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2015年高三数学(理)不等式与线性规划


专题35

不等式与线性规划

不等式与线性规划
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数

的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不
等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最

>考 情 知最优解求参数的值或取值范围问题. 解 2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填 读

值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已

空题的形式呈现,属中档题.

3

主干知识梳理 1.四类不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式 ax2 + bx + c>0(a≠0) ,再求相应一 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相 应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次 不等式的解集.

(2)简单分式不等式的解法

①变形? ②变形?

f?x? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x?
≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

f?x? (3)简单指数不等式的解法

g?x? ①当a>1时, af(x)>ag(x)?f(x)>g(x);
②当0<a<1时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x).

(4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时, logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x) 且 f(x)>0 , g(x)>0; ②当 0<a<1时, logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0, g(x)>0.

2.五个重要不等式
(1)|a|≥0,a2≥0(a∈R).

(2)a2+b2≥2ab(a、b∈R).

a+ b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+ b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 (5) a + b a+ b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+ b
2 2

3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1) 线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线

性目标函数、可行域、最优解等.
(2) 解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:

①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确
定最优解;③求出目标函数的最大值或者最小值.

4.两个常用结论 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是 ?a>0, (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是

? ?Δ<0.

?a<0, ? ?Δ<0.

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三

一元二次不等式的解法
基本不等式的应用 简单的线性规划问题

热点一 例1 为? ?

一元二次不等式的解法

(1)(2013· 安徽 ) 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集

x)>0的解集为( ,则 f (10 ) ? 1? D ?x|x<-1或x> ? A.{? x|x<-1或x>- 2? ? ?lg 2}

B.{x|-1<x<-lg 2}
C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

思维启迪 利用换元思想,设 10x=t,先解f(t)>0.

1 1 解析 由已知条件 0<10 < ,解得 x<lg =-lg 2. 2 2
x

(2) 已知函数 f(x) = (x - 2)(ax + b) 为偶函数,且在 (0 , +∞)单调递增,则f(2-x)>0的解集为( A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}
思维启迪 利 用 f(x) 是 偶 函 数

)

求b,再解f(2-x)>0.

解析 由题意可知f(-x)=f(x).

即 ( - x - 2)( - ax + b) = (x - 2)(ax + b) , (2a - b)x = 0 恒
成立, 故2a-b=0,即b=2a,则f(x)=a(x-2)(x+2). 又函数在(0,+∞)单调递增,所以a>0. f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.

故选C.
答案 C

二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识,
思 维 也是高考的热点,“三个二次”的相互转化体现 升 华 了转化与化归的数学思想方法.

变式训练 1 x-1 (1)不等式 ≤0 的解集为( A ) 2x+1 1 1 A.(- ,1] B.[- ,1] 2 2 1 1 C.(-∞,- )∪[1,+∞) D.(-∞,- ]∪[1,+∞) 2 2
解析 原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0, 即- 1 <x<1或x=1,

所以不等式的解集为(- 1 ,1],选A.

2

2

(2)已知p:?x0∈R,mx 2 +1≤0,q:?x∈R,x2+mx+
1>0.若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( A.(-∞,-2) C.(-2,0) B.[-2,0) D.[0,2]
0

C

)

解析 p∧q为真命题,等价于p,q均为真命题. 命题p为真时,m<0; 命题q为真时,Δ=m2-4<0,解得-2<m<2. 故p∧q为真时,-2<m<0.

热点二

基本不等式的应用

例2

(1)(2014· 湖北 ) 某项研究表明:在考虑行车安

全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量 点的车辆数,单位:辆 / 时 )与车流速度 v( 假设车辆

以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=

76 000v . 2 v +18v+20l

① 如 果 不 限 定 车 型 , l = 6.05 , 则 最 大 车 流 量 为 ________辆/时; ②如果限定车型, l = 5 ,则最大车流量比①中的最 大车流量增加________辆/时.

思维启迪 把所给 l 值代入,分子分母同除以 v ,构造基本不等式的

形式求最值;

76 000v 解析 (1)①当 l=6.05 时,F= 2 v +18v+121
76 000 76 000 76 000 = ≤ = =1 900. 121 22+18 121 v+ +18 2 v· +18 v v
当且仅当v=11 米/秒时等号成立,此时车流量最大

为1 900辆/时.

76 000v ②当 l=5 时,F= 2 = v +18v+100 76 000 76 000 ≤ = =2 000. 20+18 100 2 v· +18 v

76 000 100 v+ +18 v

当且仅当v=10 米/秒时等号成立,此时车流量最大
为2 000 辆/时.比①中的最大车流量增加100 辆/时. 答案 ①1 900 ②100

(2)(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z
2 2

xy 2 1 2 = 0, 则当 取得最大值时, + - 的最大值为( z x y z A.0 9 C. 4 B.1 D.3
思维启迪 关键是寻找 xy 取得最 大值时的条件. z

)

解析 由已知得z=x2-3xy+4y2,

(*)

xy xy 1 则 = 2 ≤1, 2= z x -3xy+4y x 4y + -3 y x
当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,
?1 ? 2 1 2 1 1 1 ? ?2 所以 + - = + - 2=-? -1? +1≤1, ?y ? x y z y y y

2 1 2 所以当 y=1 时, + - 的最大值为 1. x y z
答案 B

在利用基本不等式求最值时 ,要特别注意 “ 拆、 拼、凑 ” 等技巧,使其满足基本不等式中 “ 正
思 ”( 即条件要求中字母为正数 ) 、 “ 定 ”( 不等式 维 升 的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件 华

)的条件才能应用,否则会出现错误.

变式训练2
(1)若点A(m,n)在第一象限,且在直线

则mn的最大值为________.

x y + 3 4

=1上,

解析

因为点A(m,n)在第一象限,且在直线

=1上,

x y + 3 4

m n 所以 m,n>0,且 + =1. 3 4

m n + mn 3 4 2 m n 1 3 所以 ·≤( ) (当且仅当 = = ,即 m= , 34 2 3 4 2 2 n=2 时,取等号).
mn 1 所以 ·≤ ,即 mn≤3, 34 4
所以mn的最大值为3.
答案 3

2 (2)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞) x- a 上恒成立,则实数 a 的最小值为( A.1 3 B. 2 C.2 ) 5 D. 2

2 2 解析 2x+ =2(x-a)+ +2a x- a x- a 2 ≥2· 2?x-a?· +2a=4+2a, x- a

3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥ , 2 3 即实数 a 的最小值为 ,故选 B. 2
答案 B

热点三

简单的线性规划问题

例3

(2013· 湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安

排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人

和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社
要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则 租金最少为( A.31 200元 C.36 800元 ) B.36 000元 D.38 400元
思维启迪

通过设变量将实际问
题转化为线性规划问题.

解析

设租A型车x辆,B型车y辆时租金为z元,

?x+y≤21 ? ?y-x≤7 则 z=1 600x+2 400y,x、y 满足? ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x、y∈N
画出可行域如图

2 z 直线 y=- x+ 过点 A(5,12)时 3 2 400 纵截距最小,

所以zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少为36 800元.

答案 C

(1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二 是求区域面积;三是确定目标函数中的字母系数的

取值范围.
(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目
思 标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标 维 函数的最优解. 升 华 (3)对于应用问题,要准确地设出变量,确定可行域

和目标函数.

变式训练 3

?x>0 ? (1)已知实数 x,y 满足约束条件?4x+3y≤4 ,则 w ? ?y≥0

y+1 = 的最小值是( x A.-2 B.2

) C.-1 D.1

解析 画出可行域,如图所示.

y+1 表示可行域内的点(x,y) 与定点x P(0,-1)连线的斜率,
w= 观察图形可知PA的斜率最小为=

故选D.
答案 D

-1-0 1, 0- 1

?2x-y+1>0, ? (2)(2013· 北京)设关于 x、y 的不等式组?x+m<0, 表 ? ?y-m>0

示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是(
? ? 4 ? ? A.?-∞, ? 3? ? ? 2?? ? C.?-∞,- ? 3? ?

)
? ? 1 ? ? B.?-∞, ? 3? ? ? 5?? ? D.?-∞,- ? 3? ?

解析

当m≥0时,若平面区域存在,

则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存
在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,因此m<0.

如图所示的阴影部分为不等式组表示
的平面区域.

1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界 2 1 点(-m,m)在直线 y= x-1 的下方即可, 2
1 2 即 m<- m-1,解得 m<- . 2 3
答案 C

本讲规律总结

1.几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程

的根,也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐
标,即二次函数的零点;分式不等式可转化为整式

不等式(组)来解;以函数为背景的不等式可利用函
数的单调性进行转化.

2.基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式” 转化为 “ 积式 ”的放缩功能,常常用于比较数 ( 式)的大小或证 明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的

关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选
择好利用基本不等式的切入点,并创造基本不等式的应用背景, 如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧,改变原式的结 构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要 注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.

3.线性规划问题的基本步骤

(1) 定域 —— 画出不等式 ( 组 ) 所表示的平面区域,注意平面
区域的边界与不等式中的不等号的对应; (2) 平移 —— 画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l ,平行移 动直线,让其与平面区域有公共点,根据目标函数的几何 意义确定最优解,注意要熟练把握最常见的几类目标函数

的几何意义;
(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标, 代入目标函数,求出最值.

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2014· 山东)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下
x y

列关系式恒成立的是( 1 1 A. 2 > 2 x +1 y +1 C.sin x>sin y

) B.ln(x +1)>ln(y +1)
2 2

D.x >y

3

3

1

2

真题感悟

解析

因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.采用赋值法判断,

A中,当x=1,y=0时,1 <1,A不成立.

2 ln 1<ln 2,B不成立. B中,当x=0,y=-1时,
C中,当x=0,y=-π时,sin x=sin y=0,C不成立.

D中,因为函数y=x3在R上是增函数,故选D.
答案 D

1

2

真题感悟

?x+2y-4≤0, ? 2.(2014· 浙江)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时, ? ?x ≥ 1

1≤ax + y≤4 恒成 立, 则 实数 a 的 取值 范 围是 ________.

1

2

真题感悟

解析

画可行域如图所示,

设目标函数z=ax+y,即y=-ax +z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,

?1≤2a+1≤4, 数形结合知,满足? 即可, ?1≤a≤4

3 解得 1≤a≤ . 2

1

2

真题感悟

3 所以 a 的取值范围是 1≤a≤ . 2
3 答案 [1, ] 2

1

2

押题精练

1.为了迎接 2014 年 3 月 8 日的到来,某商场举行了促销 活动,经测算某产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相 2 等)与促销费用 x 万元满足 P=3- ,已知生产该产品 x+1 还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售 20 价格定为(4+ )万元/万件.则促销费用投入 万元时, P 厂家的利润最大?( ) A.1 B.1.5 C.2 D.3

1

2

押题精练

解析 设该产品的利润为 y 万元,由题意知,该产品售 10+2P 价为 2×( )万元, P 10+2P 所以 y=2×( )×P-10-2P-x P
4 =16- -x(x>0), x+ 1

1

2

押题精练

4 4 所以 y= 17- ( + x+ 1)≤17- 2 ×?x+1? = x+ 1 x+ 1 4 13(当且仅当 =x+1,即 x=1 时取等号), x+ 1
所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大, 故选A. 答案 A

1

2

押题精练

? ? 3x-y≤0, ? 2.若点 P(x,y)满足线性约束条件?x- 3y+2≥0, ? ? ?y≥0,

→ → 点 A(3, 3),O 为坐标原点,则OA· OP的最大值为 ________.

1

2

押题精练

→ 解析 由题意,知OA=(3, 3),

→ → → 设OP=(x,y),则OA· OP=3x+ 3y. 令 z=3x+ 3y,
如图画出不等式组所表示的可行域,

1

2

押题精练

3 可知当直线 y=- 3x+ z 经过点 B 时,z 取得最大值. 3
? 3x-y=0, ?x=1, 由? 解得? 即 B(1, 3), ?x- 3y+2=0, ?y= 3,

故 z 的最大值为 3×1+ 3× 3=6. → → 即OA· OP的最大值为 6.
答案 6


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