等的有________

(1) M ? {(3, 2)}, N ? {(2,3)}; (2) M ? {3, 2}, N ? {x ? R | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0}; (3) M ? {( x, y ) | y ? x ? 1}, N ? { y | y ? x ? 1}; (4) M ? {0}, N ? ?; (5) M ? {?}; N ? ?; (6) M ? {2,3}; N ? {(2,3)};
例 2: (元素的互异性)若 ?3 ?{a ? 3, 2a ? 1, a ? 4} ,求实数 a 的值.
2

2 0 1 2 0 1 3 2 ?2 b 变式 1: 已知三个元素的集合 A ? {1, a , }, 集合 B ? {0, a , a ? b}, 若 A=B, 求a

b a



值.

变式 2:设集合 A= x x ? (b ? 2) x ? b ? 1 ? 0, b ? R ,求 A 中元素的和。
2

?

?

例 3:设集合 A= x ax ? 2 x ? 1 ? 0 , B= x x ? 2 x ? a ? 0 ,当 A 为单元素集时,用列举
2 2

?

?

?

?

法分别表示集合 A 和 B.

变式:已知集合 A ? {x | mx2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R} ,若 A 中元素至多只有一个,求实数 m 的 取值范围.

例 4: M= m m ? 2k, k ? Z ,X= x x ? 2k ? 1, k ? Z , Y= y y ? 4k ? 1, k ? Z , x ? X ,

?

? ?

?

?

?

y ? Y .则
A . x ? y?M B. x ? y ? X C. x ? y ? Y

( D. x ? y ? M



七、课堂练习 1.已知集合 A ? {a ? 2,(a ? 1)2 , a2 ? 3a ? 3}, 若 1 ? A ,求实数 a 的值.

2. 若 a, b ? R, 集合 {1, a ? b, a} ? {0,

b , b}, 求 b ? a 的值. a

3. 已知集合 A= x ax ? 2x ? 1 ? 0, a ? R , x ? R

?

2

?

(1) 若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并求出这个元素; (2) 若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值集合。

4 .已知集合 M ? {x | x ? 3n, n ? Z }, N ? {x | x ? 3m ? 1, m ? Z }, P ? {x | 3s ? 1, s ? Z }, 且

a ? M , b ? N , c ? p. 设 d ? a ? b ? c, 则(



A.d ? M C .d ? P

B.d ? N D.以上都不对

5. 设 x,y,z 都是非零实数,则用列举法将 可能的值组成的集合表示为

y z xy xz yz xyz x ? ? ? ? ? ? 所有 x y z xy xz yz xyz





子集、全集、补集 (一)

一、子集与真子集 (1)子集与真子集符号的方向 (2)当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作 A B(或 B A).如:A ={2,4},B={3,5,7},则 A B. (3)空集是任何集合的子集即Φ ? A. (4)空集是任何非空集合的真子集即Φ A 若 A≠Φ ,则Φ (5)任何一个集合是它本身的子集即 A ? A . A.

(6)易混符号: ①“ ? ”与“ ? ” :元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 如 1 ? N ,?1 ? N , N ? R, Φ ? R,{1} ? {1,2,3} ②{0}与Φ :{0}是含有一个元素 0 的集合,Φ 是不含任何元素的集合 如 Φ ? {0}不能写成Φ ={0},Φ ∈{0} (7)子集关系具有传递性.即 A ? B, B ? C ,则 A ? C . 真子集关系也具有传递性若 A B,B C,则 A C (8) 如果一个集合的元素有 n 个, 那么这个集合的子集有 个, 真子集有 非空真子集. 二、例题讲解 例 1:判断下列写法是否正确:①Φ ? A ②Φ A ③ A ? A ④A A.

个, 有



变式:用适当的符号表示一下各组的关系:

(1)0与? ; (2){0}与? ; (3)? 与{?}; (4){1,2}与{{1,2},3,4}; (5){1, 2}与{1, 2,3, 4};
例 2:满足 ?a? ? M ? ?a, b, c, d?的集合M共有多少个?

变式 1: ?a? ? M ? ?a, b, c, d?的集合M共有多少?

变式 2: ?a? ? M ? ?a, b, c, d?的集合M共有多少?

变式 3: ?a? ? M ? ?a, b, c, d?的集合M共有多少?

例 3. 已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} ,B ? {x | 2m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , 且 B ? A, 求实数 m 的取值范围.

变式 1:已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} , B ? {x | ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,且 B ? A ,求实 数 m 的取值范围.

变式 2:已知集合 A ? {x | 0 ? ax ? 1 ? 5}, 集合B ? {x | ? (1) 若 A ? B, 求实数 a 的取值范围; (2) 若 B ? A ,求实数 a 的取值范围;

1 ? x ? 2}. 2

(3) A, B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

2 例四: 已知集合 P ? {x | x ? x ? 6 ? 0, x ? R}, S ? {x | ax ? 1 ? 0, x ? R}, 若 S ? P , 求实数

a 的取值范围.

2 2 变式 1:已知集合 A ? {x | x ? 4 x ? 0} , B ? {x | x ? ax ? a ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a

满足的条件.

变式 2 :集合 A ? {x | x ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? b ? 0}, 若B ? ?, B ? A, 求实数
2 2

a , b 的值.

三、课堂练习 1. 用适当的符号填空:

? _ _ _ x x 2 ? 1;

?

?

0 _ _N ;

? x x ? 4k ? 2, k ? Z ? ___ ? y y ? 4k ? 2, k ? Z ?

2. 满足 ?1,2? ? M ? ? 1,2,3,4,5?的集合 M 共有多少个?

3. 已知集合 A ? {x | x ? 1或x ? 3}, B ? {x | 2m ? x ? m ? 1} ,且 B ? A ,求实数 m 的取 值范围.

4. 已知 x x ? mx ? 2 ? 0 ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,且 x x ? mx ? 2 ? 0 ? ? ,求由
2 2 2

?

? ?

?

?

?

实数 m 的取值组成的集合 M .

2 2 2 5. 设集合 A ? {x | x ? 4x ? 0}, B? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0}, 若 B ? A ,求实数 a 的

值.

6. 已知 a∈R,b∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1} ,求: (1)A={2,3,4}的 x 值; (2)使 2∈B,B ? A,求 a,x 的值; (3)使 B= C 的 a,x 的值.

7、已知集合 A ? ?? 2? , B ? x ax ?1 ? 0, a ? R , B ? A, 求 a 的值。

?

?

四、课后练习 1. 设集合 P ? ?1,2,3,4? , Q ? x ?3 ? x ? 2 ,则集合

?

?

A ? ? x x? 且 P x ? ?Q ?
2.用列举法表示集合 A ? ? x x ?

. (用列举法表示)

? ? ? ?

a a

?

x 3. 已知集合 A ? y y ? ?e ? 2 ,B ? x y ? 1 ? x

?

?

?

? b ? , a和b均为非零实数? ? ____ b ? ?
2



? ,则 A 与 B 的关系是

. (或

B 是 A 的真子集) 4.若集合 A ? ?1,2,3,4? , B ? ?3, 4,5,6? ,则满足 S ? A 且 S 是 .

B ? ? 的集合 S 的个数

5. 集合 A ? {y | y ? ? x 2 ? 4, x ? N , y ? N } 的真子集有___________个. 6. 若 集 合 M ? { x | 2x ? x ? 6 ? 0 } ,N ? { a x? 2? 且 0 } ,N 则 ? M的 取 , a值 集 合 是 ________________
2 7 已知集合 A ? { x | ax 若 A 中元素至多只有一个,则 a 的取值范围是 ? 2 x? 1 ? 0},

_________________ 8.设集合 M ? {x | x ? ________________
2 9. 已知集合 P ? ?1,1 ? d ,1 ? 2d? , Q ? 1, q, q ,且 P ? Q ,试求 d 和 q 的值.

k 1 k 1 ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z }, 则集合 M 与 N 的关系是 2 4 4 2

?

?

10. 设 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? ax ? (a ? 1) ? 0}, C ? {x | x 2 ? bx ? 2 ? 0} ,问满足

B ? A ,C ? A 的实数 a , b 是否存在?若存在,求 a , b 的取值范围;若不存在,说明理由.

11.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 3m ? 1}, B ? A, 求 m 的取值范围.

12. 设集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 5 ? 0}.B ? A, 求 a 的取值
2 2 2

范围.


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