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几何体与球的切


几何体与球的切、接问题
1.若棱长均为 2 的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为___________. 2.已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 A. 1 B.

3

C. 2

D. 3

3.一个几何体的三视图如右图所示,其中

正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积 为 ... A. 12? C. 3? B. 4 3? D. 12 3? 正视图 侧视图

4.等边三角形 ABC 的三个顶点在一个半径为 1 的球面上,O 为球心, G 为三角形 ABC 的中心,且 OG ? 积为 A. ? B.2 ? C.
3 . 则 ?ABC 的外接圆的面 3

俯视图

2? 3

D.

3? 4

结束

1.一条直线与一个平面所成的角等于

? ? ,另一直线与这个平面所成的角是 。则这两条直 3 6
D.不可能平行 ( ) D.

线的位置关系 ( ) A.必定相交 B.平行 C.必定异面 2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 A.

352 3 cm 3

B.

320 3 cm 3

C.

224 3 cm 3

160 3 cm 3

3 .如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 被平面 EFGH 截去几何体 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F EFGHB1C1 后得到的几何体, 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH / / A 的 1D 1 ,则下列结论中不正确 ... 是 ( )
1

A. EH / / FG

B.四边开 EFGH 是矩形 C. ? 是棱柱 D. ? 是棱台

4.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 ( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m )

AB 、CC1 、A1D1 所在直线的距离相等的点 6. 与正方体 ABCD ? A ( 1B 1C1D 1 的三条棱
A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个

7. 已知正四棱锥 S ? ABCD 中,SA ? 2 3 , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 ( A.1 B. 3 C.2 D.3



8. 已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC , SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ) A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

9.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( ) A. (0, 6 ? 2 )B. (1, 2 2 ) C. ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) D. (0, 2 2 ) 10.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一 个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动, 经过其余三点后返回, 则经过的最短路程 是 ( ) A. 2? R B. ? R

7 3

C. ? R

8 3

D.

7? R 6

11.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于(



A.4 ? B.3 ? C.2 ? D. ? 12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的高的最小 值为 ( ) A.

3?2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

2

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m,使 m 与 l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) 3

2 3 正视图 A. 9? ? 42 B. 36? ? 18 侧视图 俯视图

C. ? ? 12

9 2

D. ? ? 18 )

9 2

3.设 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面, m // ? ,则“ l ? ? ”是“ l ? m ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 ( ) A.75° B.60° C.45 D.30° 5.在正四面体 P—ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立 的 ... ( ) A.BC//平面 PDF B. DF⊥平面 PAE C. 平面 PDF⊥平面 ABC D. 平面 PAE⊥平面 ABC )

AB 、CC1 、A1D1 所在直线的距离相等的点 6. 与正方体 ABCD ? A ( 1B 1C1D 1 的三条棱
A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个

7. 已知正四棱锥 S ? ABCD 中,SA ? 2 3 , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 ( A.1 B. 3 C.2 D.3



8.已如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1 的中点,则下列结论中错误 的是 ( ) .. A.D1O∥平面 A1BC1 B.D1O⊥平面 MAC C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60° D.二面角 M-AC-B 等于 90° 9.如图,在正四面体 ABCD 中,E 为 AB 的中点,F 为 CD 的中点, 则异面直线 EF 与 AC 所成的角为 ( ) A.90? B.60? C.45? D.30? 10.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好 都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面 运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是





3

A. 2? R

B. ? R

7 3

C. ? R

8 3

D.

7? R 6

11.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于





A.4 ? B.3 ? C.2 ? D. ? 12.如图甲所示,三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30?, M 、N 分别在 BC 和 PO 上,且 CM ? x, PN ? 2 x( x ? (0,3]) ,图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥
N ? AMC 的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是(



二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.某地球仪上北纬 30 纬线的长度为 12? cm ,该地球仪的半径是__________cm,表面积
?

是______________cm2。 14.在正方体 ABCD ? A1B1C1D! 中, M、N、P、Q 分别是 AB、AA 1、C1 D 1、CC1 的中点, 给出以下四个结论: ① AC1 ? MN ; ② AC1 //平面 MNPQ ; ③ AC1 与 PM 相交; ④ NC1 与 PM 异 面 其中正确结论的序号是 . ABC A ' B ' C ' 的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.设 15 . 已 知 正 三 棱 柱

?ABC, ?A ' B ' C ' 的中心分别是 O, O ' ,现将此三棱柱绕直线 OO ' 旋转,射线 OA 旋转
所成的角为 x 弧度( x 可以取到任意一个实数) ,对应的俯视图的面积为 S ( x) ,则函数

S ( x) 的最大值为

,最小正周期为



3 4 正(主)视图 侧(左)视图

说明:“三棱柱绕直线 OO ' 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时,OA 旋 转所成的角为正角,顺时针方向旋转时, OA 旋转所成的角为负角.
4

16.已知 ABCD-A1B1C1D1 为单位正方体,黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行,每走完一 条棱称为“走完一段”,白蚂蚁爬行的路线是 AA1→A1D1→……,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1→……,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面 直线 (其中 i 是自然数) , 设黑、 白蚂蚁都走完 2012 段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑、白两只蚂蚁的距离是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分) 。 17. (12 分)在平面 α 内有△ ABC,在平面 α 外有点 S,斜线 SA⊥AC,SB⊥BC,且斜线 SA、 SB 与平面 α 所成角相等。 (1)求证:AC=BC (2)又设点 S 到 α 的距离为 4cm,AC⊥BC 且 AB=6cm,求 S 与 AB 的距离。

18. (12 分)平面 EFGH 分别平行空间四边形 ABCD 中的 CD 与 AB 且交 BD、AD、AC、BC 于 E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥A B. (1)求证 EFGH 为矩形; (2)点 E 在什么位置,SEFGH 最大?

,B,C,D 为空间四点. 19. (12 分) 如图,A 在 △ ABC 中,AB ? 2,AC ? BC ? 2 . 等
边三角形 ADB 以 AB 为轴运动.

D B 转动时, (Ⅰ) 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 求 CD ; (Ⅱ) 当 △A 是否总有 AB ? CD ? 证明你的结论.

20. (12 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, 其中 AB=3,PA=4,若在线段 PD 上存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E—BC—A 正切值的大小。 P

A D
5

B

C

?ADE ? 90 , 21. (14 分) 如图所示, 正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,
?

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 . (Ⅰ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅱ)求四面体 BDEF 的体积.

E

F

D

C

A

B

22. (14 分) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是直角梯形,?BAD ? ?ADC ? 90 ,
o

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 .

(Ⅰ)求证: AC ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)在 A1 B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结 论.

6

参考答案
一、选择题 1.C;2.D;3.A;4.C;5.C;6.D;7.C;8.D;9.C;10.B;11.A;12.A; 二、填空题 13. 4 3 , 192? ;14.①③④;15. 8 、 三、解答题 17. (1)证明:过 S 作 SO⊥面 ABC 于 O

? ;16. 2 ; 3

2 2 ?S 到 AB 的距离为 4 ? 3 =5cm.

又∵AB⊥CD ? EF⊥FG ? EFGH 为矩形. (2)AG=x,AC=m,

GH x ? a m

a GH= m x b GF= m (m-x)

GF m ? x m ? x ? b m = m

a b SEFGH=GH· GF= m x·m (m-x)

m2 m2 ab ab ) 2 2 = m (mx-x2)= m (-x2+mx- 4 + 4 m2 ab m 2 = m [-(x- 2 )2+ 4 ]
7

m ab m 2 ab 2 当 x= 2 时,SEFGH 最大= m · 4 = 4 .
19.解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC , 可知 DE ? CE 由已知可得 DE ? 3 ,EC ? 1, 在 Rt△DEC 中, CD ? DE2 ? EC2 ? 2 . (Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD , 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? CD . (ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE . 又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB ? 平面 CDE ,由 CD ? 平面 CDE ,得 AB ?CD . 综上所述,总有 AB ? CD 。 20.若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E,由于点 E 与 BC 确定的平面与球的截面是一 个大圆,则必有 BE⊥CE,因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点。 设 BC 的中点为 O(即球心) ,再取 AD 的中点 M,易知 OM⊥平面 PAD,作 ME⊥PD 交 PD 于点 E,连结 OE,则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离,又因为 OD> OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外,所以要使以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点, 只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可。 由于△ DEM∽△DAP, 可求得 ME=

D

E B

A

C

4R 16 ? 4 R
2

4R 2 , 所以 OE =9+ 4 ? R2
2

令 OE2≤R2,

4R 2 即 9+ ≤R2 ,解之得 R≥2 3 ; 2 4?R
所以 AD=2R≥4 3 ,所以 AD 的取值范围[ 4 3 ,+∞ ) , 当且仅当 AD= 4 3 时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,此时易求得二面角 E—BC—A 的平 面角正切值为

1 。 2
E

21. (Ⅰ) 证明: 设 AC ? BD ? O , 取 BE 中点 G , 连结 FG, OG ,
// 1 DE . 所以, OG ?

2

// OG , 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ?

G F D O C

8

A

B

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF . (Ⅱ)解:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD ,所以 AB ? 平面 ADEF . 因为 AF // DE , ?ADE ? 90? , DE ? DA ? 2 AF ? 2 ,

1 ? ED ? AD ? 2 , 2 1 4 所以四面体 BDEF 的体积 ? S ?DEF ? AB ? . 3 3
所以 ?DEF 的面积为 22.证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥平面 ABCD,? BB1⊥A C. 又? ∠BAD=∠ADC=90°, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , ∴ AC ? 2 ,∠CAB=45°,∴ BC ? 2 ,? BC⊥A 又 BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,? AC⊥平面 BB1C1 (Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖AB,且 PB1= 又∵DC‖AB,DC=
1 A 2

C. C.

B.

1 AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1, 2

∴DC B1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP. 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖面 ACB1.同理,DP‖面 BCB1. 1.D;2.B;3.D;4.C;5.B;6.D;7.C;8.D;9.A;10.B;11.A;12.B;

9


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