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直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题及答案


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直线与圆、圆与圆位置关系
【考纲说明】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系 1、 直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置

关系常见的有两种方法 (1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,计算判别式

? ? b 2 ? 4ac

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点
? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系:

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
2、圆的切线方程 若 圆 的 方 程 为 x2 ? y 2 ? r 2 , 点 P ( x0 , y0 ) 在 圆 上 , 则 过 P 点 且 与 圆 x2 ? y 2 ? r 2 相 切 的 切 线 方 程 为

xo x ? yo y ? r 2 .
经过圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上一点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 ( 3、直线与圆相交 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r ? d ?
2 2

x ? xo y ? yo ? a)2 ? ( ? b) 2 ? r 2 . 2 2

l2 ,即 l ? 2 r 2 ? d 2 ,求弦长或已知 4

弦长求其他量的值时,一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。 2、判断圆与圆的位置关系常用方法 (1)几何法:设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径为 r , r2 (r ? r2 ) ,则 1 1

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O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相离 ? 有 4 条公切线 O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 外切 ? 有 3 条公切线 | r1 ? r2 |? OO2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相交 ? 有 2 条公切线 1 OO2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内切 ? 有 1 条公切线 1 OO2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内含 ? 有 0 条公切线. 1
(2)代数法:

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 方程组 ? 2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
有两组不同的实数解 ? 两圆相交; 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; 无实数解 ? 两圆外离或内含。

【经典例题】
【例 1】 (2012 广东文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的 长等于( A. 3 3 【答案】B 【解析】 圆心到直线的距离为 d ? ) B. 2 3 C. 3 D.1

5 3 ?4
2 2

? 1 ,所以弦 AB 的长等于 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 .

【例 2】 (2012 重庆理)对任意的实数 k, 直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是 (
2 2



A.相离 C.相交但直线不过圆心 【答案】C

B.相切 D.相交且直线过圆心

【解析】圆心 C (0, 0) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 ? ? 2 ? r ,且圆心 C (0, 0) 不在该直线上. 1? k 2 1

1

法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C.

【例 3】 (2012 福建)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于(
2 2

)

A. 2 5

B. 2 3

C. 3 环球雅思

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中国教育培训领军品牌 【答案】B 【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:联立方程组 ? 所以弦长 | AB |?

?x ? 3 y ? 2 ? 0
2 2 ? x ?y ?4

,解得 A、B 两点的坐标为 (2,0)、 1, 3) , (?

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 ? 2 3 ;二、几何法:根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为

2 1 ? ( 3)
2 2

? 1,又知圆的半径为 2,所以弦长 | AB |? 2 22 ? 12 ? 2 3 .

【例 4】 (2012 安徽)若直线 x ? y ? 1? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A. [?3, ?1] ] 【答案】C 【解析】圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 的圆心 C ( a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d , 则 d ≤r ? B. [?1,3] C. [?3,1] D. (??, ?3] ? [1, ??)

)

2?

a ?1 2

≤ 2 ? a ? 1 ≤ 2 ? ?3 ≤ a ≤ 1 .

【例 5】 (2012 山东)圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为( A.内切 【答案】B B.相交 C.外切 D.相离

)

【解析】两圆的圆心分别为 (?2,0) , (2,1) ,半径分别为 r ? 2 , R ? 3 两圆的圆心距离为

(?2 ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 17 ,则 R ? r ? 17 ? R ? r ,所以两圆相交,选 B.
【例 6】 (2012 江西)过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的 两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是__________. 【答案】 ( 2 , 2 ) 【解析】如图:由题意可知 ?APB ? 60 , 由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,
0 0

在直角三角形 OBP 中, | OP |? 2 | OB |? 2 .设点 P( x,2 2 ? x) , 则 | OP |?
2

x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 ,即 x2 ? (2 2 ? x)2 ? 4 ,

整理得 x ? 2 2 x ? 2 ? 0 ,即 ( x ? 2 )2 ? 0 , 所以 x ?
0

2 ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) .
0

| 法二: 如图: 由题意可知 ?APB ? 60 ,由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,在直角三角形 OBP 中, OP |? 2 | OB |? 2 ,

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3

中国教育培训领军品牌 圆心到直线的距离为 d ?

?2 2 2

?x ? y ? 2 2 ? 0 ? 2 ,所以 OP 垂直于直线 x ? y ? 2 2 ? 0 , 由 ? ,解得 ?y ? x

?x ? 2 ? ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 。 ? ?y ? 2 ?
【例 7】 (2009 四川)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 【答案】4 .

【解析】由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,且 5 ? m ? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 ,所以有

m2 ? ( 5)2 ? (2 5)2 ? 25 ? m ? ?5,? AB ? 2 ?
【例 8】 (2011 福建)已知直线 l : y ? x ? m, m ? R .

5 ? 20 ? 4. 5

(I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C: x ? 4 y 是否相切?说明理由。
2

【答案】 ( x ? 2) ? y ? 8 ;当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切.
2 2

【解析】 (I)由题意知 P (0, ∴ k PM =

m ),∵以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,

m?0 2 2 = ?1 ,解得 m =2,∴圆 M 的半径 r ? (2 ? 0) ? (0 ? 2) = 2 2 , 0?2
2 2

∴所求圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 ; (II)∵直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , l : y ? x ? m , m ∈ R ,
2 ∴ l ? : y ? ? x ? m ,代入 x ? 4 y 得 x ? 4 x ? 4m ? 0 ,
2

? = 42 ? 4 ? 4 ? m = 16 ? 16m ,
当 m <1 时, ? >0,直线 l ? 与抛物线 C 相交; 当 m =1 时, ? =0,直线 l ? 与抛物线 C 相切; 当 m >1 时, ? <0,直线 l ? 与抛物线 C 相离. 综上所述,当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 【例 9】已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 5 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 ,m 为何值时, 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 【答案】 当m ? ?5或m ? 2 圆 C1 与圆 C2 外切;当 ?2 ? m ? ?1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 【解析】对于圆 C1 与圆 C2 的方程,配方得: C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ;.
2 2 (1)如果圆 C1 与圆 C2 外切,则有 (m ? 1) (m ? 2) ? 3 ? 2,

(m ? 1)2 (m ? 2)2 ? 25, 即m2 ? 3m ?10 ? 0, 解得m ? ?5或m ? 2 .
2 2 (2)如果圆 C1 与圆 C2 内含,则有 (m ? 1) (m ? 2) ? 3 ? 2,

(m ? 1)2 (m ? 2)2 ? 1, m2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? ?1 ,
?当m ? ?5或m ? 2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;
当 ?2 ? m ? ?1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 【例 10】 (2011 广东)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M(

3 5 4 5 , ),F( 5 ,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 5 5

【答案】

x2 6 5 2 5 ? y 2 ? 1;( ,- ) 4 5 5

【解析】 (1)两圆的圆心分别为 A(- 5 ,0),B( 5 ,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由题意得|CA|=r-2,|CB| =r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则 C 的轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5 ,b2=1 ∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,

连 MF 并延长交双曲线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值. 又 MF ? (

3 5 4 5 2 2 ? 5)? ( )=2 5 5
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MF 的方程为 y ? ?2( x ? 5) 即 y ? 2 5 ? 2x 代入 x2-4y2=4 并整理得15x ? 32 5x ? 84 ? 0 ,
2

14 5 18 5 6 5 或 x= = , 15 15 5 6 5 12 5 2 5 显然 x= 为点 P 的横坐标,点 P 的纵坐标为 y p ? 2 5 ? . ?? 5 5 5 6 5 2 5 即||MP|-|FP||的最大值为 2,此时点 P 的坐标为( ,- ). 5 5
解得 x=

【课堂练习】
1、 (2012 辽宁)将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 ) )

2. (2012 重庆)设 A, B 为直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |? ( A.1 B. 2 C. 3 D.2 )

3. (2012 陕西)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 是过点 P(3, 0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 C. l 与 C 相离 B. l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能

4. (2012 湖北)过点 P(1,1) 的直线 l ,将圆形区域 {( x, y) | x2 ? y 2 ≤ 4} 分成两部分,使这两部分的面积之差最大, 则该直线 l 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 ) B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0

5. (2012 天津理)设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 m ? n 的取 值范围是( ) B. (??,1 ? 3] ? [1 ? 3,??) D. (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 ,??) )

A. [1 ? 3,1 ? 3] C. [2 ? 2 2,2 ? 2 2 ]

6.(2009 辽宁理)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

2 2 7.(2009 重庆理)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为(

) D.相离

A.相切

B.相交但直线不过圆心 环球雅思

C.直线过圆心 www.ielts.com.cn
6

中国教育培训领军品牌 8.(2006 陕西理)过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 )

9. (2011 江西)如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固 定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

10.(2012 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使 得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2

11. (2012 浙江) 定义: 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离. 已知曲线C1:y ? x ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ? ______. 12. (2012 天津文) m, n ? R , 若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于 B, l 与圆 x ? y ? 4 设 且
2 2

相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 △ AOB 面积的最小值为

. .

13.(2010 宁夏)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1).则圆 C 的方程为
2 2

14.(2010 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的取值范围是___________.
2 2 15.(2008 广东理)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线是



16.(2011 江苏) A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 2

若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________. 17.(2006 广东)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是
2


2

2 18. (2012 全国大纲)已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在点
2

1 2

A 处两曲线的切线为同一直线 l .
(Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m, n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m, n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离. 19.(2012 湖南理)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 :( x ? 5) ? y ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M ,
2 2

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M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A, B 和 C , D . 证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值. 20.(2008 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。

【课后作业】
1.(2011安徽文)若直线3x + y +a = 0过圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则a的值为( A. ? 1 B. 1 C. 3 D. ? 3 ) )

2. 2010 广东) ( 若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+2y=0 相切, 则圆 O 的方程是 ( A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 B. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

3.(2009 重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1



4.(2009 上海)过圆 C: ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分 (x 别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有( A. 0 条 B. 1 条 C. 2条 D. 3 条 ) )

5.直线 y ? x ? b 平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长,则 b ? ( A.3 B.5 C.-3 D.-5

6.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为( A. 17 B. 3 2
2 2



C. 19

D. 2 5

7. (2011 江西)若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范 围是( ) 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 A.( ?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3
2

B.( ?

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+ ? ) 3 3

2 2

c.[ ?

D.( ?? , ?

8.(2009 宁夏)圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为( A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 D. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1
? ?

C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

9.(2009 全国Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是 ① 15?
其中正确答案的序号是

② 30

③ 45 ④ 60 ⑤ 75 . (写出所有正确答案的序号)

?

?

10.(2011湖北文)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为 . 11.(2010 天津)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 . 12.(2010 山东)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 , 则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 . 13. 2010 湖南) ( 若不同两点 P,Q 的坐标分别为 (a, , b) (3-b, 3-a) 则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 , 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 关于直线 l 对称的圆的方程为 .

,

14.光线从点 P(-3,5)射到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上,经过反射,其反射光线过点 Q(3,5) ,则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 15.圆 ? 是 . ,过这个圆外一点 P ? 2,3? 的该圆的切线方程

? x ? 1 ? cos? (? 为参数)的标准方程是 ? y ? 1 ? sin ?


16.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A、B 两点,且弦长为 2 3 ,则 a=



17.(天津文)若圆 x 2 ? y 2 ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a=________. 18.(2006 江西理)设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题: ① M 中所有直线均经过一个定点;②存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上;③对于任意整数 n(n ? 3) ,存在 正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; ④ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .
2

19. (2011 全国)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. 20、 (2009 宁夏海南)已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,圆 C2与圆C1关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,求圆 C2 的方 程.

【参考答案】
【课堂练习】 1-9、CDAAD BBDA 10、 4

3

11、 9 4 12、3 13、 ( x ? 3) ? y ? 2
2 2

14、 ?13 ? c ? 13 15、 x ? y ? 1 ? 0 16、

1 ? m ? 2 ?1 2
2 2

17、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

25 2

18、

5 6 5 ; 2 5

19、 y 2 ? 20 x ; (2)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时, P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4), 即 kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 .于是

5k ? y0 ? 4k k ?1
2

2 ? 3. 整理得 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0. ①

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ?? 0 .② 72 4

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. ③ 2 y ? 20 x, ?
20( y0 ? 4k1 ) .④ k1

设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则 y1 , y2 是方程③的两个实根,所以 y1 ? y2 ?

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中国教育培训领军品牌 同理可得 y3 ? y4 ?

20( y0 ? 4k2 ) .⑤ k2

于是由②,④,⑤三式得

2 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400( y02 ? y02 ? 16k1k2 ) ? ?? ? y1 y2 y3 y4 ? ? 6400 k1k2 k1k2 k1k2

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400. 20、 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 ; (? 3 , 13) 或 ( 5 , ? 1 )

2 2

2

2

【课后作业】 1-8、BDABD ABB 9、①或⑤ 10、1 或

17 7
2 2

11、 x+1)? y ? 2 ( 12、 x+y-3=0 13、-1 ;x2+(y-1)2=1 14、8 15、(x-1)2+(y-1)2=1;x=2 或 3x-4y+6=0 16、0 17、1 18、②③
2 2 19、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ; a ? ?1.

20、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

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