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3.1 正整数指数函数

时间:2011-10-05


正整数指数函数

实例分析
问题1 某种细胞分裂时,由1 个分裂成2个,2个 分裂成4个……一直分裂下去. 动画

实例分析
(1)用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3, 4,5,6,7,8时,得到的细胞个数; 1次 2次 3次 4次

实例分析
(1)用列表表示1个细胞分裂次数

分别为1,2,3, 4,5,6,7,8时,得到的细胞个数; 解 (1)利用正整数指数幂的运算法则,可以算 出1个细胞分裂1,2,3,4,5,6,7,8次后,得到的 细胞个数(如下表)
分裂次数(n) 分裂次数(n) 细胞个数(y) 细胞个数(y)

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 7 8 64 128 256

(2)用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N+)与 得到的细胞个数y之间的关系; 1个细胞分裂的次数n(n∈N+)与得到的细胞个 数y之间的关系可以用图像表示,它的图像是由 y 一些孤立的点组成(如图)
36 32 28 24 20 16 12 8 4 O 2 4 6 x

(3)写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关 系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次 得到的细胞个数. 细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为 y=2n,n∈N+. 用科学计算器算得215=32768, 220=1048576. 细胞分裂15次,20次得到的细胞个数分别是 32768个和1048576

问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气屋的臭 氧层.臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q0·0.9975t,其中Q0 是臭氧的初始量,t是时间(年).这里设Q0=1.

(1)计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含 量Q; 解 (1)例用科学计算器可算得,经过 20,40,60,80,100年后臭氧含量Q分别是 0.997520=0.9512, 0.997540=0.9047 0.997560=0.8605 0.997580=0.8185 0.9975100=0.7786

问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气屋的臭 氧层.臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q0·0.9975t,其中Q0 是臭氧的初始量,t是时间(年).这里设Q0=1.

(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化;

下图表示每隔20年臭氧含量Q的变化,它的图像 Q 是由一些孤立的点组成;
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O 20 40 60 80 100 t

(3)试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加 还是减少. 通过计算和看图可以知道,随着时间的增加,臭 Q 氧的含量在逐渐减少. 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2
O 20 40 60 80 100 t

问题2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气屋的臭 氧层.臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q0·0.9975t,其中Q0 是臭氧的初始量,t是时间(年).这里设Q0=1.

问题1 研究了随分裂次数增加细胞个数增加的 趋势,可以知道细胞个数y与分裂次数n之间存在 着函数关系 y=2n,n∈N+ 问题2研究了随年份增加臭氧含量减少的趋势, 同样可知,臭氧含量Q与时间t之间存在着函数关 系 Q=0.9975t,t∈N+

y=2n,n∈N+ Q=0.9975t,t∈N+ 常数 自变量

函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数. 其中x是自变量,定义域是正整数N+

堂上练习 判断下列函数是不是正整数指数函数:
(1) y = 3 ? 2 ( x ∈ N + );
x

(2) y = π ;
x

(3) y = (?4) x ( x ∈ N + );

?2? (4) y = ? ? ( x ∈ N + ); ?3?

x

正整数指数函数的性质 y=2n,n∈N+
函数 y=2n,n∈N+ =2 ∈N

比较下面两个正整数函数的性质

Q=0.9975t,t∈N+
Q=0.9975t,t∈N+ =0.9975 ∈

图像

定义域 单调性 图像特征 增函数

正整数集N 正整数集N+ 减函数 一群孤立的点组成

例 某地现有森林面积为1000hm2,每年增长5%, 经过x(x∈N+)年,森林面积为yhm2.写出x,y间的 函数关系式,并求出经过5年,森林面积. 解 y与x之间的函数关系式为 y=1000(1+5%)x (x∈N+), 经过5年,森林的面积为 1000(1+5%)5=1276.28(hm2).

练习
?1? 1.画出函数y = ? ? ( x ∈ N + )的图像,并说明函数的单调性 ? 2?
x

随着x的增加,函数值减少 2.一种产品的年产量原来是10000件,今后计划 使年产量每年比上一年增加p%.写出年产量随 经过年数变化的函数关系. y=10000(1-p%)m,m∈N+

小结
概念 单调性 借助科学计算器、计算机计算其数值 y=ax(a>0,a≠1,x∈N+) 一些孤立的点

正 整 数 函 数

图像特征


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