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数列的概念与简单表示法


第二章

数列

2.1 数列的概念与简单表示法 2 3 4 5 1.写出数列 1, , , , , ??? 的一个通项公式,并判断它的增减性. 4 7 10 13 2.根据下面数列 ?a n ?的通项公式,写出其前五项: n (1) a n ? ; (2) an ? (?1)n ? n . n ?1
3. 根据下列数列的首项和递

推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式: (1) a1 =0, a n ?1 = an +(2n-1) (n∈N*); (2) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N*). 4.已知数列 ?a n

?的通项公式为 an ? log2 (n 2 ? 3) ? 2 ,求 log2 3 是这个数列的第几项.

2.2 等差数列
1.⑴求等差数列 8,5,2,…的第 20 项; ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 2. (1)在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d; (2)已知数列 {an } 为等差数列 a3 ?

5 3 , a7 ? ? ,求 a15 的值. 4 4

3.三个数成等差数列,它们的和为 18,它们的平方和为 116,求这三个数. 4.已知四个数成等差数列,它们的和为 28,中间两项的积为 40,求这四个数. 5. 某地区 1997 年底沙漠面积为 9 ?10 hm . 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况, 从 1998 年开始进行了连续 5 年的观测,并在年底将观测结果记录如下表: 观 测 该地区沙漠面积比原有面积增加数 年份 hm2 2000 1998 4000 1999 6001 2000 7999 2001 10001 2002 请根据上表所给的信息进行预测.
5 2

(1)如果不采取任何措施,到 2010 年底,这个地区的沙漠面积将大约变为多少 hm ? (2)如果从 2003 年初开始,采取植树造林等措施,每年改造 8000 hm 沙漠,但沙漠面积仍按原有 速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将小于 9 ?10 hm ?
2 2
2

2

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2.3 等差数列的前 n 项和 1.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N*, 且m ? 100? 的元素个数,并求这些元素的和.
2.数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 50, d ? ?0.6 . (1)从第几项开始有 an ? 0 ; (2)求此数列的前 n 项 和的最大值.

1 2 2 n ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 4 3 4. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 12 , S12 ? 0, S13 ? 0 , (1)求公差 d 的取值范围; (2)
3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

S1 , S2 , ???, S12 中哪一个最大,并说明理由.

2.4 等比数列
1. 设由正数组成的等比数列, 公比 q=2, 且 a1 ? a2 ? ??? ? a30 ? 230 , 则 a3 ? a 【 a ? ??? ?3 6 ?9 0a 等于 A. 2
10



B. 2

20

C. 2

16

D. 2

15

2. 在等比数列{an}中, a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于





b9 A. 8 a

b 9 B.( ) a

b 10 C. 9 a

D.(

b 10 ) a

, 2, 3, ??? ) 3.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的
等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式. 4.已知实数 a, b, c 满足 2b ? a ? c , a ? 1 , b ? 1 , c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a , b, c .

2.5 等比数列的前 n 项和
1.求数列 1, 3a, 5a , 7a , ???,(2n ? 1)a
2 3 n ?1

的前 n 项的和.

2. 某客运公司买了每辆 2a 万元的大客车投入运营,根据调查得知,每辆客车每年客运收入约为 a 万 元,且每辆客车第 n 年的油料费,维修费及其他各种管理费用总和 P(n)(万元)与年数 n 成正比,又知第 3 年每辆客车上述费用是该年客运收入的 48%. (1)写出每辆客车运营的总利润 y(万元)与 n 的函数表达式; (2)每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大? 3. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1 ? ? ) ? ?an ,其中 ? ? ?1,0 . (1)证明:数列 {an } 是等比数列; (2)设数列 {an } 的公比 q ? f (? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 列 {bn } 的通项公式. 1

1 * , bn ? f (bn?1 ) ( n ? N , n ? 2) ,求数 2

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参考答案 第二章
2.1 数列的概念与简单表示法 1. an ?

数列

n ,为递减数列. 3n ? 2

2. (1)数列 ?a n (2)数列 ?a n

?的前五项是 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
2 3 4 5 6

?的前五项是 ?1, 2, ?3, 4, ?5 .
2

3.(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16. an ? ? n ? 1? . (2) a1 =3, a2 =7, a3 =19, a4 =55, a5 =163. an ? 2 ? 3n?1 ? 1. 4. log2 3 是这个数列的第三项 2.2 等差数列 1.(1)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件 ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (2) a1 ? a2 ? a3 ???? ? a12 =-96. 2. (1)解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

? a1 ? d ? 1, 解得 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4 d ? ?5,

?a1 ? 4d ? 1 0 , ∴ ? d ? 3 1, ?a1 ? 1 1

?a1 ? ?2, ? ?d ? 3.

所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. 解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3, 由 10 ? a1 ? (5 ? 1) ? 3 得 a1 ? ?2 . 所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. (2) a15 ? ?

19 . 4

3. 设这三个数为 a-d,a,a+d. 则?

a ? d ? a ? a ? d ? 18, ? 2 2 2 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 116,

解得这三个数依次为 4,6,8 或 8,6,4. 4. 设这个数为 a-3d, a-d, a+d,a+3d. 2

高中数学新课程学习指导 必修 5 则?

?a ? 3d ? a ? d ? a ? d ? a ? 3d ? 28, (a ? d )(a ? d ) ? 40, ? ? a ? 7, ? a ? 3, 或? ? d ? 3, ?d ? 7.

解得 ? ∴

这四个数依次为-2,4,10,16 或 16,10,4,-2. 5.略. 2.3 等差数列的前 n 项和 1. 由 7n <100,得 n ?

100 , 7

2 即,n<14 , 7
由于满足上面不等式的正整数 n 共有 14 个,所以集合 M 中的元素共有 14 个,将它们从小到大列出, 得 即 7,7× 2,7× 3,7× 4,…,7× 14. 7,14,21,28,… ,98. 这个数列是等差数列,记为{a },其中 a = 7,a = 98,因此 S14 n 1 14 答:集合 M 中共有 14 个元素,它们和等于 735. 2. (1) 从第 85 项开始有 an ? 0 ; (2)数列的前 84 项和的最大,最大值为 2108.4.

?

14 ? (7 ? 98) ? 735. 2

? 11 3 , n ? 1, ? ? 12 3. 这个数列的通项公式是 an ? ? 这个数列不是等差数列. ? 1 n ? 5 , n ? 2. ? ?2 12
12 ? (12 ? 1) ? d ? 0. 2 ?2a ? 11d ? 0, 13 ? (13 ? 1) S13 ? 13a1 ? ? d ? 0 ,即 ? 1 2 ? a1 ? 6d ? 0, ?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 . 于是得 ? ,∴ ? 7 ? 3? d ? 0
4. (1)依题意,有 S12 ? 12 a1 ?

由 a3=12,得 a1=12-2d .

(2)由 d<0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0, 则 Sn 就是 S1,S2,…,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 的值最大. 2.4 等比数列 1. B 2. A 3. (1) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 3

高中数学新课程学习指导 必修 5 所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (1)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
……

an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) . 4. 由题意,得

?a ? b ? c ? 15, ? ? ?a ? c ? 2b, ? 2 ? ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1? ,
由(1) (2)两式,解得 b ? 5 将 c ? 10 ? a 代入(3) ,整理得

?1? ? 2? ? 3?

a 2 ? 13a ? 22 ? 0. 解得a ? 2或a ? 11, 故a ? 2, b ? 5, c ? 8或a ? 11, b ? 5, c ? ?1.
经验算,上述两组数符合题意 .
2.5 等比数列的前 n 项和 1.略.2. 略.3. 略.

4


2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

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