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福建尤溪一中2008-2009学年上学期第一次月考高三数学试卷(理科)

时间:2017-03-25




福建尤溪一中 2008-2009 学年上学期高三第一次月考 数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每题 5 分,共 60 分。四个选项中有且只有一个符合题意) 1.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( A、 1 B、 ? 1 C、 1 或 ? 1 D、 1 或 ?1 或 0 )

2 2.设原命题为:“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”,

?

?

则在其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题是( A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题

) D.三个都真 )

3.在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a7 ? a10 ? 8 , a11 ? a4 ? 4 ,则 S13 等于( A.152 B.154 C.156 D.158

4.设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn ?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则公比

q 为(
A. q ? ?2

) B.

q ?1

C. q ? ?2 或 q ? 1

D. q ? 2 或 q ? ?1

5.已知函数 f ( x) ? log4 ( x2 ? ax ? 3a) 在区间 ?2, ??? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) B、 ? ?4, 4? C、 ? ??, ?4? ? ?2, ??? D、 ? ?4, 2 ?

A、 ? ??,4?

6. 如图所示, 可行域为四边形 ABCD 的内部 (包括边界) , 其中 A(2,1) ,B(4,1) ,C(3,3) ,D(0,3) , 目标函数 z ? ax ? y 取最大值的最优解是无穷多个 时,实数 a 的值为( A. 0 C. 1 或 2 ) B. 2 D. 0 或 2 ) D、 (5,6)
0

7.方程 lnx=6-2x 的根所在大致区间是( A、 (1,2) B、 (2,3)

C、 (3,4)
0

8.给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④

sin

7? cos ? 10 17? tan 9



其中符号为负的是( A.① B.②

) C.③ D.④

、 9.已知 sin ? ? m, ( m ? 1) , A.

?
2

? ? ? ? ,那么 tan ? ? (
C. ?



m 1 ? m2
1 x

B. ?

m 1 ? m2

m 1 ? m2
)

D. ?

1 ? m2 m

10.下列求导运算或积分运算,正确的是( A.(x+ ) ? ? 1 ? C.(3 )? =3 log3e
x x

1 x2

B.(x cosx )? =-2xsinx
2

D.

?

1

0

xdx ?

1 2


11.函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

y

B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

C. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O 1 2 3 4

x

12. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:f ( x) ? f (4 ? x) 且 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 0 , 则 f( 2 0 0 8 ) 的值是( A.-1 ) B.0 C.1 D.无法确定

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
x 13.由曲线 y ? e , y ? x , x ? 0 , x ? 1 围成的平面图形的面积是

1

14.函数 f ( x) ? (? x 2 ? 2 x ? 3) 2 的值域是 15.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? 3 , 且 ? ? ? ? , 则 cos 2? = 5 2 4

.

16.给出下列四个命题:
x ①函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? loga a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3 x

③函数 y ?

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与y? 的奇偶性相同; 2 2 ?1 x ? 2x
2 x ?1

④函数 y ? ( x ?1) 与 y ? 2 其中正确命题的序号是__

在区间 [0, ??) 上的单调性相同, ____.(把你认为正确的命题序号都填上)

、 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分. 应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤) 17. (12 分)已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 5 y ? 20 ,求

1 1 ? 的最小值。 x y

18. (12 分)二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f(0)=1. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)在区间 ??1,1? 上 y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范 围。 19. (12 分)如图,9 个正数排列成 3 行 3 列,其中每一 行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列, 且所有 的公比都是 q , 已知 a12

? 1 ,a 23 ? , a32 ? ,

3 4

1 4

又设第一行数列的公差为 d1 . (1)求出 a11 , d1 及 q ; (2)若保持这 9 个数的位置不动,按照上述规律, 补成一个 n 行 n 列的数表如下, 试写出数表第 n 行第 n 列 ann 的表达式, 并求 Sn ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann 的值。 20. (12 分)已知函数 (1)求 a 的值; (2)求 y ?

f ( x) ? ln(ex ? a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,

ln x 的最大值。 f ( x)

21. (12 分)设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个 公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a, b, c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 22.(14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ?1

? kSn ? 2 ,且 a1 ? 2, a2 ? 1

王新敞
奎屯

新疆

、 (1)求 k 的值; (2)求 Sn ; (3)是否存在正整数 m, n ,使 存在,求出这样的正整数;若不存在,说明理由. 参考答案: 1-12 DCCA BDBC BDBB 13、 e ?

Sn ? m 1 ? 成立?若 Sn ?1 ? m 2

3 2

14、[0,2]

15、 ?

7 25

16、①③

17 解:见《第一方案》第 61 页 18 解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,由 f (0) ? 1 得 c ? 1 ,故 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . 因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,所以 a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax2 ? bx ? 1) ? 2x . 即 2ax ? a ? b ? 2 x ,所以 ?
2

?2a ? 2 ?a ? 1 ,所以 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

(2)由题意得 x ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 [?1,1] 上恒成立. 即 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 在 [?1,1] 上恒成立。
2

设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,其图象的对称轴为直线 x ?
2

3 ,所以 g ( x) 在 [?1,1] 上递减。 2

故只需 g (1) ? 0 ,即 1 ? 3 ?1 ? 1 ? m ? 0 ,解得 m ? ?1 .
2

?a12 ? a11 ? d 1 ? 1 1 ? a11 ? ? ? 2 ?a 23 ? a13 ? q ? ( a11 ? 2d 1 ) q ? 3 ? 4 ? 1 ? 19 解: (1)由题意,得 ? , 解得 ?d 1 ? a 2 ? ? 32 ? q 2 1 ? ? a12 ?q ? 2 ?a ? 0(i, j ? 1,2, ? n) ? ? ij 1 k (2)因为 akk ? a1k q k ?1 ? [a11 ? (k ? 1)d1 ]q k ?1 ? k ? ( ) 2 1 1 1 ? S n ? a11 ? a 22 ? ? ? a nn ? ? 2 ? ( ) 2 ? ? n ? ( ) n ① 2 2 2 1 1 1 1 1 s n ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①—②,得 s n ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2 2 1 n ? s n ? 2 ? (n ? 2)( ) 2

、 20 解: (1) f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,则 ln(e ? x ? a) ? ? ln(e x ? a) 恒成立.

? (e ? x ? a)(e x ? a) ? 1. 即 1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,? a(e x ? e ? x ? a) ? 0,? a ? 0.
或 f (0) ? 0 ,可得 a ? 0 (2)由(1)知 f ( x) ? x, ∴ y ? ∴ 当 x ? (0, e)时, y? ? 0,? y ?

ln x 1 ? ln x ,∴ y ? ? , x x2

ln x 在(0, e] 上为增函数; x ln x x ? [e, ??)时, y? ? 0,? y ? 在[0, ??) 上为减函数, x 1 ∴当 x ? e 时, ymax ? . e
21 解: (I)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 ,
3 2 即 t ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t .

g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
又因为 f ( x) , g ( x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt.
2 将 a ? ?t 代入上式得 b ? t . 3 2 3 因此 c ? ab ? ?t . 故 a ? ?t , b ? t , c ? ?t .

(II) y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )(x ? t ) .
3 2 2 3 2 2

当 y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 22 解:(1) ? S2 ? kS1 ? 2
? a1 ? a2 ? ka1 ? 2

又 a1 ? 2, a2 ? 1, 2 ? 1 ? 2k ? 2 ,∴ k ?

1 2

王新敞
奎屯

新疆



1 (2) 由 (1) 知 Sn?1 ? Sn ? 2 2 1 当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? 2 ② 2 1 ①-②,得 an?1 ? an (n ? 2) 2 1 又 a2 ? a1 ,易见 an ? 0 (n ? N? ) 2



?

an ?1 1 ? ( n ? N? ) an 2

1 2 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 2 于是 {an } 是等比数列,公比为 ,所以 S n ? ? 4(1 ? n ) 1 2 2 1? 2
1 4(1 ? n ) ? m Sn ? m 1 1 2 ? ,即 (3) 不等式 ? .;整理得 2 ? 2n (4 ? m) ? 6 1 Sn ?1 ? m 2 4(1 ? n ?1 ) ? m 2 2
假设存在正整数 m, n 使得上面的不等式成立,由于 2 为偶数, 4 ? m 为整数,
n

?2n ? 2, ?2n ? 4, 则只能是 2n (4 ? m) ? 4 ? ? , 或? ?4 ? m ? 2; ?4 ? m ? 1

因此,存在正整数 m ? 2, n ? 1; 或 m ? 3, n ? 2, 使

Sn ? m 1 ? . Sn ?1 ? m 2


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