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黑龙江省哈尔滨六中2015届高三下学期高考适应性考试(一)数学(理)试卷

时间:2016-07-23


2015 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷(理科) (一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A.﹣4 B. C.4 D.

2.设集合 A={x|x ﹣

(a+3)x+3a=0},B={x|x ﹣5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8, 则实数 a 的取值集合为 ( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=( )

2

2

A.3

B.4

C.5

D.6

4.函数 y= A. B.

sin(x+ C.

)+cos( D.

﹣x)的最大值为(



5.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥表面积 和体积分别是( )

A.4

,8

B.4



C.4(

+1) ,

D.8,8

6.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的准线分别 ,则 p=( )

2

交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 A.1 B. C.2 D.3

7.已知函数

,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 )

0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( A. B. C. D.

8.在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若 ( A. ) B. C. D.1

?

=1,则 AB 的长为

9.在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) ,且 a7=2,a9=3,a98=4,则数 列{an}的前 100 项的和 S100=( ) A.132 B.299 C.68 D.99

*

10.已知实数 x,y 满足 A.[1,2] B.[1,+∞)
2

,则 2x+y 的取值范围是( C. D.



11.已知函数 f(x)=x ﹣cosx,则 A. C. B. D.

的大小关系是(



12.已知椭圆

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0) ,左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是(



A.

B.

C.

D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.若 为 . 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数

14. 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上, 且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA⊥ABCD, ,则该球的体积为 . 15.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 则 a+b 的最大值为 .
x ﹣x

a﹣2csinA=0.若 c=2,

16.已知 f(x)=4 +1,g(x)=4 .若偶函数 h(x)满足 h(x)=mf(x)+ng(x) (其中 m, n 为常数) ,且最小值为 1,则 m+n= .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) ,求证: . 成等差数列.

18.随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了 n 个人,其中 男性占调查人数的 .已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有 的人的休闲方 式是运动. (1)完成下列 2×2 列联表: 运动 男性 女性 总计 n (2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关” ,那么本次被 调查的人数至少有多少? (3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动? 参考公式:K P(K ≥K0) K0
2

非运动

总计

,其中 n=a+b+c+d. 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

19.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2PF=FA. (1)求证:平面 PAC⊥平面 BEF; (2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.

20.已知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)为平面内的两个定点,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=2 P 的轨迹为曲线 M.点 O 为坐标原点,点 A、B、C 是曲线 M 上的不同三点,且 (Ⅰ)求直线 AB 与 OC 的斜率之积; (Ⅱ)当直线 AB 过点 F1 时,求直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. ﹣x 21.已知函数 f(x)=(x+1)e (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; + +

,记点 =

(Ⅱ)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e ,存在 x1,x2∈[0,1],使得成立 2φ(x1)< φ(x2)成立,求实数 t 的取值范围.

﹣x

二.请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图,圆 O 的直径 AB、BE 为圆 O 的切线,点 C 为圆 O 上不同于 A、B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与圆 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (Ⅰ)求证:∠DBE=∠DBC; (Ⅱ)若 HE=2a,求 ED.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原

点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是:

(t 是

参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 参数方程转化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 ,试求实数 m 值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|; (Ⅱ)如果对? x∈R,不等式 g(x)+c≤f(x)﹣|x﹣1|恒成立,求实数 c 的取值范围.
2

2015 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷(理科) (一)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A.﹣4 B. C.4 D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知等式两边同时乘以 求. 解答: 解:∵(3﹣4i)z=|4+3i|, ∴ = . ,然后利用复数模的公式及除法运算化简,则答案可

∴z 的虚部为 . 故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础的计算题. 2.设集合 A={x|x ﹣(a+3)x+3a=0},B={x|x ﹣5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8, 则实数 a 的取值集合为 ( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 通过解方程分别求得集合 A、B,根据 A∪B 中所有元素之和为 8,可得 a 的可能取值. 解答: 解:解方程 x ﹣5x+4=0 得:x=4 或 1,∴B={1,4}, 2 解方程 x ﹣(a+3)x+3a=0 得:x=3 或 a,∴A={3}或{3,a}, ∵1+4+3=8,∴A={3}或{3,0}或{3,1}或{3,4}. ∴a=0 或 1 或 3 或 4. 故选:D. 点评: 本题考查了元素与集合的关系,利用了分类讨论思想. 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=( )
2 2 2

A.3 B.4 C.5 D.6 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输 出 i 值,模拟程序的运行过程可得答案. 解答: 解:当 a=4 时,不满足退出循环的条件,进入循环后,由于 a 值不满足“a 是奇数” , 故 a=5,i=2; 当 a=5 时,不满足退出循环的条件,进入循环后,由于 a 值满足“a 是奇数” ,故 a=16,i=3; 当 a=16 时,不满足退出循环的条件,进入循环后,由于 a 值不满足“a 是奇数” ,故 a=8,i=4; 当 a=8 时,不满足退出循环的条件,进入循环后,由于 a 值不满足“a 是奇数” ,故 a=4,i=5; 当 a=4 时,满足退出循环的条件,故输出结果为:5 故选 C 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序运行结果时,模拟程序运行结果是最常用的 方法,一定要熟练掌握.

4.函数 y= A. B.

sin(x+ C.

)+cos( D.

﹣x)的最大值为(



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 将函数 y 解析式第一项利用诱导公式化简,第二项利用两角和与差的余弦函数公式及 特殊角的三角函数值化简,整理后,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函 数,由正弦函数的值域,即可得出 y 的最大值. 解答: 解:y= = = cosx+ sin(x+ )+cos( ﹣x)

cosx+ sinx

cosx+ sinx

= =



cosx+

sinx) ,cosθ= ) ,

sin(x+θ) (其中 sinθ=

∵﹣1≤sin(x+θ)≤1, ∴函数 y 的最大值为 .

故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及特殊 角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. 5.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥表面积 和体积分别是( )

A.4

,8

B.4



C.4(

+1) ,

D.8,8

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高,则 其表面积和体积可求. 解答: 解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形, 所以该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2,高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= = . =4( ) ,

所以该四棱锥表面积 S=4+4× ×2× 体积 V= 故选 C. = .

点评: 本题考查了棱锥的体积,考查了三视图,解答的关键是能够由三视图得到原图形,是 基础题.

6.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的准线分别 ,则 p=( )

2

交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 A.1 B. C.2 D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线 的渐近线方程与抛物线 y =2px(p>0)的准线方程,进而求出 ,列出方程,由此方程求出 p
2

A,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 的值. 解答: 解:∵双曲线 ,

∴双曲线的渐近线方程是 y=± x 又抛物线 y =2px(p>0)的准线方程是 x=﹣ , 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=± ,双曲线的离心率为 2,所以 ,
2







A,B 两点的纵坐标分别是 y=± 又,△AOB 的面积为 ∴ 故选 C.

=



,x 轴是角 AOB 的角平分线 ,得 p=2.

点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出 A,B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算量,做 题时要严谨,防运算出错.

7.已知函数

,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 )

0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由极值的知识结合二次函数可得 a>b,由分步计数原理可得总的方法种数,列举可得 满足题意的事件个数,由概率公式可得. 解答: 解:求导数可得 f′(x)=x +2ax+b , 2 2 要满足题意需 x +2ax+b =0 有两不等实根, 2 2 即△=4(a ﹣b )>0,即 a>b, 又 a,b 的取法共 3×3=9 种, 其中满足 a>b 的有(1,0) , (2,0) , (2,1) , (3,0) , (3,1) , (3,2)共 6 种, 故所求的概率为 P= 故选 D 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及函数的极值问题,属基础题.
2 2

8.在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若 ( A. ) B. C. D.1

?

=1,则 AB 的长为

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 为基底,把 用 表示,代入 ? =1,结合数量积运算可

求得答案. 解答: 解:如图:

∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ ∴ , = ,

= = = ∴ ∵ ,∴ . . ,

∴AB 的长为 . 故选:C. 点评: 求向量的模一般有两种情况:若已知向量的坐标,或向量起点和终点的坐标,则 或 ;若未知向量的坐标,只是已知条

件中有向量的模及夹角,则求向量的模时,主要是根据向量数量的数量积计算公式,求出向 量模的平方,即向量的平方,再开方求解,属中档题. 9.在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) ,且 a7=2,a9=3,a98=4,则数 列{an}的前 100 项的和 S100=( ) A.132 B.299 C.68 D.99 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意数列各项以 3 为周期呈周期变化,所以 a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3,进而 S100=33 ×(a1+a2+a3)+a1.由此能够求出 S100. * 解答: 解:∵在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) , ∴an+3=an.即数列各项以 3 为周期呈周期变化 ∵98=3×32+2, ∴a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3, a1+a2+a3=2+3+4=9, ∴S100=33×(a1+a2+a3)+a100=33×(a1+a2+a3)+a1 =33×9+2=299. 故选 B 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
*

10.已知实数 x,y 满足

,则 2x+y 的取值范围是(



A.[1,2] B.[1,+∞) C. D. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求 z 的取值范围. 解答: 解:设 2x+y=b,则只需求直线 2x+y=b 在 y 轴上的截距范围.

画出可行域为弓形, 当直线与圆相切时,截距最大,且为 , 当直线过点(0,1)时截距最小,且为 1, 所以 2x+y 的取值范围是[1, ]. 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.
2

11.已知函数 f(x)=x ﹣cosx,则 A. C. B. D.

的大小关系是(



考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数的导数,判断函数的单调性,利用函数的单调性进行比较即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣cosx 为偶函数, ∴f(﹣0.5)=f(0.5) ,f′(x)=2x+sinx, 当 0<x< 时,f′(x)=2x+sinx>0,∴函数在(0, )上递增,
2

∴f(0)<f(0.5)<f(0.6) , 即 f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6) , 故选:B 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,求函数的导数,利用函数的单调性是解决本题的关 键.

12.已知椭圆

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0) ,左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆方程求出 F 和 A 的坐标,由对称性设出 B、C 的坐标,根据菱形的性质求出横 坐标,代入抛物线方程求出 B 的纵坐标,将点 B 的坐标代入椭圆方程,化简整理得到关于椭 圆离心率 e 的方程,即可得到该椭圆的离心率. 解答: 解:由题意得,椭圆 的左焦点为 F,右顶点为 A, 则 A(a,0) ,F(﹣c,0) , ∵抛物线 y =
2

(a>b>0,c 为半焦距)

(a+c)x 于椭圆交于 B,C 两点,

∴B、C 两点关于 x 轴对称,可设 B(m,n) ,C(m,﹣n) ∵四边形 ABFC 是菱形,∴BC⊥AF,2m=a﹣c,则 m= (a﹣c) , 将 B(m,n)代入抛物线方程得, n=
2

(a+c)m=

(a+c) (a﹣c)=

(a ﹣c ) ,

2

2

∴n =

2

b ,则不妨设 B( (a﹣c) ,

2

b) ,再代入椭圆方程得,

+

=1,

化简得 故选 D.

=

,由 e= ,即有 4e ﹣8e+3=0,解得 e= 或 (舍去) .

2

点评: 本题考查椭圆、抛物线的标准方程,以及它们的简单几何性质,菱形的性质,主要考 查了椭圆的离心率 e,属于中档题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若 15 . 考点: 二项式系数的性质. 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024, 则展开式中 x 项的系数为 ﹣

专题: 计算题;二项式定理. 分析: 根据 展开式的各项系数绝对值之和为 4 =1024,求得 n=5.在 展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,可得展开式中 x 项 的系数. 解答: 解:在 可得 ∴n=5. 故 令 展开式的通项公式为 Tr+1= =1,求得 r=1,故展开式中 x 项的系数为﹣15. 的展开式中,令 x=1, 展开式的各项系数绝对值之和为 4 =2 =1024=2 ,
n 2n 10 n

故答案为:﹣15. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求 展开式中某项的系数,属于中档题. 14. 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上, 且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA⊥ABCD, ,则该球的体积为 .

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意四棱锥 P﹣ABCD,扩展为长方体,长方体的对角线的长就是外接球的直径,求 出对角线长顶点球的直径,求出球的体积. 解答: 解:四棱锥 P﹣ABCD,扩展为长方体,长方体的对角线的长就是外接球的直径, 所以 R= 所以球的体积为: 故答案为: . =1, .

点评: 本题是基础题,考查棱锥的外接球,几何体的扩展,确定四棱锥与扩展的长方体的外 接球是同一个,以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提. 15.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 则 a+b 的最大值为 4 . 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. a﹣2csinA=0.若 c=2,

分析: 由

a﹣2csinA=0 及正弦定理, 可得

﹣2sinCsinA=0 (sinA≠0) , 可得 C=

. 利

用余弦定理可得: 解答: 解:由 ∴ , .

,再利用基本不等式的性质即可得出. ﹣2sinCsinA=0(sinA≠0) ,

a﹣2csinA=0 及正弦定理,得

∵△ABC 是锐角三角形,∴C= ∵c=2,C= ,

由余弦定理, 即 a +b ﹣ab=4, ∴(a+b) =4+3ab
2 2 2 2





化为(a+b) ≤16, ∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=” , 故 a+b 的最大值是 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 16.已知 f(x)=4 +1,g(x)=4 .若偶函数 h(x)满足 h(x)=mf(x)+ng(x) (其中 m, n 为常数) ,且最小值为 1,则 m+n= .
x ﹣x

考点: 函数最值的应用;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数是偶函数,确定 m=n,利用基本不等式求最值,确定 m 的值,即可得到结论. 解答: 解:由题意,h(x)=mf(x)+ng(x)=m4 +m+n4 ,h(﹣x)=mf(﹣x)+ng(﹣x) ﹣x x =m4 +m+n4 , ∵h(x)为偶函数,∴h(x)=h(﹣x) ,∴m=n ∵h(x)=m(4 +4 )+m,4 +4 ≥2 ∴h(x)min=3m=1 ∴m= ∴m+n= 故答案为: 点评: 本题考查函数的奇偶性,考查基本不等式的运用,考查函数的最值,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
x ﹣x x ﹣x x ﹣x

17.已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) ,求证:

成等差数列.



考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意可得 ,令 n=1 可求 a1,n≥2 时, ,

, 两式相减可得递推式, 由递推式可判断该数列为等比数列, 从而可得 an; (Ⅱ)表示出 bn,进而可得 解答: 解: (Ⅰ)∵ 当 n=1 时, 当 n≥2 时, ,解得 , ,并拆项,利用裂项相消法可求和,由和可得结论; 成等差数列,∴ ; , ,

两式相减得:an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,∴



所以数列{an}是首项为 ,公比为 2 的等比数列, (Ⅱ)bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) = ×



=(2n﹣1) (2n+1) , , 则 = = .

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查裂项相消法对数列求和,考查等比数列的通项公 式,属中档题. 18.随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了 n 个人,其中 男性占调查人数的 .已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有 的人的休闲方 式是运动.

(1)完成下列 2×2 列联表: 运动 男性 女性 总计 n (2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关” ,那么本次被 调查的人数至少有多少? (3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动? 参考公式:K P(K ≥K0) K0
2

非运动

总计

,其中 n=a+b+c+d. 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

考点: 独立性检验;独立性检验的基本思想. 专题: 计算题. 分析: (1)依据某机构随机调查了 n 个人,其中男性占调查人数的 .已知男性中有一半的 人的休闲方式是运动,而女性只有 的人的休闲方式是运动.即可完成表格;

(2)将表格中的数据代入 出 n 即可; (3)由(2)知, 即为所求.

,得到 K ≥K0=3.841,解

2

解答: 解: (1)2×2 列联表: 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 n
2

(2) 若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下, 可认为 “性别与休闲方式有关” , 则 K ≥K0=3.841

由于

=

=





,即 n≥138.276,又由

,故 n≥140,

则若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关” ,那么本次被调 查的至少有 140 人;

(3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有

人的休闲方式是运动.

点评: 本题主要考查独立性检验,本题通过创设情境激发学生学习数学的情感,帮助培养其 严谨治学的态度. 19.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2PF=FA. (1)求证:平面 PAC⊥平面 BEF; (2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: (1)证明 AC⊥平面 PBC,可得 AC⊥BE,又 BE⊥PC,可得 BE⊥平面 PAC,从而可得平 面 PAC⊥平面 BEF; (2)取 AF 的中点 G,AB 的中点 M,连接 CG,CM,GM,证明平面 CMG∥平面 BEF,则平面 CMG 与平面平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的 平面角(锐角) . 解答: (1)证明:∵PB⊥底面 ABC,且 AC? 底面 ABC,∴AC⊥PB, 由∠BCA=90°,可得 AC⊥CB, 又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面 PBC, ∵BE? 平面 PBC,∴AC⊥BE, ∵PB=BC,E 为 PC 中点,∴BE⊥PC, ∵AC∩PC=C,∴BE⊥平面 PAC, ∵BE? 平面 BEF,∴平面 PAC⊥平面 BEF; (2)解:取 AF 的中点 G,AB 的中点 M,连接 CG,CM,GM, ∵E 为 PC 的中点,2PF=AF,∴EF∥CG, ∵CG? 平面 BEF,EF? 平面 BEF, ∴CG∥平面 BEF. 同理可证:GM∥平面 BEF,∵CG∩GM=G,∴平面 CMG∥平面 BEF. 则平面 CMG 与平面平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面 ABC 与平面 BEF 所成 的二面角的平面角(锐角) . ∵PB⊥底面 ABC,CM? 平面 ABC ∴CM⊥PB, ∵CM⊥AB,PB∩AB=B,∴CM⊥平面 PAB, ∵GM? 平面 PAB,∴CM⊥GM, 而 CM 为平面 CMG 与平面 ABC 的交线,

又 AM? 底面 ABC,GM? 平面 CMG,∴∠AMG 为二面角 G﹣CM﹣A 的平面角 根据条件可知 AM= ,AG= , ,∴cos∠AMG= , . ,

在△PAB 中,cos∠GAM=

在△AGM 中,由余弦定理求得 MG=

故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为

点评: 本题考查面面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定,正确作出面面 角,属于中档题. 20.已知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)为平面内的两个定点,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=2 P 的轨迹为曲线 M.点 O 为坐标原点,点 A、B、C 是曲线 M 上的不同三点,且 (Ⅰ)求直线 AB 与 OC 的斜率之积; (Ⅱ)当直线 AB 过点 F1 时,求直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)由椭圆的定义可知:点 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0)F2(1,0)为焦点的椭圆.可 2 2 得椭圆方程为 x +2y =2,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由于点 A,B 在椭圆上,可得 ,上面两式相减,化为 ? =﹣ .设 C(x3, + + ,记点 =

y3)由

得 x1+x2=﹣x3,y1+y2=﹣y3.利用斜率计算公式即可得出. , B , 又 + + = ,

(Ⅱ) 当直线 AB⊥x 轴时, 此时不妨设 可得点 C 不在椭圆上,此时不符合合题意.

当直线 AB 的斜率存在,直线 AB 过点 F1(﹣1,0) ,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆 方程可得(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0,利用根与系数的关系斜率坐标运算可得:点 C(
2 2 2 2



) ,代入椭圆方程可得

,分别讨论利用三角形面积计算公式即可得出.

解答: 解: (Ⅰ)∵|F1F2|=2,点 P 到两定点 F1(﹣1,0)F2(1,0)的距离之和为定值 ∴点 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0)F2(1,0)为焦点的椭圆. 则 ∴ ∴曲线 M 的方程为
2 2



, , .

方程可化为 x +2y =2,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . ∵点 A,B 在椭圆上, ∴ ,

上面两式相减,得(x1+x2) (x1﹣x2)+2(y1+y2) (y1﹣y2)=0, 整理得 ? =﹣ .

设 C(x3,y3)由

得 x1+x2=﹣x3,y1+y2=﹣y3.

又 kOC=

=



∴ ∴直线 AB 与 OC 的斜率之积是定值 . ,B ,

(Ⅱ)当直线 AB⊥x 轴时,此时不妨设 又 + + = ,∴ =﹣ ﹣ =(2,0) ,

∴点 C(2,0) , 则点 C 不在椭圆上,此时不符合合题意. 当直线 AB 的斜率存在,直线 AB 过点 F1(﹣1,0) ,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) . 2 2 2 2 代入椭圆方程联立化为(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0, 则 , .

∴x3=﹣(x1+x2)=



点 C(



)在椭圆上,代入椭圆方程

+

=1,

整理得



(1)当

时,由(I)知

,∴

. ,

则 AB,OC 及 x 轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为 l,且底边上的高 此时 AB,OC 及 x 轴所围成三角形的面积 (2)当 . .

时,同理可得 AB,OC 及 x 轴所围成三角形的面积 .

综上所得,直线 AB,OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与 系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式等基础知识与基本技能方法,考查了分类 讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=(x+1)e (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e ,存在 x1,x2∈[0,1],使得成立 2φ(x1)< φ(x2)成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出 ,得当 x<0 时,f'(x)>0,当 x>0 时,f'(x)<
﹣x ﹣x

0.从而有 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. (Ⅱ) 假设存在 x1, x2∈[0, 1], 使得 2φ (x1) <φ (x2) 成立, 则 2[φ (x) ]min<[φ (x) ]max. ∴ , 分别讨论①当 t≥1 时,②当 t≤0 时,③当 0<t<1 时的情况,从而求出 t 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数的定义域为 R, ∴当 x<0 时,f′(x)>0,当 x>0 时,f′(x)<0. ∴f(x)增区间为(﹣∞,0) ,减区间为(0,+∞) . (Ⅱ)假设存在 x1,x2∈[0,1],使得 2φ(x1)<φ(x2)成立, 则 2[φ(x)]min<[φ(x)]max. ∵ , ,

∴φ′(x)=

=﹣



①当 t≥1 时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减, ∴2φ(1)<φ(0) ,即 ;

②当 t≤0 时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增, ∴2φ(0)<φ(1) ,即 t<3﹣2e<0; ③当 0<t<1 时,在 x∈[0,t],φ′(x)<0,φ(x)在[0,t]上单调递减 在 x∈(t,1],φ′(x)>0,φ(x)在[t,1]上单调递增 所以 2φ(t)<max{φ(0) ,φ(1)}, 即 ﹣﹣(*)

由(Ⅰ)知, 故 而 综上所述,存在 ,

在[0,1]上单调递减,

,所以不等式(*)无解 ,使得命题成立.

点评: 本题考察了函数的单调性,参数的求法,导数的应用,是一道综合题. 二.请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图,圆 O 的直径 AB、BE 为圆 O 的切线,点 C 为圆 O 上不同于 A、B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与圆 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (Ⅰ)求证:∠DBE=∠DBC; (Ⅱ)若 HE=2a,求 ED.

考点: 圆的切线的判定定理的证明;与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)由已知得∠BAD=∠CAD=∠DBC,∠DBE=∠BAE,由此能证明∠DBE=∠DBC. (Ⅱ)由⊙O 的直径 AB,∠ADB=90°,由此能求出 ED. 解答: (Ⅰ)证明:∵BE 为圆 0 的切线,BD 为圆 0 的弦,∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB… (2 分) 由 AD 为∠DAB=∠DAC 的平分线知∠DAB=∠DAC, 又∠DBC=∠DAC,∴∠DBC=∠DAB ∴∠DBE=∠DBC…(5 分) (Ⅱ)解:∵⊙O 的直径 AB

∴∠ADB=90°, 又由(1)得∠DBE=∠DBH, ∵HE=2a, ∴ED=a. 点评: 本题考查两角相等的求法,考查线段长的求法,解题时要认真审题,注意圆的性质的 合理运用. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原

点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是:

(t 是

参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 参数方程转化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 ,试求实数 m 值. 考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆相交的性质;直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程,通过消去参 数将直线 l 参数方程化成直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)由(1)知:圆心的坐标为(2,0) ,圆的半径 R=2,利用圆心到直线 l 的距离列出关于 m 的方程即可求得实数 m 值. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为: x +y ﹣4x=0 直线 l 的直角坐标方程为:y=x﹣m (Ⅱ)由(1)知:圆心的坐标为(2,0) ,圆的半径 R=2, ∴圆心到直线 l 的距离 ,
2 2





∴m=1 或 m=3. 点评:本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆相交的性质等基 础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.极坐标方程化成直角坐 标方程关键是利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换 即得.属于基础题. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|; (Ⅱ)如果对? x∈R,不等式 g(x)+c≤f(x)﹣|x﹣1|恒成立,求实数 c 的取值范围. 考点: 全称命题;函数恒成立问题.
2 2 2 2

专题: 综合题. 分析: 先将 M,N 化简,再计算交集或并集,得出正确选项 解答: (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,∴g(x)=﹣f(﹣x)=﹣(x ﹣2x) , 2 2 ∴g(x)=﹣x +2x,x∈R.∴原不等式可化为 2x ﹣|x﹣1|≤0. 上面不等价于下列二个不等式组: …①,或 …②,
2

由①得

,而②无解.∴原不等式的解集为
2



…(5 分)

(Ⅱ)不等式 g(x)+c≤f(x)﹣|x﹣1|可化为:c≤2x ﹣|x﹣1|. 2 作出函数 F(x)=2x ﹣|x﹣1|的图象(这里略) . 由此可得函数 F(x)的最小值为 ,∴实数 c 的取值范围是 . …(10

分) 点评: 本题考查二次函数图象与性质.


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