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第05讲函数图象及数字特征


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 www.laomiaotan400315.com

高三新数学第一轮复习教案(讲座 5)—函数图象及数字特征
一.课标要求:
1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次 函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等; 2.掌握各

种图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等; 3.识图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函 数图象与性质一些综合性问题;
1

4.通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的图像,了解它们的变化情况。

二.命题走向
函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础,所以在高考中,函数 知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样,而且突出考查学生联系与转化、分类 与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、 能力要求高,是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考形势来看: (1)与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移 变换、伸缩变换、对称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结 合思想来解题的能力,会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中 的问题; (2)函数综合问题多以知识交汇题为主,甚至以抽象函数为原型来考察; (3)与幂函数有关的问题主要以 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 为主,利用
2 3 ?1 1 2

它们的图象及性质解决实际问题; 预测 07 年高考函数图象: (1)题型为 1 到 2 个填空选择题; (2)题目多从由解析式 得函数图象、数形结合解决问题等方面出题; 函数综合问题: (1)题型为 1 个大题; (2)题目多以知识交汇题目为主,重在考察 函数的工具作用; 幂函数:单独出题的可能性很小,但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用 其性质来解决;

三.要点精讲
1.函数图象
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(1) 作图方法: 以解析式表示的函数作图象的方法有两种, 即列表描点法和图象变换法, 掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性 质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关 键处,要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作 一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个 难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎 样的变换,这也是个难点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换:
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Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向 左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向 上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
原点 x轴

y轴

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直线 y ? x

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、 函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可 得到;
直线 x? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折 到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边 替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不 变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不 变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
x? a
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y? a

1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
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2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:

? ?1

0?? ?1

? ?0

图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数

1 1 1 ? ? y ? x ? 中 ? 限于在集合 ??2 , ? 1, ? , , ,1,2 ,3? 中取值。 2 3 2 ? ?
幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交; ⑵定义域为 R 或 ( ? ?,0) ? (0, ? ?) 的幂函数都具有奇偶性,定义域为

R ? 或?0, ? ?? 的幂函数都不具有奇偶性;
? ⑶幂函数 y ? x (? ? 0) 都是无界函数;在第一象限中,当 ? ? 0 时为减函数,当

? ? 0 时为增函数;
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1) ,至多有三个公共点;

四.典例解析
题型 1:作图 例 1. (06 重庆 理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成 的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

A

B

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C

D

1 圆的面积减去以圆的半径为腰的等 4 2 ? ? 1 ? ?2 ? ? ? ?2 ? , ) 在直线 y ? x 的 腰直角三角形的面积,f ( ) ? 2( ? ) ? 即点 ( , 2 4 2 2 2 2 2 ? 1 下方,故应在 C、D 中选择。而当当 x ? 时,阴影部分的面积等于 圆的面积加上以 4 2 3? ? ? 2 3? ? 2 3? )? ? 圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积, f ( ) ? 2(? ? ,即点 2 2 2 2 3? 3? ? 2 ( , ) 在直线 y ? x 的上方,故应选择 D。 2 2
解析:显然当 x ? 时,阴影部分的面积等于 点评:该题属于实际应用的题目,结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决 问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函 数图象个关系; 例 2. (1996 上海, 文、 8) 理 在下列图象中, 二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y= (
x

?

b ) a

的图象只可能是(



b b 2 b2 解析一:由指数函数图象可以看出 0< <1。抛物线方程是 y=a(x+ )- , a 2a 4a 2
其顶点坐标为(- A。 解析二: y=ax2+bx 与 x 轴的交点, ax2+bx=0, 求 令 解得 x=0 或 x=-
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b b b b2 1 ,- ) ,又由 0< <1,可得- <- <0.观察选择支,可选 2 2a a 2a 4a b b , 而-1<- <0。 a a

故选 A。 点评:本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质,源于课本,考查基本知识, 难度不大。本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得解题灵感。 题型 2:识图 例 3. (06 江西 12)某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时间 t (月份)之间的关系如图所 示,已知该年的平均气温为 10℃,令 C (t ) 表示时间段 ?0,t ? 的 平均气温,C (t ) 与 t 之间的函数关系用下图表示,则正确的应 该是( )

解析:平均气温 10℃与函数图像有两个交点,观察图像可知两交点的两侧都低于平 均气温, 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温,应该从开始持续到平均气温左交 点向右一段距离才开始达到平均气温, 持续上升一段时间, 最后回落到平均气温。 答案 A。 点评:联系生活,体会变量间的相互关系,重视观察图像的变化趋势,结合导数的 知识处理实际问题。 例 4. (2002 上海文,理 16)一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的 关系,如图 2—1 所示,图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭 在这年 12 个月中每个月的用电量.根据这些信息, 以下关于该家庭用电量与其气温间关系 的叙述中,正确的是( )

图 A.气温最高时,用电量最多
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B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 解析:经比较可发现,2 月份用电量最多,而 2 月份气温明显不是最高。因此 A 项错 误。同理可判断出 B 项错误。由 5、6、7 三个月的气温和用电量可得出 C 项正确。 点评:该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力,要从题目解说入手,结合图像 和实际解决问题。 题型 3:函数的图象变换 例 5. (2002 全国理,10)函数 y=1-

1 的图象是( x ?1



解析一:该题考查对 f(x)=

1 1 图象以及对坐标平移公式的理解,将函数 y= 的图 x x

形变形到 y=

1 1 , 即向右平移一个单位, 再变形到 y=- 即将前面图形沿 x 轴翻转, x ?1 x ?1 1 +1,从而得到答案 B。 x ?1

再变形到 y=-

解析二:可利用特殊值法,取 x=0,此时 y=1,取 x=2,此时 y=0。因此选 B。 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。 例 6. (05 广东理 9)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图象 关于直线 y ? x 对称。现将 y ? g (x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平 移 1 个单位,所得的图象是由两条线段组成 的折线(如图 2 所示) ,则函数 f (x) 的表达 式为( )

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ?
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?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x) ? ? x ? 2 ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3,2 ? x ? 4 ?
解析:原函数的图像仍然是由两条折线段组成,折线段的端点(-2,0)(0,1) 、 、 (1,3)向下平移 1 个单位是端点(-2,-1)(0,0)(1,2) 、 、 ,再向右平移 2 个单位 端点为(0,-1)(2,0)(3,2) 、 、 ,关于直线 y ? x 对称后折线段端点为(-1,0)(0, 、 2)(2,3) 、 。答案 A。 点评:该题是应用函数图象变换求函数解析式。由函数图像的变换的函数的性质逆 向变换既可,注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。 题型 4:函数图象应用 例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能 是( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x
B

y x
C

o

o

o

o
D

x

A

解析: ∵函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的定义域的交集

(??,0) ? (0, ??) ,图像不经过坐标原点,故可以排除 C、D。
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由于当 x 为很小的正数时 f ( x) ? 0 且 g ( x) ? 0 ,故 f ( x) ? g ( x) ? 0 。∴选 A。 点评:明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正、 异号为负” 。 例 8. (2000 春季北京、安徽,14)已知函数 y 3 f(x)=ax +bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范围。 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象 过原点,即 f(0)=0,得 d=0, x o 2 1 又 f(x)的图象过(1,0), ∴f(x)=a+b+c ① 又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二:如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0, ∴b<0。 点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为( A.2 B.3 C.4 )

D.2 或 3 或 4
|x|

根据函数与方程的关系,知方程 a| x| ?| loga x | 的根的个数即为函数 y ? a 与函数

y ?| lo ga x | 的图像交点的个数。
该题通过作图很可能选错答案为 A,这是我们作图的易错点。若作图标准的话,在 同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像,由图知当 0 ? a ? e 个数为 3 个;当 a ? 个。选项为 D。 点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函 数的交点问题” ,借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( )
?e

? 1 时,图像的交点

1 1 时,图像的交点个数为 4 个;当 a ? 时,图像的交点个数为 2 16 2

A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]
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D. (0 , 2)

解析:保留函数 y ? 2 ? x 2 在 x 轴上方的图像,将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴 上方区即可得到函数 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像。 通过观察图像,可知 f ( x) 在区间 (??, ? 2] 上是减函数,在区间 [? 2,0] 上是增函 数, a ? b ? 0 , f a ?b 由 且 () f () 可知 a ? ? 2 ? b ? 0 , 所以 f (a) ? a 2 ? 2 ,f (b) ? 2 ? b2 ,

从而 a 2 ? 2 ? 2 ? b2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 ,又 2 | ab |? a2 ? b2 ? 4 ,所以 0 ? ab ? 2 。选项为 A。 点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则,通过研究函数

y ? 2 ? x 2 的图像和性质,进而得到 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像和性质。
题型 6:幂函数概念及性质
m

例 11.函数 y ? x n (m, n ? Z , m ? 0, | m |, | n | 互质)图像如图所示,则( A. m n ? 0, m, n 均为奇数 B. m n ? 0, m, n 一奇一偶 C. m n ? 0, m, n 均为奇数 D. m n ? 0, m, n 一奇一偶 )

y

O

x

解析:该题考察了幂函数的性质,由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在
? m (0,??) 上单调递减,此时只需保证 ? 0 ,即 mn ? 0 ,有 y ? x n ? x |n| ;同时函数 n m |m|

只在第一象限有图像,则函数的定义域为 (0,??) ,此时 | n | 定为偶数, n 即为偶数, 由于两个数互质,则 m 定为奇数。 答案:选项为 B。 点评:该题突破了传统借形言数思路,属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分
? 清幂函数 y ? x 在 ? ? 0,0 ? ? ? 1, ? ? 1 几种不同情况下函数的图像的特点,更甚至在

同一种情形下 ? 取不同数值对函数图像的影响也要了解。
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例 12.画出函数 y ?

3 ? 2x 的图象,试分析其性质。 x?3

解析:先要找出它是哪一种函数平移而来的,它应是由 反 比 例 函 数 平 移 而 来 ,

3 ? 2 x ?2( x ? 3) ? 3 3 ? ?? ? 2 (这种变换是解 x?3 x?3 x?3 3 ? 2x 3 决这类问题的关键) 由此说明,y ? , 是由 y ? ? 图 x?3 x y?
象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,如图所 示:具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确, 即 x ? 0, y ? ?1, y ? 0, x ?

3 。故图象一定过(0,-1)和 2

?3 ? ? ,0? 两个关键点。 ?2 ?
再观察其图象可以得到如下性质: 定义域 {x | x ? 3, x ? R}值域 y | y ? ?2, y ? R} , { 单调区间 (??,3) 和(3,??) 上单调递增; 既不是奇函数也不是偶函数, 但是图象是中心对 称图形,对称中心是(3,-2) 。 点评:幂函数 y ? 不能用并集号 ? 。 题型 7:抽象函数问题 例 13 . 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 D : {x | x ? 0} 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f (x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数,求 x 的取值范围。 (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 1, 有f (1?1) ? f (1) ? f (1), 解得f (1) ? 0. (Ⅱ)证明:令 x1 ? x2 ? ?1,

1 的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间 x

有f [(?1) ? (?1)] ? f (?1) ? f (?1), 解得f (?1) ? 0
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令 x1 ? ?1, x2 ? x有f (? x) ? f (?1) ? f ( x),? f (? x) ? f ( x). ∴ f (x) 为偶函数。 (Ⅲ) f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2, f (16 ? 4) ? f (16) ? f (4) ? 3. ∴ f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3即f [(3x ? 1)(2 x ? 6)] ? f (64) (1) ∵ f ( x)在(0,??) 上是增函数, ∴(1)等价于不等式组:

?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ?(3x ? 1)(2 ? 6) ? 0, 或? ? ?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64, ?? (3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64.
1 ? ? x ? 3或x ? ? 3 , ?? 1 ? x ? 3, ? ? 或? 3 ? ?? 7 ? x ? 5, ?x ? R ? ? 3 ?
7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范 围为 {x | ? ? x ? ? 或 ? ? x ? 3或3 ? x ? 5}. 3 3 3
∴ 3 ? x ? 5或 ? 点评:以抽象函数为模型,考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极 限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系,抓住 条 件 f(x1+x2) = f(x1) · f(x2) 找 到 问 题 的 突 破 口 , 由 f(x1+x2)=f(x1) · f(x2) 变 形 为

x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题的关键。 2 2 2 2
例 14 . ( 2005 广 东 19 ) 设 函 数

f ( x)在(??,??)

上 满 足

f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0.
(Ⅰ)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。

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? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) 解析: (Ⅰ)由 ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,
从而知函数 y ? f (x) 的周期为 T ? 10 又 f (3) ? f (1) ? 0, 而f (7) ? 0 ,

f (?3) ? f (?3 ? 10) ? f (7) ? 0 ,所以 f (?3) ? ? f (3)
故函数 y ? f (x) 是非奇非偶函数; (II) 又 f (3) ? f (1) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y ? f (x) 在[0,2005]上有 402 个解, 在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f (x) 在[-2005,2005]上有 802 个解。 点评:充分利用函数的数字特征,并将其转化为函数的性质,再来解题。 题型 8:函数图象综合问题 例 15.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、a+1、 a+2。 A、 C 在 x 轴上的射影分别是 A′、 又 B、 B′、 C′,记△AB′C 的面积为 f(a), △A′ BC′的面积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。 解: (1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B

1 1 (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ), 2 2 1 g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= a ? 1 。 2
=

1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2

1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
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∴f(a)<g(a)。 点评:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等,充分借助图 象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口,解题思路:图形面积不 会拆拼、数形结合、等价转化。 例 16. 设曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x , C 沿 x 轴、y 轴正方向分别平移 t 、 (t ? 0) 将 s 个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ? 解析: (1)曲线 C1 的方程为 y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ; (2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) , 设 B2 ( x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点,则有 ∴ x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y2 。 代入曲线 C 的方程,得 x2 , y2 的方程: s ? y2 ? (t ? x2 )3 ? (t ? x2 ) 。 即 y2 ? ( x2 ? t )3 ? ( x2 ? t ) ? s 可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上。 反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上。 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称。 (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,

t s 2 2

t2 ?t 4

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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x1 ? x2 t y1 ? y2 s ? , ? , 2 2 2 2

? y ? x3 ? x ? ∴方程组 ? 有且仅有一组解, 3 ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s ?
消去 y ,整理得 3tx ? 3t x ? (t ? t ? s) ? 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个
2 2 3

根,
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∴ ? ? 9t 4 ?12t (t 3 ? t ? s) ? 0 ,即得 t (t 3 ? 4t ? 4s) ? 0 , 因为 t ? 0 ,所以 s ?

t3 ?t 。 4

点评:充分利用函数图像变换的原则,解决复合问题。

五.思维总结
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为 此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌 握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) ; 偶函数 f (? x) ? f ( x) 。 (2)函数单调性: 单调递增

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 。 x1 ? x2
T T ) ? f (x ? ) ; 2 2

单调递增

(3)函数周期性 周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x) 或 f ( x ? (4)对称性 关于 y 轴对称: f (? x) ? f ( x) ; 关于原点对称: f (? x) ? ? f ( x) ; 关于直线 x ? a 对称: f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ; 关于点 ( a, b) 对称: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x) 。

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第05讲函数图象及数字特征

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