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教解·人A数学·必修1·16版(答案)


答案与解析

答案与解析
第 1 章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 能力·题型设计 P7 P7 1 . C摇 揖 解析铱 A、B、D 都不满足确定性,只有 C 中对象能 构成集合. 2 . C摇 揖 解析铱 集合 A 是不等式 3 - 3 x > 0 的解集,很明显 3 . D摇 揖 解析铱 因

为集合中的元素具有互异性, 故集合中 x - 1屹x - 1 , ì ? ? 元素互不相同,即 íx - 1屹2 , 解得 x屹0 且 x屹1 且 ? 2 ?x - 1屹2 ,
2

2 . C摇 揖 解析 铱 由 a,

{

{

a + b = 1, ì ? a = - 1, a = 1, ?a 2 = a , 或í 解得 或 ( 舍去) . b =0 b =0 ?b ? = 0. ?a

a = 1, ì ? ?a = a + b , b a, ,1 也可以 表 示 为 { a2 , a + b, 0 } , 亦 í a ?b ? =0 ?a
2

b ,1 可 知, a 屹1 且 a 屹0 . 疫 集 合 a

}

}

{

{

3 ,1 不满足不等式,而 0 , - 1 满足不等式.

3 . C摇 揖 解析铱 淤 当 x > 0 , y > 0 时, z = 1 + 1 + 1 = 3 ; 于 当 z = - 1 + 1 - 1 = - 1 ;榆 当 x < 0 ,y < 0 时 ,z = - 1 - 1 +

亦 a2 013 + b2 014 = ( - 1 ) 2 013 + 0 2 014 = - 1 .

x > 0 ,y < 0 时 ,z = 1 - 1 - 1 = - 1 ; 盂 当 x < 0 , y > 0 时 ,

4 . { k | 5 < k臆6 } 摇 揖 解析铱 x 只能取 3 ,4 ,5 ,故 5 < k臆6 . 5 . { 6 ,3 ,2 ,1 } 摇 揖 解析 铱 疫

x屹3 且 x屹 依 3 .

4 . A摇 揖 解 析 铱 由 题 意 可 知 A 中 有 两 个 元 素 0 与 2 , 故 选 A. 5 . A摇 揖 解析 铱 淤 由题意得

1 = - 1 . 亦 集合 A = { - 1 ,3 } . 亦 - 1沂A.

6 . 解:( 1 ) { 到 两 定 点 距 离 的 和 等 于 两 定 点 间 距 离 的 点} ; ( 2 ) { 直角三角形} ; 5 或 x沂R x > ; 2

3 或 2 或 1 ,亦 D = { 6 ,3 ,2 ,1 } .

x = 2 或 1 + x = 3 或 1 + x = 6 ,满足 x沂Z,亦

6 沂 N, 亦 1 + x = 1 或 1 + 1 +x

{

6 =6 或 1 +x

集 为 { ( 2, - 2 ) } , 而 不 是 { 2, 表示当 x沂 R 时 y 的取值范围, 而
2 2

|y +2| =0

x - 2 = 0,



{

x = 2,

y = -2

故解

- 2 } . 于集合{ y | y = x2 - 1 , x 沂 R }

y = x - 1逸 - 1 ,故集合{ y | y = x - 1 , x 沂 R } = { y | y 逸 答图 1 ) 知, 两 个 集 合 的 公 共 元 素 所 组 成 的 集 合 为 { y | y逸 - 1 } . 盂集合{ x | x - 1 < 0 } 表示不等式 x - 1 < 0 的解集,即{ x | x < 1 } . 而集合 { x | x > a, a 沂 R } 表示不 等式x > a 的解集. 结合数轴( 如答图 2 ) ,当 a 逸1 时两 个集合没有公共元素;当 a < 1 时,两个集合有公共元 素,形成的集合为{ x | a < x < 1 } . - 1 } . 同理集合{ y | y = x - 1 ,x沂R} = R. 结合数轴 ( 如

答图 1

(3) {3x - 2 > x + 3 的 解 } 或 { x 沂 R | 3x - 2 > x + 3 }

{

}

( 4 ) { x沂Z | | x | < 4 } 或{ - 3 , - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2 ,3 } ; ( 5 ) { x | x2 = x} 或{ 0 ,1 } ; ( 6 ) { ( x,y) | 4 x2 + 9 y2 - 4 x + 12 y + 5 = 0 } 或 { ( x ,y ) | ( 2 x - 1 ) 2 + ( 3 y + 2 ) 2 = 0 } 1 2 或 ? ,- ? . 3 ? è2

{

?

÷

}

答图 2 P8 6 . 盂虞愚舆摇 揖 解析 铱 方程组的解是

1 . B摇 揖 解析铱 对 a 进行分类讨论: 淤 当 a = 0 时, 四个数 都为 0 ,此集合中只含有 1 个元素;于当 a屹0 时,此集 合中含有两个元素 a, - a. 所以此集合中最多含有 2 个元素.

{

x = 1, y = 2,

它是一组数

对( 1 ,2 ) , 所 以 方 程 组 的 解 可 用 列 举 法 表 示 为 { ( 1 , 2 ) } ,也可用描述法表示为 ( x,y)

{

{ }
y =2

x = 1,

, 虞愚舆

摇165

7 . 6摇 揖 解析铱 由题意知,含 “ 孤立元 冶 必须是集合中没有 与 k 相邻的元素,因而无“ 孤立元冶 是指在集合中有与 k 相邻的元素, 符合题意的 集 合 是: { 1 , 2 , 3 } ,{ 2 , 3 , 集合.

和盂等价.

6 . 解:先对集合 A 分类讨论: 若 a = 0 ,则 A = R ; 若 a < 0, 则 A = x

4 } ,{ 3 ,4 ,5 } ,{ 4 ,5 ,6 } ,{ 5 ,6 ,7 } ,{ 6 ,7 ,8 } , 共有 6 个 8 . 1摇 - 2摇 揖 解析 铱 将集合中的元素满足的关系式整理

{ 4 < x臆 }. {x - 1 a a

4 1 臆x < ; 若 a > 0, 则 A = a a

}

( 1 ) 当 a = 0 时,若 A哿B ,此种情况不存在;

9 . 解:A = { x | y = x 且 y = x2 + ax + b } , 即 A = { x | x2 + ( a - 1) x + b = 0} . 又 - 1沂A,3沂A, 个根, 亦

0 ,即 a = 1 ,b = - 2 时,集合为无限集.

成一元一次方程的形式. 故当且仅当 a - 1 = 0 ,b + 2 =

4 1 ì ?a > - 2, ? 当 a < 0 时 ,若 A 哿 B ,则 í 解得 a < - 8 ; 1 ? ? - 臆2 , ? a

即 - 1 ,3 是一元二次方程 x2 + ( a - 1 ) x + b = 0 的两

ì- 1 逸- 1 , ? 2 ? a 当 a > 0 时 ,若 A 哿 B ,则 í 解得 a逸2 . 4 ? ? 臆2 , ?a
综上所述,当 a逸2 或 a < - 8 时,A哿B. ( 2 ) 当 a = 0 时,显然 B 哿A; 4 1 ì ?a臆- 2, ? 1 当 a < 0 时 ,若 B 哿 A ,则 í 解得 < a < 0; 2 1 ? ? - > 2, ? a

{

亦 存在这样的实数 a = - 1 ,b = - 3 ,使 - 1沂A 与 3沂A 同时成立. 10 . 解:( 1 ) 由 m = 6 k + 3 = 3 k + 1 + 3 k + 2 ( k沂Z) , 令 a = 3 k + 1 ,b = 3 k + 2 ,则 m = a + b. 故若 m沂M ,有 a沂A,b沂B ,使 m = a + b 成立. l) + 3 .

b = - 1 伊 3,

- ( a - 1) = - 1 + 3,



{

a = - 1, b = - 3.

( 2 ) 设 a = 3 k + 1 ,b = 3 l + 2 , k , l 沂 Z , 则 a + b = 3 ( k + 所以当 k + l = 2 p ( p 沂 Z ) 时, a + b = 6 p + 3 沂 M , 此时 有 m沂M ,使 a + b = m 成立; 当 k + l = 2 p + 1 ( p 沂 Z ) 成立. 时 ,a + b = 6 p + 6 埸 M , 此 时 不 存 在 m 使 a + b = m 1.1. 2 集合间的基本关系 能力·题型设计
2 2

ì- 1 臆- 1 , ? 2 ? a 当 a > 0 时 ,若 B 哿 A ,则 í 解得 0 < a臆2 . 4 ? ? 逸2 , ?a
综上所述,当 1 < a臆2 时,B哿A. 2 P15 1 . C摇 揖 解析铱 由 a沂 P,6 - a 沂 P, 且 P 哿 { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } 可 知,P 中元素在取值方面应满足的条件是 1 , 5 同 时 选;2 ,4 同时选;3 可单独选, 可一一列出满足条件的 4 } ,{ 1 ,5 ,2 ,4 } ,{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } . 共 7 个. 全部集合 P 为 { 3 } ,{ 1 ,5 } ,{ 2 ,4 } ,{ 1 , 3 , 5 } ,{ 2 , 3 ,

( 3 ) 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 A = B 时 ,a = 2 .

P15 P15

1 . D摇 揖 解析铱 因为 P = { x | y = x } = R, Q = { y | y = x } = 2 . D摇 揖 解析铱 疫 方程 x - x + 1 = 0 的判别式 驻 < 0 , 亦 方
2

{ y | y逸0 } ,所以 Q芴P.

2 . B摇 揖 解析铱 由 A芴B,画出数轴如答图 3 ,可求得 a臆 1 ,注意端点能否取得 - 1 是正确求解的关键.

0 ,B 选项中有无数个元素,即抛物线 y = - x2 上的点, 3 . B摇 揖 解析 铱 集合 P 中一定含有元素 a, 且不能只有 a 一个元素,用列举法列出即可. 4 . 于榆虞摇 揖 解析铱 根据子集、真子集的定义. 由 Venn 图 5 . B芴A摇 揖 解析铱 ( 0 ,0 ) 沂A,而( 0 ,0 ) 埸B ,故 B芴A. 的关系,可以看出 S芴U,S芴T,F 芴U 正确,其余错误. C 选项中只有一个元素 0 .

程无实根,故 D 选项为空集, A 选项中只有一个元素

3 . A摇 揖 解 析 铱 集 合 { 0 , 1 , 2 } 的 子 集 为: 芰, { 0 } , { 1 } , { 2 } ,{ 0 ,1 } ,{ 0 ,2 } ,{ 1 ,2 } ,{ 0 ,1 ,2 } , 其中元素中含 有偶数的集合有 6 个.

答图 3

4 . D摇 揖 解析铱 借助数轴可知,要使 A芴B,则 a < 1 .

5 . A摇 揖 解析 铱 符合条件的集合 M 有 { 1 ,2 } ,{ 1 ,2 ,3 } ,

摇166

答案与解析
{ 1 ,2 ,4 } 共 3 个. 迠U N,则 y埸N. 疫 M 哿N,亦 y埸M. 亦 M 疑( 迠U N) = 芰. 迠U B = { x | 0 < x臆1 } .

6 . 0 或 依 1摇 揖 解析 铱 因为集合 A 有且只有 2 个子集, 所 以 A 仅有一个元素,即方程 ax + 2 x + a = 0 ( a 沂 R ) 仅
2

4 . { x | 0 < x臆1 } 摇 揖 解析 铱 对于 迠U B = { x | x 臆1 } , 因此 A疑 5 . 答案不唯一. 如{ 5 } 或{ 2 ,5 } 或{ 2 ,4 ,5 } ……摇 揖 解析 铱 素,而是否 再 含 B 中 的 元 素 则 不 影 响 等 式 A - B = 6 . 解:( 1 ) 疫 B = { x | x逸2 } ,A = { x | - 1臆x < 3 } . 亦 A疑B = { x | 2臆x < 3 } . (2) 疫 C = x x > { 5 } ,因此 A = { 5 } 或{ 2 ,5 } 或{ 2 ,4 ,5 } ……

有一个根. 淤当 a = 0 时,A = { 0 } 符合题意;于 当 a 屹0
2

时,要满足题意, 需有 驻 = 4 - 4 a = 0 , 即 a = 依 1 . 综 7. { 正方形},{ 矩形},{ 平行四边形} 摇 揖 解析铱 由 Venn 图 可知 A,B,C 三个集合之间的包含关系为 A 芴 B 芴 C,则 A,B,C 应分别为{ 正方形} ,{ 矩形} ,{ 平行四边形} . 8 . a臆 1 摇 揖 解析铱 疫 芰芴{ x | x2 - x + a = 0 } . 4 1 . 4 上 :a = 0 或 a = 依 1 .

由题意,知 5沂 A, 且 A 中不再含 迠U B 中的其他任何元

{

亦 { x | x2 - x + a = 0 } 屹芰,即 x2 - x + a = 0 有实根. 亦 驻 = ( - 1 ) 2 - 4 a逸0 ,得 a臆 9 . 解:( 1 ) 由 A芴B. a - 2逸 - 2 , a + 2臆3

亦 a > - 4.

a ,B 胰 C = C 圳 B 哿 C , 2

}

P23 1 . D摇 揖 解析铱 显然 A,B,C 错,D 正确. { 0 ,1 } . 2 . B摇 揖 解析铱 疫 N = { 0 ,1 } , M = { - 1 ,0 ,1 } . 亦 M 疑 N = 3 . C摇 揖 解析铱 联立方程 x + y = 1 和 x2 + y2 = 1 可求出两 组解. 4 . D摇 揖 解析 铱 疫 Q = { 3 ,4 ,5 } , 亦 迠U Q = { 1 ,2 ,6 } , 亦 P 疑 5 . C 摇 揖 解 析 铱 迠U A = { 0 , 4 } , ( 迠U A ) 胰 B = { 0 , 2 , 4 } . 故 6 . { a,c,d} 摇 揖 解析铱 疫 ( 迠U A) = { c,d} ;( 迠U B) = { a} . 7 . 12摇 揖 解析铱 设两项运动都喜欢的人数为 x, x + 8 = 30圯x = 3 , 亦 ( 迠U A) 胰( 迠U B) = { a,c,d} . 选 C. ( 迠U Q) = { 1 ,2 } .

{

圯0 臆 a 臆1 . 即 0 臆 a 臆1 时, a逸1 , a臆0

(2) 若 B 哿 A 圯 可能.

{

a + 2逸3 ,

a - 2臆 - 2



{

圯 a 沂 芰. 故 不

10 . 解:因为 M = N,所以( a - 3 ) + ( 2 a - 1 ) + ( a2 + 1 ) =

1 ,2 } ,满足 M = N;

a = 1 或 a = 3 . 当 a = 1 时,M = { - 2 ,1 ,2 } ,N = { - 2 , 当 a = 3 时,M = { 0 ,5 ,10 } , N = { - 2 ,9 ,8 } , 不满足 M = N,舍去. 故所求实数 a 的值为 1 .

- 2 + ( 4 a - 3 ) + ( 3 a - 1 ) , 即 a2 - 4 a + 3 = 0 . 解得

1.1. 3 集合的基本运算 能力·题型设计 P23 P23 1 . D摇 揖 解析 铱 直接在数轴上标出集合 A, B, 如答图 4 所 示,取公共部分即得 A疑B = { x | - 2臆x < - 1 } .

画出 Venn 图( 如答图 6 ) 得到方程 15 - x + x + 10 -

2 . D摇 揖 解析 铱 如答图 5 , 由 ( 迠U A ) 胰 ( 迠U B ) = 迠U ( A 疑 B ) , 知图中阴影为迠U ( A疑B) ,其中有 n 个元素. 又 A胰 B 中 共有 m 个元素,所以 A疑B 中共有( m - n) 个元素.

答图 4

摇 摇 摇 摇

8 . B疑迠U ( A疑B) 答图 5

3 = 12 .

亦 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15 -

答图 6

9 . 解:疫 U = { x | - 1 臆 x 臆4 } , A = { x | - 1 臆 x 臆1 } , B = { x | 0 < x臆3 } ,结合数轴( 如答图 7 ) 可知 迠U A = { x | 1 < x臆4 } ,迠U B = { x | 3 < x臆4 或 - 1臆x臆0 } .

3 . A摇 揖 解析铱 集合 M 是非空集合, 对集合 M 中任一元 素 x,x沂M. 疫 M 哿N哿 U, 亦 x 沂 N. 亦 x 埸迠U N. 又若 y 沂

结合数轴( 如答图 8 ) 可知( 迠 U B ) 疑A = { x | - 1臆x 臆0 } .

答图 7

摇167

10 . 解法一:若方程 x2 + 4 ax - 4 a + 3 = 0 有实根, 则 驻 = 16 a2 - 4 ( 3 - 4 a) 逸0 . 解得 A = a a逸

答图 8

域都是{ x | x沂R,x屹0 } ,此时 f ( x) > 0 ,g ( x ) > 0 ,二者 表示同一函数. D 中 f ( x ) = x · [ 0 , + 肄 ) ,g ( x ) = x2 + x 的定义域为 ( - 肄 , - 1 ] 胰 1 的值域为 x x + 1 的定义域为

{

4 a2 逸0 .

若 x2 + ( a - 1 ) x + a2 = 0 有实根, 则 驻 = ( a - 1 ) 2 解得 B = a

1 3 或 a臆 . 2 2

}

3 . B摇 揖 解析铱 y = x 的值域为 [ 0 , + 肄 ) , y = 故选 B .

[ 0 , + 肄 ) ,二者不是同一函数,故选 C.

( - 肄 ,0 ) 胰( 0 , + 肄 ) ,y = x2 + 1 的值域为 [ 1 , + 肄 ) .

{

- 1臆a臆

若 x2 + 2 ax - 2 a = 0 有实根,则 驻 = 4 a2 + 8 a逸0 . 解得 C = { a | a逸0 或 a臆 - 2 } . 3 C = a a臆 - 或 a逸 - 1 . 2 综上所述知, 满足题 意 的 a 的 取 值 范 围 是 A 胰 B 胰

1 . 3

}

4 . 榆摇 揖 解析铱 淤于不满足存在性,盂不满足任意性.

5 . ( 1 ) [ 1 , + 肄 ) 摇 ( 2 ) ( 2 ,4 ] 摇 ( 3 ) ( - 1 ,2 ) 胰( 2 , + 肄 ) 6 . 解:( 1 ) 函数的定义域为{ - 1 ,0 ,1 ,2 ,3 } , 则 f ( - 1 ) = f ( 2 ) = 2 ,f ( 3 ) = 5 ,所以函数的值域为{ 1 ,2 ,5 } . 数的值域为{ y | y逸1 } . [ ( - 1 ) - 1 ] 2 + 1 = 5 , 同理可得 f ( 0 ) = 2 , f ( 1 ) = 1 , ( 2 ) 函数的定义域为 R, 因为 ( x - 1 ) 2 + 1 逸1 , 所以函 ( 3 ) 函数的定义域为 { x | x 屹1 } , 因为 y = 9 ,所以函数的值域为{ y | y屹5 } . x -1 5x + 4 =5 + x -1

{

}

解法二:设已知三个方程都无实根, a 的取值范围为 集合 D.

ì16 a - 4 ( 3 - 4 a) < 0 , ? ? 3 则 í( a - 1 ) 2 - 4 a 2 < 0 , 圯 < a < - 1. 2 ? 2 ?4 a + 8 a < 0
2

亦 D= a

{

-

亦 三个方程至少有一个有实根的 a 的取值范围为 D 的补集,则 a a臆 -

3 < a < -1 . 2

( 4 ) 要使函数式有意义, 需 x + 1逸0 , 即 x 逸 - 1 , 故函 数的定义域为{ x | x逸 - 1 } . 设 t =
?

}

{

1. 2 函数及其表示
1. 2.1 函数的概念 能力·题型设计

3 或 a逸 - 1 . 2

}

1 2 5 ( t 逸0 ) ,于是 y = t2 - 1 - t = ? t - ? - ,又 t 逸0 ,故 2 ? 4 è
÷

x + 1 , 则 x = t2 - 1

y逸 -

5 5 ,所以函数的值域为{ y | y逸 - } . 4 4

P33 P33 P33 1 . B摇 揖 解析铱 当 x = - 4 时, 2. B 摇 揖 解 析 铱 疫 f ( 2 ) = - 1. 1 5 伊 ( - 4 - 1 ) = - 埸 N, 2 2

故 B 不是从集合 M 到集合 N 的函数.
? ÷

1 . A摇 揖 解析铱 对于 A, 由 x = y2 + 1 得 y2 = x - 1 , 当 x = 5 二次函数;对于 C,由 x - 2 y = 6 得 y =
2

时,y = 依 2 ,故 y 不是 x 的函数; 对于 B, y = 2 x2 + 1 是 1 x - 3 , 是一次 2

1 3 3 f( 2 ) ,f ? ? = - ,亦 = 5 5 1 è2 ? f? ? è2 ?
? ÷

函数;对于 D,由 x = y 得 y = x ( x逸0 ) ,是二次函数的 2 . C摇 揖 解析铱 A 中 y = 定义域为 R,y = 一部分. 故选 A. x4 的定义域为 R,y = ( x ) 4 的定
3

3 . C摇 揖 解析铱 因为 f ( x) = g( x) =

0 ,两个函数的值域不同, 故 淤 中函数不是同一函数; f ( x ) = x0 与 g ( x ) = x2 = | x | , 故 于 中 函 数 是 同 一 函 数 ; 虽 然 1 的定义域和值域都一样, 但对 x0

- 2x3 逸0,g( x ) = x

- 2x 臆

义域为[ 0 , + 肄 ) ,二者不是同一函数; B 中 y =

x 的

3

x2 的定义域为 { x | x 沂 R, x 屹0 } , 二者 x 1 1 与 g ( x) = 的定义 |x| x2

应法则不 一 样, 故 盂 中 函 数 不 是 同 一 函 数; f ( x ) = 4 . C摇 揖 解析铱 由题意知, - 2臆3 x - 2 臆4 , 亦 0 臆 x 臆2 , 即 定义域为[ 0 ,2 ] . x2 - 2 x - 1 与 g( t ) = t2 - 2 t - 1 为同一函数. 故选 C.

不是同一函数;C 中 f ( x ) =

摇168

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5 . B摇 揖 解析铱 由题意知,( 1 ,2 ) 茚 ( p, q ) = ( p - 2 q,2 p + q) = ( 5 , 0 ) , 亦 1. 2. 2 函数的表示法 能力·题型设计 P42 P42 1 . C摇 揖 解析 铱 结合函数的定义知, 对 A, B, D, 定义域中 每一个 x 都有唯一函数值与之对应, 而对 C , 对大于 0 定义,故选 C . 的 x 而言, 有两个不同函数值与之对应, 不符合函数 1 t 1-

{

1 - 2 x 屹0 , 1 1 6 . ? - 肄 , ?摇 揖 解析 铱 由 解得 x < , 即 2 2 è ? 1 - 2 x逸0
? ÷

( p,q) = ( 1 ,2 ) 茌( 1 , - 2 ) = ( 2 ,0 ) .

2p + q = 0.

p - 2q = 5,



{

p = 1,

q = - 2.

, 亦 ( 1,2 ) 茌

{

2 2 17 2 17 7 . 摇 揖 解析铱 f ( 3 ) = ,f ( f ( 3 ) ) = 2 伊 ? ? + 1 = . 9 3 9 è3 ?
? ÷

1 函数 f ( x) 的定义域为 ? - 肄 , ?. 2 ? è
? ÷

8 . 1 ,2摇 揖 解析铱 由表中对应值, 知: f ( g ( 1 ) ) = f ( 3 ) = 1 .

1 1 2 . B摇 揖 解析铱 设 = t( t屹0),则 x = ,亦 f( t) = x t 1 1 . 亦 f( x) = . t -1 x -1

1 t

=

当 x = 1 时,f ( g( 1 ) ) = 1 ,g ( f ( 1 ) ) = g ( 1 ) = 3 , 不满足 条件;当 x = 2 时, f ( g ( 2 ) ) = f ( 2 ) = 3 , g ( f ( 2 ) ) = g( f ( 3 ) ) = g( 1 ) = 3 , 不满足条件, 亦 满足 f ( g ( x ) ) > g( 3 ) = 1 ,满足条件;当 x = 3 时, f ( g ( 3 ) ) = f ( 1 ) = 1 , g( f ( x) ) 的 x 的值是 2 .

3 . A摇 揖 解 析 铱 疫 f ( x ) 是 一 次 函 数, 亦 设 f ( x ) = ax + 2 x + 17 ,整理得:3 ax + 3 ( a + b) = 2 x + 17 , 亦 b( a屹0 ) ,由 3 f ( x + 1 ) = 2 x + 17 ,得 3 [ a( x + 1 ) + b] =

1 1 9 . 解:( 1 ) f ( 2 ) = = ,g ( a ) = a 2 + 2 . 1 +2 3 (2) g ( f ( 2 ) ) = g ?
?

f ( x2 + 2 ) =

10 . 解:( 1 ) 依题意,当 x沂R 时,( a2 - 1 ) x2 + ( a - 1 ) x + 2 逸0 恒成立. a +1 a2 - 1 = 0 , a + 1屹0

1 1 = . 2 1 + ( x + 2 ) 3 + x2

1 ? ?1 ? 19 = + 2 = ,f ( g ( x) ) = 3 3 9 è ? è ?
2
÷ ? ÷

{

3a = 2,

4 . - 2摇 揖 解析铱 由 f ( - 1 ) = f ( 2 ) = 0 可解得 p = - 1 ,q = 5. 7 t -1 t -1 摇 揖 解析铱 设 2x + 1 = t,则 x = ,亦 f ( t ) = 3· + 3 2 2 3 1 3 1 7 t + ,疫 f ( a ) = 4 ,亦 a + = 4 ,亦 a = . 2 2 2 2 3 - 2 ,亦 f ( x) = x2 - x - 2 ,于是 f ( 1 ) = 1 2 - 1 - 2 = - 2 .

选 A.

3 ( a + b) = 17 ,



{

2 , 3 亦 f ( x ) = 2 x + 5, 故 3 b = 5, a=

淤当 a2 - 1 = 0 时,即当
2 2

{

时,解得 a = 1 ,

2 此时( a - 1 ) x + ( a - 1 ) x + = 1逸0 , 亦 a = 1 满 a +1 足题意. 于当 a2 - 1屹0 时, 即当

6 . 解:( 1 ) 从表格中可以看出函数的定义域为 ( 0 ,5 ) 胰 [ 5 ,10 ) 胰[ 10 ,15 ) 胰[ 15 ,20 ] = ( 0 ,20 ] . 函数的值域为{ - 4 ,6 ,8 ,10 } . 的解集合为{ x | 5臆x臆6 } .

2=

( 2 ) 由于当 5臆 x < 10 时, f ( x ) = 6 , 因此满足 f ( x ) 逸 x P43

{

a2 - 1 > 0 ,



{

a2 > 1 ,

时, 2 驻 = ( a - 1 ) 2 - 4 ( a2 - 1 ) · 臆0 a +1 解得 1 < a臆9 .

1 . A摇 揖 解析铱 当 x = - 1 时,y = 0 , 即图象过点 ( - 1 ,0 ) , 1 时,y = 2 ,即图象过点( 1 ,2 ) ,B 错. 故选 A. - 2 ( 舍去) ; D 错;当 x = 0 时,y = 1 ,即图象过点( 0 ,1 ) ,C 错;当x =

综上所述,f ( x) 的定义域为 R 时,a沂[ 1 ,9 ] .

a2 - 10 a + 9臆0 ,

2 . B摇 揖 解析铱 当 a > 0 时,f ( a) = a2 = 4 ,解得 a = 2 或 a = 当 a臆0 时,f ( a) = - a = 4 ,解得 a = - 4 . 3 . D摇 揖 解析铱 当 a > b 时,a - b > 0 , f ( a - b ) = 1 , 原式 = 4 . C摇 揖 解析铱 显然 x逸1 时,f ( x) = a;当 a < b 时,a - b < 0 ,f ( a - b) = - 1 ,原式 = b. 1 - 1 < 0 ,排除 A、D. x 因此 a = 2 或 a = - 4 .

( 2 ) 淤当 k = 0 时,分母 kx2 + 2 kx + 1 = 1屹0 , y = - 8 , 即 x 为任意实数时,y 都有意义,即定义域为 R. 须有 驻 = ( 2 k) 2 - 4 k < 0 ,即 0 < k < 1 . x 的定义域为 R. 于当 k屹0 时,要使分母 kx2 + 2 kx + 1 恒不等于零, 必 2 kx - 8 综上所述,当 0臆 k < 1 时, 函数 y = 2 关于 kx + 2 kx + 1

又当 x = - 3 时, f ( x ) = ( - 3 + 1 ) 2 = 4 > 1 , 排除 B 或

摇169

5 . B摇 揖 解 析 铱 观 察 选 项, 知: x0 沂 A = 0 ,
0
÷

6 . 4摇 揖 解析铱 M = A疑B = { 3 ,4 } , N = 迠A B = { 1 ,2 } , 从 M 2 ;于3 寅2 ,4 寅1 ;盂3 寅1 ,4 寅1 ;榆3 寅2 ,4 寅2 .
? ÷

?, f ( x ) = [ 1 2 ? 1 1 1 x + 沂 [ ,1 ?哿 B, f ( f ( x ) ) = 2 [ 1 - ? x + ? ] = 2 ? 2 ? 2 è 1 1 1 1 - 2 x 沂A = [ 0 , ?,有 < x 臆 . 2 ? 4 2
÷

用 f ( a) > 1 进行反解求 x.

0

4 a逸0 时,方程盂有实数解, 中才有原象.

并化简 得: x2 - bx + a = 0 摇 盂, 当 且 仅 当 驻 = b2 因此只有当 B 中元素 ( a, b ) 满足 b2 - 4 a 逸0 时, 在 A ( 3 ) 由( 2 ) 的解题过程可知: 只有当 B 中元素 ( a, b )

0

?

0

÷

0

÷

0

1. 3 函数的基本性质
能力·题型设计

满足 b2 = 4 a 时,它在 A 中有且只有一个原象.

到 N 可构成 4 个不同的映射,它们分别是 淤3 寅1 ,4 寅

1. 3.1 单调性与最大(小)值 P52 P52 1 . D摇 揖 解析铱 根据函数单调性的定义知, 所取两个自变 量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数 的单调性来比较函数值的大小, 而本题中的 x1 , x2 不 在同一单调区间内, 故 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确 2 . C摇 揖 解析铱 在( 0 , + 肄 ) 上是增函数的为淤盂. 定 ,选 D .

3 3 7 . 7摇 揖 解析铱 疫 - 1臆 臆2 , 亦 f ? ? + 5 = - 3 + 5 = 2 , 2 è2 ? 3 又 f( 2 ) = - 3 , 亦 f ? f ? f ? ? + 5 ? ? = f ( - 3 ) = - 2 伊 è è è2 ? ??
? ? ? ÷ ÷÷

3 8. 摇 2

( - 3) + 1 = 7.

max{ | x + 1 | , | x - 2 | } ( x 沂 R ) 1 3 f ( x) 的最小值为f ? ? = . è2 ? 2
? ÷

揖 解 析铱 函 数 f ( x) =

的图 象 如 答 图 9 中 实 线, 则 9 . 解 :y = | x 2 + 3 x - 4 | = | ( x + 4 ) ( x - 1 ) | =

答图 9

3 . C摇 揖 解析铱 当 x < 1 时, 函数 y = x + 3 单调递增, 且有 y < 4 ,无最大值; 当 x 逸1 时, 函数 y = - x + 6 单调递 减,则在 x = 1 处取得最大值, 为 5 . 所以, 函数在整个 1 4 . ? - 肄 , - ?摇 揖 解析 铱 由函数 f ( x ) = ( 2 k + 1 ) x + b 2 ? è
? ÷

{

x + 3 x - 4 ,x逸1 或 x臆 - 4 ,
2

从而得函数图象的画法如下:

- ( x2 + 3 x - 4 ) , - 4 < x < 1 .

定义域内的最大值为 5 .

在( - 肄 , + 肄 ) 上是减函数,可知 2 k + 1 < 0 ,解得 k < 1 . 2

5 . a臆2摇 揖 解析铱 疫 二次函数 f ( x) = x2 - ( a - 1 ) x + 5 的 图象的对称轴为直线 x =
? ÷

淤作抛物线 y = x + 3 x - 4 的图象,如答图 10 ( 1 ) .
2

答图 10

于以 x 轴为对称轴作已作抛物线在 - 4 < x < 1 部分的 对称图形. 则 y = x2 + 3 x - 4 在 x 逸1 和 x 臆 - 4 部分的图形及其 在 - 4 < x < 1 部分的关于 x 轴的对称图形便是要求的 10 . 解:( 1 ) 设( x,y) 是 B 中元素( 3 , - 4 ) 在 A 中的原象, 于是 图象,如答图 10 ( 2 ) .

6 . 解:不妨设 x1 < x2 ,则 x1 - x2 < 0 .

? 1 ,1 ?上是增函数,亦 a - 1 臆 1 ,解得 a臆2 . 2 2 è2 ?

a -1 , 又 函 数 f ( x) 在 区 间 2

疫 函数 y = f ( x) 在( - 肄 , + 肄 ) 上是减函数, M 的符号为负.

亦 f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 , 亦 驻 x < 0 , 驻 y > 0 , 驻 x · 驻 y < 0 , 即 P53 1 . B摇 揖 解析 铱 由题意, 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 2 . B摇 揖 解析铱 在( - 肄 ,0 ) 上淤是减函数,盂y = - 1 是常 3 . B摇 揖 解析铱 | f ( x ) | < 1 等价于 - 1 < f ( x ) < 1 . 疫 A ( 0 , f ( 3 ) . 又 疫 函数 f ( x ) 是 R 上的增函数, 亦 0 < x < 3 , - 1 ) ,B ( 3 ,1 ) 是其图象上的两点, 亦 f ( 0 ) < f ( x ) < 函数,于榆虞是增函数. x = 1 - a,且 1 - a臆4 ,解得 a逸 - 3 .

{

亦 (3, - 4) 在 A 中的原象有两个:( - 1,3) 与( - 3,1) . 足:

x - y = - 4,

- xy = 3 ,

解得

{

x = - 1, y = 3,



{

x = - 3, y = 1.

( 2 ) 设任意( a,b) 沂B ,则它在 A 中的原象 ( x,y ) 应满

{

x - y = b. 摇 于

- xy = a,摇 淤

由于可得 y = x - b,将它代入 淤 式

摇170

答案与解析
亦 | f ( x) | < 1 的解集是( 0 ,3 ) . 故选 B. 则 f ( x2 ) - f ( x1 ) = f ( x2 ) + f ?
?

4 . C 摇 揖 解 析 铱 由 题 知 f ( x ) 在 R 上 是 增 函 数, 由 题 得 5 . D摇 揖 解析铱 f ( x) = - ( x - a) + a ,当 a臆1 时,f ( x ) 在
2 2

2 - a2 > a,解得 - 2 < a < 1 ,故选 C. [ 1 ,2 ] 上是减函数; g ( x ) = 选 D.

由于

[ 1 ,2 ] 上是减函数, 则 a 的取值范围是 0 < a 臆1 , 故 6 . 36摇 揖 解析铱 根据函数 f ( x) = x + 象 ,f ( x ) = 4 x + a2 ( x 屹0 ,a > 0 ) 的图 x

a , 当 a > 0 时, g ( x ) 在 x +1

亦 f ( x2 ) > f ( x1 ) ,亦 f ( x) 在( 0 , + 肄 ) 上是增函数. (3) 由 f x ? x -

x2 ?x ? > 1 ,故 f ? 2 ÷ > 0 , x1 è x1 ?

1 ? ? x2 ? = f ? ÷. x è 1 ? è x1 ?
÷

1 ? 1 <0 = f(1),得 f x ? x - ? < f(1), 2 ? 2 ? è 又疫 f ( x) 在( 0 , + 肄 ) 上是增函数,

[

?

÷

è

]

[

?

÷

]

亦 0 < x?x ?

è

7 . 1摇 揖 解析 铱 函数 f ( x ) = - x2 + 4 x + a = - ( x - 2 ) 2 +

小值,所以 a = 36 .

a 4a = 4 x + 在 4 x = 2 a = 12 时取得最 x 4x

解得

1. 3. 2 奇偶性

1 1 + 17 <x< . 2 4 P61 P61

1 ? < 1, 2 ?
÷

能力·题型设计 1 . A摇 揖 解析铱 F( - x) = f ( - x) - f ( x) = - F( x) . 2 . C摇 揖 解析铱 f ( - x) =

4 + a,x沂[ 0 ,1 ] ,且函数有最小值 - 2 ,故当 x = 0 时函 数有最小值, 当 x = 1 时函数有最大值. 因为当 x = 0 时,f ( 0 ) = a = - 2 ,所以 f ( 1 ) = - 1 + 4 伊 1 - 2 = 1 .
2
?

8 . (1 ) ? - 肄 ,

è

3 摇 (2)( - 肄 ,0) 胰 ( 1,3 ]摇 揖 解析铱 (1) 当 a

]

a > 0 且 a屹1 时, 由 3 - ax 逸0 , 得 x 臆 f ( x) 的定义域是 ? - 肄 ,
?

3 , 即此时函数 a

时,要使 f ( x) 在( 0 ,1 ] 上是减函数,则需 3 - a ·1逸0 , 此时 1 < a臆3 ; 当 a - 1 < 0 , 即 a < 1 时, 要使 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ] 上是减函数,则需 - a > 0 ,此时 a < 0 .

è

3 . (2 ) 当 a - 1 > 0,即 a > 1 a

]

1 1 x2 x2 + 1 1 + x2 亦 f ( x) 为偶函数. 又 f ? ? = = 2 = x -1 1 - x2 è x ? 1- 1 2 x
? ÷

1 + ( - x ) 2 1 + x2 = = f( x) , 1 - ( - x ) 2 1 - x2 1+

1 亦 f ? ? = - f( x) . èx ?
? ÷

3. D 摇

揖 解 析铱 由 x · f ( x) < 0 得 而 f ( - 3 ) = 0 ,f ( 3 ) = 0 , 或

{

x < 0,

9. 解:(1) 在公共定义域内任取两个自变量 x1 ,x2 ,设x1 < x2 , 疫 y = f ( x) 为增函数,亦 f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 . 即 - 2 f ( x1 ) > - 2 f ( x2 ) . 亦 [ - 2 f ( x2 ) ] - [ - 2 f ( x1 ) ] = 2 [ f ( x1 ) - f ( x2 ) ] < 0 , 亦 y = - 2 f ( x) 是减函数.

综上所述,所求实数 a 的取值范围是( - 肄 ,0) 胰(1,3] .

{

x > 0,

f( x) > 0 ,



f( x) < 0 .



{

x < 0,

4 . 4摇 揖 解析铱 由函数 f ( x ) 为偶函数得 f ( x ) = f ( - x ) 即 5 . - 1摇 揖 解析铱 疫 函数 y = f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且当 x > 0 时,f ( x) = 1,亦 当 x < 0 时,f ( x) = - 1. 亦 f ( - 2 ) = - 1. 6 . 解:( 1 ) 因为函数的定义域关于坐标原点不对称,即存 在 - 3沂[ - 3 ,3 ) ,而 3埸[ - 3 ,3 ) . 不是偶函数. 所以函数 f ( x) = x3 + 5 x,x沂[ - 3 ,3 ) 既不是奇函数又 ( 2 ) 函数 f ( x) = x2 + 1 的定义域为[ - 6, - 2] 胰[2,6], 当 x沂[ - 6 , - 2 ] 时, - x沂[ 2 ,6 ] . 因为 f ( - x) = ( - x ) 2 + 1 = x2 + 1 = f ( x ) , 同理当 x 沂 [ 2 ,6 ] 时, - x沂[ - 6 , - 2 ] ,且这时 f ( - x) = f ( x) . 所以函数 f ( x) = x2 + 1 , x 沂 [ - 6 , - 2 ] 胰 [ 2 ,6 ] 是偶 ( x + a) ( x - 4 ) = ( - x + a) ( - x - 4 ) 圯a = 4 .

0 < x < 3.

f( x) > f( - 3 )

{

x > 0,

f( x) < f( 3 ) .

解得 - 3 < x < 0 或

( 2 ) 在公共定义域内任取两个自变量 x1 ,x2 ,设x1 < x2 , 疫 y = f ( x) ,y = g( x) 均为增函数, 亦 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) < 0 ,g ( x 1 ) - g ( x 2 ) < 0 . f ( x2 ) ] + 2 [ g ( x1 ) - g ( x2 ) ] < 0 , 亦 y = f ( x) + 2 g( x) 是增函数. (2) 令 y = - f( x) .

亦 [ f ( x1 ) + 2 g ( x1 ) ] - [ f ( x2 ) + 2 g ( x2 ) ] = [ f ( x1 ) 亦 f ( x1 ) + 2 g ( x1 ) < f ( x2 ) + 2 g ( x2 ) , 10 . 解:( 1 ) 令 x = y = 1 ,得 f ( 1 ) = 2 f ( 1 ) ,故 f ( 1 ) = 0 .
? ÷ ?

1 1 1 , f ( 1 ) = f ( x) + f ? ? = 0, 故 f ? ? = x èx ? èx ?
÷

任取 x1 、x2 沂( 0 , + 肄 ) ,且 x1 < x2 ,

摇171

函数.

( 3 ) 函数 f ( x) = | x + 2 | - | x - 2 | 的定义域为实数集 R,因为 f ( - x ) = | - x + 2 | - | - x - 2 | = | x - 2 | f ( x) = | x + 2 | - | x - 2 | 是奇函数. | x + 2 | = - ( | x + 2 | - | x - 2 | ) = - f ( x ) , 所以函数 P62

亦 f ( 2 x - 1 ) + f ( x + 1 ) > 0圳f ( 2 x - 1 ) > - f ( x + 1 ) 圳 - 4臆2 x - 1臆4 , ì ? ? f ( 2 x - 1 ) > f ( - x - 1 ) 圳 í - 4臆 - x - 1臆4 , 圳0 < ? ?2 x - 1 > - x - 1 x臆 5 , 2 5 . 2

1 . B摇 揖 解 析 铱 由 图 象 可 知, 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数, 故 2 . D摇 揖 解析铱 运用排除法, 奇函数有 y = 又是增函数的只有选项 D 正确. - 3 . 故选 A. f( a) + f( - a) = 0 . 1 和 y = x|x|, x
2

亦 不等式的解集为 ? 0 ,
?

è

]

知识与能力同步测控题 亦 迠U A = { - 1 ,0 ,3 ,4 } . 亦 B疑( 迠U A) = { 0 ,3 } .

P74

1. B摇 揖 解析铱 疫 U = { - 1,0,1,2,3,4,5 },B = { 0,1,2,3 }, 1 ì ?x 逸 - 2 , ? 1 2 . B摇 揖 解析 铱 由 得í 即 - 臆x臆 2 3 - 4 x逸0 3 ? ?x 臆 , ? 4 2 x + 1逸0 ,

3 . A摇 揖 解析 铱 f (1) = - f ( - 1) = - [2 ( - 1) - ( - 1)] = 4 . A摇 揖 解析铱 因为 g ( x ) 是 R 上的奇函数, 所以 | g ( x ) | 5 . C摇 揖 解析铱 由 af ( x) + bg( x) + 2臆8 ,x沂( 0 , + 肄 ) ,得 2逸 - 4 . 亦 af ( - x) + bg ( - x ) 逸 - 6 , 亦 af ( - x ) + bg ( - x ) + 是 R 上的偶函数,从而 f ( x) + | g( x) | 是偶函数. af ( x ) + bg ( x ) 臆 6 . 疫 f ( x ) , g ( x ) 都 为 奇 函 数,

{

3 . B摇 揖 解析 铱 集合 S 满足 S 哿 A 且 S 疑 B 屹芰, 即集合 S 因此集合 S 的个数为 2 6 - 2 3 = 64 - 8 = 56 . 坐标原点对称.

1 3 3 ,所以函数的定义域为 - , . 2 4 4

[

]

是集合 A 的子集, 且至少含有 4 ,5 ,6 中的一个元素,

6 . 3摇 揖 解析 铱 y = f ( x ) 是奇函数, 则 f ( - 1 ) = - f ( 1 ) , g( 1 ) + g ( - 1 ) = f ( 1 ) + f ( - 1 ) + 4 = 4 , 所 以 g( - 1 ) = 4 - g( 1 ) = 3 . 5 摇 揖 解析 铱 令 x = - 1 , 则 f ( 1 ) = f ( - 1 ) + f ( 2 ) , 得 2

4 . C摇 揖 解析铱 易知 f ( x) 是 R 上的奇函数,因此图象关于 5. A 摇 揖 解 析 铱 f ( 2 ) = 22 + 2 - 2 = 4, f?
?

7.

8 . ( - 1 ,0 ) 胰( 1 , + 肄 ) 摇 揖 解析 铱 因为函数 f ( x ) 为偶函 数,且 f ( 1 ) = 0 ,所以 f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0 . f ( x) 在( - 肄 ,0 ) 上为减函数. f ( x) > f ( 1 ) ,所以 x > 1 ; 又因为函数 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上为增函数, 所以函数 当 x沂 ( 0 , + 肄 ) 时, 由 x · f ( x ) > 0 得 f ( x ) > 0 , 即 当 x沂 ( - 肄 , 0 ) 时, 由 x · f ( x ) > 0 得 f ( x ) < 0 , 即 f ( x) < f ( - 1 ) ,所以 - 1 < x < 0 . (1, + 肄 ) . 综上可得, 不等式 x · f ( x ) > 0 的解集为 ( - 1 ,0 ) 胰 9 . 解:疫 f ( x) 是定义在( - 1 ,1 ) 上的奇函数,亦 f ( 0 ) = 0 , b 即 = 0. 亦 b = 0. 1 - 02
? ÷

5 f ( 2 ) = 1 ,亦 f ( 5 ) = f ( 3 ) + f ( 2 ) = f ( 1 ) + 2 f ( 2 ) = . 2

6 . A摇 揖 解析 铱 函数 y = f ( x ) 为偶函数, 所以 f ( - 1 ) = 仔 单调递 减, 所 以 f ( 1 ) > f ? ? > f ( 仔 ) , 则 f ( - 1 ) > è3 ?
? ÷

1 ? ?1 ? 1 2 15 =f =1 - ? ? = . è f( 2 ) ? è 4 ? è 4 ? 16
÷ ? ÷ ? ÷

1 1 = ,故 f( 2 ) 4

f ( 1 ) ,f ( - 仔) = f ( 仔) ,又函数 y = f ( x) 在区间 [ 0 ,4 ] 上 仔? > f ( - 仔) . è3 ?
? ÷

f?

7 . D摇 揖 解析铱 已知 f ( x + y) = f ( x ) + f ( y ) ( x, y 沂 R ) , 则 令 x = y = 0 , 得 A 恒 成 立; 令 x = y = 1 , 得 f ( 2 ) = f( 1 ) + f ( 1 ) = 2 f ( 1 ) , 再 令 x = 1 , y = 2 , 得 f ( 3 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) = 3 f ( 1 ) , 故 B 恒成立; 令 x = y = f ( 0 ) = 0 ,故 D 不成立.

恒成立;令 y = - x,得 f ( x + ( - x )) = f ( x ) + f ( - x ) = 8 . C摇 揖 解析铱 当 x > 0 时,F ( x ) 臆5 . 即 af ( x ) + bg ( x ) + 亦 af ( - x) + bg( - x ) 臆3 . 即 af ( x ) + bg ( x ) 逸 - 3 . 亦 F( x) = af ( x) + bg( x) + 2逸 - 1 . x) = x( 1 - x) . 故选 B .

1 ,得 C 2

10 . 解:由题意,函数 f ( x) 在区间 [ - 4 ,4 ] 上是增函数且 为奇函数,

1 a 1 ? 2 4 2x ? 又f = = ,亦 a = 2 . 亦 f ( x ) = . 3 1 - x2 è2 ? 1- 1 4

2臆5 ,亦 af ( x ) + bg ( x ) 臆 3 . 设 x < 0 , 则 - x > 0 ,

9 . B摇 揖 解析铱 当 x < 0 时,f ( x) = - f ( - x) = - ( - x)(1 -

摇172

答案与解析
10 . A摇 揖 解析 铱 由已知 f ( x2 ) - f ( x1 ) < 0, 得 f ( x) 在 x 沂 x2 - x1 疫 f ( 2 a2 + a + 1 ) < f ( 3 a2 - 2 a + 1 ) , 且 f ( x) 满足 f ( - x) = f ( x) , 亦 f ( - ( 2 a2 + a + 1 ) ) < f ( - ( 3 a2 - 2 a + 1 ) ) . 又 f ( x) 在区间( - 肄 ,0 ) 上是增函数, 即 a2 - 3 a < 0 ,解得 0 < a < 3 . 即 a 的取值范围是( 0 ,3 ) . 即
2

11 . 2摇 揖 解析铱 考查并集的概念,显然 m = 2 . f ( 2 ) = 4 + 2 a = 4 a,所以 a = 2 .

[ 0 , + 肄 ) 上 单 调 递 减, 由 偶 函 数 性 质 得 f ( 3 ) < f ( - 2 ) < f ( 1 ) ,故选 A. 此类题用数形结合更好.

12 . 2 摇 揖 解 析 铱 因 为 f ( 0 ) = 3 伊 0 + 2 = 2 , f ( f ( 0 ) ) = 13 . - 10摇 揖 解析铱 设 g ( x ) = ax3 + bx, 显然 g ( x ) 为奇函 数,则 f ( x) = ax3 + bx - 4 = g ( x ) - 4 , 于是 f ( - 2 ) = f ( 2 ) = g( 2 ) - 4 = - 6 - 4 = - 10 . g( - 2 ) - 4 = - g( 2 ) - 4 = 2 , 所以 g ( 2 ) = - 6 , 所以 14 . ( - 2 ,2 ) 摇 揖 解析 铱 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函 数,且 f ( 2 ) = 0 ,所以 f ( - 2 ) = 0 ,又 f ( x) 在( - 肄 ,0 ] 上是减函数, 故 f ( x ) 在 [ 0 , + 肄 ) 上是增函数, 故满 足 f ( x) < 0 的 x 的取值范围应为( - 2 ,2 ) .

亦 - ( 2 a2 + a + 1 ) < - ( 3 a2 - 2 a + 1 ) , 19 . 解:( 1 ) 由题意可知:f ( x) + f ( - x) = 0 恒成立, 即 2 ( a + b) x2 + 2 a = 0 对任意的实数 x 恒成立. 亦 a = b = 0. ( 2 ) 由( 1 ) 得 f( x) = x ( x沂R) 是奇函数, x2 + 1 x-a x+a - 2 = 0 恒成立, x + bx + 1 x - bx + 1

15 . 7摇 揖 解析 铱 疫 S4 = { 1 ,2 ,3 ,4 } , 亦 X = 芰,{ 1 } ,{ 2 } , 4 } ,{ 1 ,2 ,3 } ,{ 1 ,2 ,4 } ,{ 1 ,3 ,4 } ,{ 2 ,3 ,4 } ,{ 1 ,2 ,3 , 4 } . 其中是奇子集的为 X = { 1 } ,{ 3 } ,{ 1 ,3 } , 其容量 分别为 1 , 3 , 3 , 所 以 S4 的 所 有 奇 子 集 的 容 量 之 和 为 7. - xy = 3, { 3 } ,{ 4 } ,{ 1 ,2 } ,{ 1 ,3 } ,{ 1 ,4 } ,{ 2 ,3 } ,{ 2 ,4 } ,{ 3 ,

亦 只需研究[ 0 , + 肄 ) 上 f ( x) 的单调区间即可. 任取 x1 ,x2 沂[ 0 , + 肄 ) ,且 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =
2 疫 x2 1 + 1 > 0 ,x 2 + 1 > 0 ,x 2 - x 1 > 0 , 2 1

x1 x2 ( x2 - x1 ) ( x1 x2 - 1 ) - 2 = . 2 x + 1 x2 + 1 ( x2 1 + 1 ) ( x2 + 1 )

而 x1 ,x2 沂[ 0 ,1 ] 时,x1 x2 - 1 < 0 ,

16. 解:( 1 ) 设 ( x,y ) 是 ( 3, - 4 ) 的原象,于是 解得

{

{

x = - 1, y =3



{

x = - 3, y = 1.

x - y = - 4,

亦 当 x1 ,x2 沂[ 0 ,1 ] 时,f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 , 亦 函数 y = f ( x) 在[ 0 ,1 ] 上单调递增; 当 x 1 ,x 2 沂 [ 1 , + 肄 ) 时 ,f ( x 1 ) - f ( x 2 ) > 0 , 亦 函数 y = f ( x) 在[ 1 , + 肄 ) 上单调递减. 又 f ( x) 是奇函数, 调递减. 亦 f ( x ) 在 [ - 1 ,0 ] 上单调递增, 在 ( - 肄 , - 1 ] 上单 故 f( x ) 的 单 调 增 区 间 为 [ - 1 , 1 ] , 单 调 减 区 间 为 20 . 解:( 1 ) 疫 y = f ( x) 是[ - 5 ,5 ] 上的单调函数, 亦 - a臆 - 5 或 - a逸5 ,即 a逸5 或 a臆 - 5 . 函数, 亦 a= (2 ) 当 - a < - 5 , 即 a > 5 , f ( x ) 在 [ - 5 ,5 ] 上 是 增 亦 x = - 5 时,f ( x) min = f ( - 5 ) = 25 - 10 a + 2 = - 1 , 当 - 5臆 - a臆5 ,即 - 5臆a臆5 , 亦 a 2 = 3 ,即 a = 依 3 . 14 . 5 14 14 . 疫 a > 5 ,亦 a = 不合要求,舍去. 5 5 ( - 肄 , - 1 ] 和[ 1 , + 肄 ) .

亦 ( 3 , - 4 ) 在 A 中的原象是( - 1 ,3 ) 或( - 3 ,1 ) . 足

( 2 ) 设任 意 ( a, b ) 沂 B, 在 A 中 有 原 象 ( x, y ) 应 满

{

由于可得 y = x - b. 代入淤得 x - bx + a = 0 .
2

x - y = b. 于

- xy = a,淤

当且仅当 驻 = b - 4 a逸0 时,才有原象.
2

17 . 解:( 1 ) A疑B = { x | 2 < x < 5 } .

4 a 时,它在 A 中有且只有一个原象.

( 3 ) 由( 2 ) 的解题过程知,只有当 B 中元素满足 b =
2

( 2 ) B = { x | a < x < a2 + 1 } . 淤 若 a =

1 1 存在 a 使 B哿A,于若 a > 时,2臆 a 臆3 ,盂 若 a < 3 3 1 时, - 1臆a臆 - . 2 1 故 a 的取值范围为 - 1 , 胰[ 2 ,3 ] . 2

1 时, A = 芰, 不 3

x = - a 时,f ( x) min = 2 - a2 = - 1 , 当 - a > 5 ,即 a < - 5 ,f ( x) 在[ - 5 ,5 ] 上是减函数, 亦 x = 5 时,f ( x) min = f ( 5 ) = 25 + 10 a + 2 = - 1 , 亦 a= 14 ( 舍去) ,亦 a = 依 3 . 5

[

]

18 . 解:疫 2 a2 + a + 1 = 2 ? a +
?

1 2 2 3a - 2a + 1 = 3 ? a - ? + > 0, 3 ? 3 è
2
? ÷

è

1 ? 7 + > 0, 4 ? 8
2
÷

亦 2 a2 + a + 1 和 3 a2 - 2 a + 1沂( 0 , + 肄 ) .

疫 a < - 5 ,亦 a = -

摇173

21 . 解:( 1 ) 令 m = n = 1 ,由条件得 f ( 1 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) 圯 f( 1 ) = 0 . ( 2 ) f ( m) = f ?
?

m m ·n ? = f ? ? + f( n) , n è ? èn?
÷ ? ÷

? 64 ? è 1 000 ?
? ÷

1 3

伊( - 5 2 ) 伊

2 5

-1 =
1 3 1 3

即 f?
?

m? = f ( m) - f ( n ) . èn?
÷

(2 ) 原 式 =
1 3 1 3 1 3 2 3

x2 ( 3 ) 任取 x1 ,x2 沂( 0 , + 肄 ) ,且 x1 < x2 ,则 > 1 . x1 由 ( 2 ) 得 f ( x2 ) - f ( x1 ) = f ? 即 f ( x2 ) > f ( x1 ) .

a ( a - 2b )( a + 2a b + 4b ) a ·a ·a = a. 1 . B摇 揖 解析铱 [ 相加.
3
1 3 1 3

4b + 2a b + a
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3

2 3

a ( a - 8 b)
1 3

-1 5 3 1 ?2 ? + + - 1 = 3. 2 2 2 è5 ?
? ÷

2 3 2 3



a - 2b a
1 3 1 3

1 3

1 3

·a

1 3

= =

4b + 2a b + a
1 3

·

a - 2b

a

1 3 1 3

·a

1 3

? x2 ? ÷ > 0, è x1 ?

P81 2 . D摇 揖 解析铱 A、B 中根指数与指数弄反了, C 中应指数 3 . D摇 揖 解 析 铱 对 于 A, 易 知 a 臆0 , a · ( - a)
1 2 2 4

亦 f ( x) 在( 0 , + 肄 ) 上是增函数.

( - 5) 2 ]

3 4

= [ ( - 5) ]

2 3

3 4

= 5 = 5.

1 2

2 ) - f (2x) > 2圳f ( x + 2 ) > f ( 2x ) + f ( 4 ) 圯 f ( x + 2 ) > 亦

( 4 ) 由于 f ( 2 ) = 1 , 亦 2 = f ( 2 ) + f ( 2 ) = f ( 4 ) , f ( x +

f( 8 x) . 又 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上 为 增 函 数,

3

{

x + 2 > 8 x, x > 0,

解得 0 < x < 2 . 7

故 不 等 式 f ( x + 2 ) - f ( 2x ) > 2 的 解 集 为 x 0 <x<

2 . 7

于 B,x 中的 x 可以小于 0 , 但 x 中的 x 不能小于 0 , B 错;对于 C,有(
3

= - ( - a) ·( - a ) b )
2 3 3 2 2 9

1 3

1 2

= - ( - a ) , A 错; 对 = b ,C 错. 故选 D.
1 3

-a = a ·
5 6

1 3

{

}

= (b )

3 2

2.1 指数函数
能力·题型设计

第 2 章 基本初等函数(玉)

4 . D摇 揖 解析铱 根据题意知 故选 D.
2 3

{

x - 5屹0 , x - 2 > 0,

解得 x > 2 且 x 屹5 ,
1 3

5 . B摇 揖 解析铱 a3 + b3 = ( a + b ) [ ( a + b ) 2 - 3 ab ] = m · P81 P81 1 2n - 7 1 2n - 7 22n + 2 ·2 - 2n - 1 21 6. ? ? 摇 揖 解析铱 原式 = = 2n - 6 = ? ? . 2n -6 2 ·2 2 è2 ? è2 ?
? ÷ ? ÷

2.1.1 指数与指数幂的运算

?m - 1 m ? = m . 2 è ? 2
?

2 3

÷

12 3 n 1 . D摇 揖 解析铱 ? ? = n7 m - 7 ; ( - 3 ) 4 = 3 ; m è ?
? ÷

7

4

x +y =
3 3

7.

2 . D摇 揖 解析铱 疫 5 - 2 6 = ( 3 - 2 ) 2 ,从而 5 - 2 6 的平 3 . C摇 揖 解 析 铱 原 式 = ( ( a ) 4 = a2 · a2 = a4 .
n -3
1 2

( x3 + y3 ) .

1 4

1 -1 5 1 1 摇 揖 解析 铱 原式 = + ? ? - 2 -2 = +2 4 -2 è 2 ? 2
? ÷

1 5 = . 4 4

方根是 3 - 2 和 2 - 3 ,选 D 项.
3
3 2

8. a 摇 揖 解 析 铱 原 式 =
2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3

a )4 · (
1 7

6

a3 ) 4 = ( a ) 4 ·

1 2

a ( a - 2b ) ( a + 2a b + 4b ) a ·a = a.
2 3 1 3

a + 2a b + 4b
1 3 1 3 2 3 2 3

2 3

a ( a - 8 b)
1 3 1 3

2 3

2 3

·

a - 2b
1 3

1 3

a
1 3

1 3 1 3

= =

4. 3 伊 2

b 摇 揖 解 析铱 a ? ? a è ?

[

?

÷

]

n -3

5. -

3 [ ( 128 ) ]

1 7

n -3

b - 2 + 1 - ( - 5) = -

3 4 b 摇 揖 解析铱 原式 = [ 2 伊 ( - 3 ) 衣 4 ] a - 3 - 1 - ( - 4) · 2 3 0 4 3 a b = - b4 . 2 2
1 2
? ÷

=3 伊2

n -3

.

384 ? =3 ? è 3 ?

[

1 7

a + 2a b + 4b

·

a - 2b

a

1 3

?

÷

]

n -3

=

9 . 解:疫 x + y = 12 ,xy = 9 ,

亦 ( x - y) 2 = ( x + y) 2 - 4 xy = 12 2 - 4 伊 9 = 108 . 疫 x < y ,亦 x - y < 0 ,即 x - y = - 6 3 . 亦 x -y x +y
1 2 1 2 1 2 1 2

=

25 6 . 解: ( 1 ) 原 式 = ? ? è4 ?

27 - ? ? è8 ?
? ÷

1 3

625 ? + ? è 10 000 ?
? ÷

1 4

+

x + y - 2 ( xy) = x-y

(x + y )(x - y )
1 2 1 2

1 2

( x - y )2
1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

12 - 2 伊 9 3 = = - . 3 -6 3

摇174

答案与解析
10 . 解:( 1 ) 5 a b - 2 · ( - 3a - b - 1 ) 衣 ( 4a b - 3 ) 6
1 3 1 2 2 3 1 6 2 3 1 2 1 2

3 . D 摇 揖 解 析 铱 y1 = 4 0. 9 = 2 1. 8 , y2 = 8 0. 48 = 2 1. 44 , y3 =
? ÷

5 = - a - b - 3 衣 ( 4a b - 3 ) 2 = 5 - -3 a b 衣a b4
1 6 1 3 1 2 3 2 3 2

4 . B摇 揖 解析铱 逐一判断即可.
? ÷

单调递增,亦 y1 > y3 > y2 .

- 1. 5 ?1 ? = 2 1. 5 . 疫 1 . 8 > 1 . 5 > 1 . 44 , 且 y = 2 x 在 R 上 è2 ?

5 - = - a b 4 (2) = a
3

a -6 ·
6 3

3

5 ab = . 4 ab2 a10
3

1 x 5 . A摇 揖 解析铱 y = ? ? + 1 的图象过点( 0 ,2 ) ,且单调递 è2 ? 减,故它关于直线 y = x 对称的图象过点 ( 2 ,0 ) 且单调 递减,选 A. 恒过定点( 2 , - 1 ) . a -5
4 3

a · =

5 2

-

a

10 3

3

a a

5 2

5 2

a · a = (a ) = a .
0

3

4 3

1 2

2 3

6 . ( 2 , - 1 ) 摇 揖 解析 铱 令 x = 2 得 y = - 1 , 亦 f ( x ) 的图象 7. ( 0, 1 ] 摇 揖 解 析 铱 由 题 意 知 f ( x ) =
x ? 1 ? ,x逸0 , f( x) = è 3 ?

2.1. 2 指数函数及其性质 能力·题型设计 P89 P89 1 . A摇 揖 解析铱 由指数函数的定义可判定,只有盂正确. 2 . B摇 揖 解析铱 函数 f ( x) 与 f ( - x) 的图象关于 y 轴对称.

{

3 - x ,x逸0 , 3 x ,x < 0 ,



{

?

÷

3 . C摇 揖 解析 铱 由 0 < m < n < 1 可知 淤、 于 应为两条递减 的曲线,故只可能是选项 C 或 D,进而再判断 淤、于 与 令 x = 1 ,则淤、于对应的函数值分别为 m 和 n,由 m < 4 . 9摇 揖 解析 铱 疫 函数恒过定点 ( 1 ,10 ) , 亦 1 + m = 10 , 即 1 -4 5 . 4摇 揖 解 析 铱 f ( - 4 ) = ? ? = 16 , f ( f ( - 4 ) ) = è2 ?
? ÷

8 . 淤 盂 榆 摇 揖 解 析 铱 因 为 f ( x ) = 10 x , 且 x1 屹 x2 , 所 以 f ( x1 + x2 ) = 10 x
1

结合图象知,f ( x) 的值域为( 0 ,1 ] .
+ x2
1 2

3 x ,x < 0 .

n 和 m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点, n 知选 C . m = 9.

正确; 因为 f ( x1 · x2 ) = 10

= 10 x ·10 x = f ( x1 ) ·f ( x2 ) ,所以 淤
x 1·x 2

f ( x2 ) ,所以于不正确;因为 f ( x ) = 10 是增函数,所以
x

屹10 x + 10 x = f ( x1 ) +
1 2

f ( x1 ) - f ( x2 ) 与 x1 - x2 同号, 所以 所以盂正确.

f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0, x1 - x2

9 . 解:( 1 ) 由 2 x - 1屹0 ,得 2 x 屹1 ,即 x 屹0 ,所以函数的定 义域为( - 肄 ,0 ) 胰( 0 , + 肄 ) . ( 2 ) 由( 1 ) 知, 函数 f ( x ) 的定义域为 ( - 肄 ,0 ) 胰 ( 0 , 2x 1 2x - 1 + 1 1 1 1 = + = -1 - x + = x + 2 2 2 1 -2 1 - 2x 2 -1
? -?

因为函数 f ( x) = 10 x 的图象为向下凸的,易知榆正确.

1 x 1 x 6 . 解:( 1 ) 疫 1 - ? ? 逸0 ,即 ? ? 臆1 , è2 ? è2 ?
? ÷ ? ÷

f ( 16 ) =

16 = 4 .

+ 肄 ) ,关于坐标原点对称,且 f ( - x) =

1 1 + = 2 -x - 1 2

亦 x逸0 ,亦 原函数的定义域为[ 0 , + 肄 ) . 1 x 令 t = 1 - ? ? ( x逸0 ) ,则 0臆t < 1 , è2 ?
? ÷

亦 0臆 t < 1 . 亦 原函数的值域为[ 0 ,1 ) . ( 2 ) 原函数的定义域为 R. 由y= 亦 ax - 1 y +1 ( a > 0, 且 a 屹1 ) 得 a x = . 疫 a x > 0, y -1 ax + 1

1 1 ÷ = - f ( x ) ,所以 f ( x ) 为奇函数 . + ? è2 - 1 2 ? 10 . 解:( 1 ) 依题意,对一切 x沂R,都有 f ( - x) = f ( x)
x



y +1 > 0,亦 - 1 < y < 1. 亦 原函数的值域是( - 1,1) . y -1

1 1 ?? ? ÷ = 0 对一切 x 沂 R 恒成立 . - ex ? a ? è ex è ? 1 由此可得 a = 0,即 a2 = 1. 又因为 a > 0,所以 a = 1. a 所以 ? a ? ÷

ex a 1 + = + ae x . a e x ae x

P89 1 . C摇 揖 解析铱 向右移 3 个单位 圯 f ( x - 3 ) = 2 x - 3 . 再向上 2 . D摇 揖 解析铱 疫 | x | 逸0 ,亦 0 < y臆1 . 移 1 个单位即可.

( 2 ) 证明:任取 0 < x1 < x2 ,
1 2

f ( x1 ) - f ( x2 ) = e x - e x +
1 2 2 1

1 1 -e ? ? x x ? ÷ . x +x - 1 = (e - e )· ex + x èe ?
x2 + x1
2 1

1 1 - x = ( ex - ex ) · ex e
2 1 1 2

摇175

由 x1 > 0 ,x2 > 0 ,x1 < x2 ,得 x1 + x2 > 0 ,e x - e x > 0 ,1 2 1

e

x2 + x1

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 , 即 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上是增 函数.

< 0,

5 . D摇 揖 解析铱 因为 c = log4 5 > log4 4 = 1 ,0 < a = log5 4 < 1 , 0 < log5 3 < log5 4 < 1 ,所以 b = ( log5 3 ) 2 < log5 3 ·log5 4 < log5 4 = a. 所以 b < a < c,故选 D.

2. 2 对数函数
2. 2.1 对数与对数运算 能力·题型设计 x - 1 > 0, ì ? ? 2 1 . B摇 揖 解析铱 由 íx - 1 > 0 ,解得 x > 1 且 x屹2 . ? ?x - 1屹1 ,
2 2 2

6 . lg 5摇 揖 解析铱 令 10 x = 5 得 x = lg 5 ,亦 f ( 5 ) = lg 5 . 1 ,亦 log5 a = 4 ,亦 a = 5 4 ,同理可得 b = 5 3 .

7 . 5摇 揖 解析 铱 疫 log3 [ log4 ( log5 a ) ] = 0 , 亦 log4 ( log5 a ) = P98 P98 8 . 6 ,10 000摇 揖 解析铱 由题意知,A = 1 000 ,A0 = 0 . 001 ,所 以 M = lg 1 000 - lg 0 . 001 = 3 - ( - 3 ) = 6 , 所以此次 地震的 震 级 为 6 级; 当 地 震 为 9 级 时, lg A9 = M +
0 0

lg A0 = 9 + lg A0 , 所以 A9 = 10 9 + lg A ; 当地震为 5 级时,
2

2 . B摇 揖 解 析 铱 当 M = N < 0 时, A 项 错 误; 若 log a M = log a N ,则 M = N ,即 | M | = | N | ,故 C 项错误;若 M = N = 0 ,则 D 项错误.
1 a 1 b

lg A5 = M + lg A0 = 5 + lg A0 , 所 以 A5 = 10 5 + lg A ; 于 是 A9 10 9 + lg A = = 10 000 , 因此,9 级地震的最大振幅是 5 A5 10 5 + lg A
0 0

3 . A摇 揖 解析 铱 m = 2 , m = 5 , 亦 log m 2 =

1 1 + = log m 2 + log m 5 = log m 10 = 2 , 亦 m2 = 10 , 又 a b 10 .
?

1 1 , log m 5 = , a b

9 . 解:( 1 ) 由 log4

级地震最大振幅的 10 000 倍.

a+b+c = 1 得 - 3a + b + c = 0. a 2 得 a + b - c = 4. 3

淤 于 盂 榆 虞 愚

1 - lg 25 ? 衣 100 4 . - 20 摇 揖 解 析 铱 ? lg è 4 ? lg 2 + lg 5 = - 20 . 100 ÷

疫 m > 0 ,亦 m =

由 log8 ( a + b - c) = 又 a 2 + b 2 = c2 ,

1 2

= - 2 伊

取立淤于盂解得 a = 6 ,b = 8 ,c = 10 . 由 10 = 14 得 b = lg 14 .
b c

( 2 ) 由已知 10 a = 12 得 a = lg 12 = lg 3 + 2lg 2 . 由 10 = 18 得 c = lg 18 = lg 2 + 2lg 3 . 由榆愚解得 lg 3 = 2c - a . 3 2c - a - a + 3b + 2c = . 3 3 1 . 3

1 2

5 . log3 4 摇 揖 解析 铱
x

1 = 依 3 圯 3 = - 2 或 4, 又 疫 3 > 0, 所 以 3 = 4 圯
x x

9 9 + 1 = 3x 圯 x = 3 x - 1 圯3 x 3x - 1 3 -1

25 8 1 伊 ? = lg 10 = 1 . 6 . 解:( 1 ) 原式 = lg ? 伊 5 2 ? è2
? ÷

x = log3 4 .

亦 lg 42 = lg 14 + lg 3 = b +

7 2 伊 10 伊 10 ) = lg 10 = . 2
1 2

( 2 ) 原式 = lg [ 25
2

1 2

伊 2 伊 10
7 2

1 2

伊 ( 10 - 2 ) - 1 ] = lg ( 5 伊

10 . 解:( 1 ) 由 x = log2 3 ,得 2 x = 3 ,2 - x = 亦 2 -2 2x - 2 - x
3x - 3x
? ÷

1 . C摇 揖 解析 铱 2log5 10 + log5 0 . 25 = log5 100 + log5 0 . 25 = 2 . A 摇 揖 解 析 铱 疫 a = log3 2 , 亦 log3 8 - 2log3 6 = 3log3 2 3 . C摇 揖 解析铱 2 ( log3 2 + 1 ) = 3 a - 2 ( a + 1 ) = a - 2 . lg 12 lg 3 + lg 4 lg 3 + 2lg 2 2 a + b = = = . lg 5 lg 5 1 - lg 2 1 -a log5 25 = 2 .

P98

另解:

1 3 33 - ? ? 2 è 3 ? = 3 2 + 3 伊 1 + ? 1 ? = 91 . = 1 3 è3 ? 9 33
? ÷

2 - 2x = 3 2 + 1 +

2 3x - 2 - 3x ( 2 x - 2 - x ) ( 2 2x + 1 + 2 - 2x ) = = 2 2x + 1 + x -x 2 -2 2x - 2 - x ( 2 ) 根据对数的运算法则,原等式可化成: 亦 ( x2 + 4 ) ( y2 + 1 ) = 5 ( 2 xy - 1 ) , 整理得 x2 y2 + x2 + 4 y2 - 10 xy + 9 = 0 , 1 91 = . 32 9

4 . D摇 揖 解析 铱 疫 log a x = 2 , 亦 log x a = log x c =

1 7 1+ = . 故选 D. 4 4

1 1 , 亦 log x ( abc ) = log x a + log x b + log x c = + 4 2

1 , 同理 log x b = 1 , 2

log a [ ( x2 + 4 ) ·( y2 + 1 ) ] = log a 5 ( 2 xy - 1 ) .

配方得( xy - 3 ) 2 + ( x - 2 y) 2 = 0 .

摇176

答案与解析


{

xy = 3 ,

亦 log8

x = 2 y,

2. 2. 2 对数函数及其性质 能力·题型设计

y 1 1 = log8 = - . x 2 3 P108 P108



y 1 = , x 2

疫 f ( - x) = ln [ ( - x ) 2 + 1 ] = ln ( x2 + 1 ) = f ( x ) , 4 . D摇 揖 解 析 铱 因 为 0 < log5 3 < log5 4 < 1 < log4 5 , 所 以 5 . B摇 揖 解析铱 f ( x) 为偶函数,函数在 [ 0 , + 肄 ) 上为增函 数,所以有 | log2 x | > 1 ,解得 x > 2 或 0 < x < 4 1 . 2 ( log5 3 ) 2 < log5 4 < log4 5 ,即 b < a < c. 亦 f ( x) 是偶函数,其图象关于 y 轴对称,故选 A.

1 . C摇 揖 解析铱 y = lg x 与 lg x 的定义域均为( 0 , + 肄 ) . 2 . A摇 揖 解析铱 y = lg ( x + 1 ) 在( - 1 , + 肄 ) 上递增. 所以 a = 2 ,故 f ( x) = log2 x. x臆4 . 3 . A摇 揖 解析 铱 函数 y = a x ( a > 0 , 且 a 屹1 ) 的反函数是 f ( x) = log a x( a > 0 ,且 a屹1 ) ,又 f ( 2 ) = 1 ,即 log a 2 = 1 ,

6 . 1摇 揖 解析铱 由题知 x = log3 ?
?

7 . ( - 2 ,0 ) 摇 揖 解析铱 将 ( - 2 ,0 ) 代入 y = log a 2x + 1 得 = 1 ,知函数过( - 2 ,0 ) 点. x -1

è4

+ 2 ? = 1.
÷

?

2x + 1 验证 x -1

4 . ( 0 , 4 ] 摇 揖 解 析 铱 由 2 - log2 x 逸0 圯 log2 x 臆2 , 亦 0 < 5 . 1摇 揖 解析铱 疫 f ( x) = log2 x 在区间 [ a,2 a ] 上是增函数, 亦 f ( x ) max - f ( x ) min = f ( 2 a ) - f ( a ) = log2 2 a log2 a = 1 .

8 . - 2摇 揖 解析铱 疫 f ( 3 ) = f ( 2 ) - f ( 1 ) , 又 f ( 2 ) = f ( 1 ) f ( 0 ) ,亦 f ( 3 ) = - f ( 0 ) , 而 f ( 0 ) = log2 4 = 2 , 亦 f ( 3 ) = - 2. a · a2 - 1

9 . 解:( 1 ) 令 t = log a x( t 沂R) ,则 x = a t ,且 f ( t ) =

6 . 解:( 1 ) 疫 f ( x) = x2 - x + b,
2

亦 f ( log2 a) = ( log2 a) - log2 a + b, 由已知得( log2 a) 2 - log2 a + b = b, 亦 log2 a( log2 a - 1 ) = 0 . 疫 a屹1 ,亦 log2 a = 1 ,亦 a = 2 . 又 log2 f ( a) = 2 ,亦 f ( a) = 4 . 亦 a2 - a + b = 4 , 亦 b = 4 - a2 + a = 2 .

( 2 ) 因为 f ( - x ) =

1 ? a t ? ?a ÷ ( ax - a - x ) ( x 沂 R ) . t ,所 以 f ( x ) = 2 a a 1 è ?

R,所以 f ( x) 为奇函数. 当 a > 1 时,a x - a - x 为增函数, 并且注意到 a < 1 时,类似可证 f ( x) 为增函数. 所以 a 在 R 上为增 10 . 揖 解析 铱 ( 1 ) 疫 f ( x ) 是 奇 函 数, 亦 f ( - x ) + f ( x ) = log a 亦 内的任意 x 恒成立, 函数. a > 0 ,所以这时 f ( x) 为增函数. 当 0 < a2 - 1

a ( a - x - ax ) = - f ( x) ,且 x 沂 a2 - 1

故 f ( x ) = x2 - x + 2 . 7 . 4

1 2 从而 f ( log2 x ) = ( log2 x ) 2 - log2 x + 2 = ? log2 x - ? + 2 ? è
? ÷

1 + mx 1 - mx 1 - m2 x 2 + log a = log a = 0 对定义域 - x -1 x -1 1 - x2

亦 当 log2 x =

1 7 ,即 x = 2 时,f ( log2 x) 有最小值 . 2 4

( 2 ) 由题意易得

{

( log2 x) 2 - log2 x + 2 > 2 , log2 ( x - x + 2 ) < 2
2



{

x > 2 或 0 < x < 1, -1 < x <2

1 - mx 当 m = 1 时, = - 1 ,函数无意义,亦 m = - 1 . x -1 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知, f ( x ) = log a - 1 ) 胰( 1 , + 肄 ) .

1 - m2 x 2 = 1 ,亦 ( m2 - 1 ) x 2 = 0 ,m = 依 1 . 1 - x2

圯0 < x < 1 . P109

x +1 , 亦 定义域为 ( - 肄 , x -1

1 . A摇 揖 解析铱 当 4 x - 3 = 1 ,即 x = 1 时, f ( x ) = 0 , 所以函 2 . B摇 揖 解析铱 疫 x2 + 4逸4 ,亦 log2 ( x2 + 4 ) 逸log2 4 = 2 , 3 . A摇 揖 解 析 铱 f ( x ) = ln ( x + 1 ) , x 沂 R, 当 x = 0 时,
2

数图象过定点( 1 ,0 ) .
2

疫y=

是减函数.

x +1 2 =1 + 在( - 肄 , - 1 ) 和( 1 , + 肄 ) 上都 x -1 x -1

亦 y = log2 ( x + 4 ) 的值域为[ 2 , + 肄 ) .

亦 淤当 a > 1 时,

f ( x) 在( - 肄 , - 1 ) 与( 1 , + 肄 ) 上都是减函数; 于当 0 < a < 1 时, f ( x) 在( - 肄 , - 1 ) 与( 1 , + 肄 ) 上都是增函数.

f ( 0 ) = ln 1 = 0 , 即 f ( x ) 过 点 ( 0 , 0 ) , 排 除 B , D.

摇177

2.3 幂函数
能力·题型设计 P117 P117

数的定义域为 R,所以 琢屹 - 1 ,所以 琢 = 1 ,3 . 6 . 3摇 揖 解析铱 由

{

1 1 . B摇 揖 解析铱 函数 y = 3 即 y = x - 3 为幂函数, 函数 y = x
4

7 . pq = 1摇 揖 解析铱 y = x p 与 y = x q 互为反函数. 亦 pq = 1 . 8 . ( 3 ,5 ) 摇 揖 解析铱 疫 f ( x ) = x 1 2

2 m2 - 7 m - 9臆0

m2 - 9 m + 19 = 1 ,

圯m = 3 . 1 ( x > 0 ) , 易知 f ( x ) x

2 . A摇 揖 解析铱 只有 琢 = - 1 适合.
2 5

x5 为幂函数,其余两个不是幂函数.

=

在( 0 , + 肄 ) 上为减函数,又 f ( a + 1 ) < f ( 10 - 2 a) , a + 1 > 0, a > - 1, ì ì ? ? ? ? 亦 í10 - 2 a > 0 , 解得 ía < 5 , ? ? ?a + 1 > 10 - 2 a, ?a > 3 . 亦 3 < a < 5. 解得 m < 3 . 又 m沂N * ,亦 m = 1 ,2 . 又函数图象关于 y 轴对称, 亦 3 m - 9 为偶数,故 m = 1 , 亦 有( a + 1 ) 1 3 1 3

3 . A摇 揖 解析铱 y = x 在 x > 0 时是增函数,所以 a > c, y = 1 1 1 4 . 摇 揖 解析铱 设 f ( x) = x 琢 ,则 = 9 琢 ,亦 琢 = - . 5 3 2 5 . - 1摇 揖 解析铱 由幂函数的定义得 m - m - 1 = 1 , 解得
2 x ? 2 ? 在 x > 0 时是减函数,所以 c > b. è5 ?
? ÷

亦 f( x) = x

-

1 2

,亦 f ( 25 ) = 25

-

1 2

1 = . 5

9 . 解:疫 函数在( 0 , + 肄 ) 上递减,亦 3 m - 9 < 0 ,

m = 2 或 m = - 1 . 又 疫 该幂函数在 x 沂 ( 0 , + 肄 ) 时为 减函数,当 m = 2 时, 函数化为 y = x2 不符合题意, 而 m = - 1 时,y = x - 1 符合题意,故 m = - 1 . m + 3 > 0 ,即 2 m2 + m - 3 < 0 ,亦 淤 与于知 -

又 y = x - 在( - 肄 ,0 ) ,( 0 , + 肄 ) 上均递减, 3 - 2 a,解得 2 3 < a < 或 a < - 1. 3 2
2

< ( 3 - 2 a) - .
1 3

6 . 解:疫 f ( x ) 在区间 ( 0 , + 肄 ) 上是增函数, 亦 - 2 m 2

亦 a + 1 > 3 - 2a > 0 或 0 > a + 1 > 3 - 2a 或 a + 1 < 0 <

{ m | - 2 < m < 2 ,m 沂 Z } ,亦 于 - 2 < m < 2 , m 沂 Z . 由 淤 - 1 时,f ( x) = x2 ,不满足条件( 2 ) :f ( - x ) + f ( x ) = 0 ; 3 < m < 1 ,且 m 沂 Z , 亦 m = - 1 或 0 . 当 m = 2

3 < m < 1 . 又 m沂 2

10 . 解:( 1 ) 疫 f ( x) 是偶函数,亦 - 2 m2 + m + 3 应为偶数. 又 f ( 3 ) < f ( 5 ) ,即 3 - 2 m 整理,得 ?
?

+ m +3

0 . 故所求幂函数为 f ( x ) = x3 . 由于函数 f ( x ) = x3 在 [ 0 ,3 ] 上 单 调 递 增, 亦 x 沂 [ 0 , 3 ] 时, f ( x ) 的 值 域 为 [ 0 ,27 ] . P117

当 m = 0 时,f ( x) = x3 ,满足条件( 2 ) : f ( - x ) + f ( x) =

亦 - 2 m2 + m + 3 > 0 ,亦 - 1 < m < 又 m 沂 Z ,亦 m = 0 或 1 .

3 ? è5 ?
÷

- 2m + m + 3
2

< 1,

< 5 - 2m

2

+ m +3

,

3 . 2

当 m = 0 时, - 2 m2 + m + 3 = 3 为奇数( 舍去) , 当 m = 1 时, - 2 m2 + m + 3 = 2 为偶数. 故 m 的值为 1 ,f ( x) = x2 . ( 2 ) g( x) = log a [ f ( x) - ax] = log a ( x2 - ax) , 复合而成.

1 . D摇 揖 解析铱 将点 ( 2 ,8 ) 的坐标代入 f ( x ) = x 琢 , 得 8 = 2 ,解得 琢 = 3 ,故 f ( 3 ) = 3 = 27 .
琢 3

g( x) = log a ( x2 - ax ) 由 y = log a u ( x ) , u ( x ) = x2 - ax 当 0 < a < 1 时,y = log a u( x) 为减函数, 而要使 g( x) 在区间[ 2 ,3 ] 上为增函数, a 逸3 , 2 故 亦 9 - 3a > 0,

2 . A摇 揖 解析铱 根据幂函数的性质知, 当 琢 > 0 时, 幂函数 5 3 . B摇 揖 解析铱 由于 > 0 ,故可排除选项 A, D. 根据幂函 3 数的性质可知,当 a > 1 时,幂函数的图象在第一象限 内向下凸,故排除选项 C,只有选项 B 正确. 得 m = - 1 或 m = - 2 . 若 m = - 1 , 则 y = x - 4 , 其图象 则 y = x , 其 图 象 不 过 原 点, 且 关 于 原 点 对 称. 故
-3

在( 0 , + 肄 ) 内恒为增函数,故 A 正确.

故 u( x) = x2 - ax 在[2,3] 上为减函数,且 x2 - ax > 0,

4 . A摇 揖 解析铱 根据幂函数的概念, 得 m2 + 3 m + 3 = 1 , 解 不关于原点对称,所以不符合题意, 舍去; 若 m = - 2 , 5 . A摇 揖 解析铱 当幂函数为奇函数时, 琢 = - 1 ,1 ,3 , 又函 选 A.

{ {

{

a逸6 , a < 3,

解集为空集.

当 a > 1 时,y = log a u( x) 为增函数, 而要使 g ( x ) 在区 间[ 2 ,3 ] 上是增函数, a 臆2 , 故 2 亦 4 - 2a > 0, 故 u( x) = x2 - ax 在[2,3] 上为增函数,且 x2 - ax > 0,

{

a臆4 , a < 2,

亦 a < 2 ,亦 1 < a < 2 .

摇178

答案与解析
综上,a 的取值范围为 1 < a < 2 . 复杂,但形式 上 不 过 是 一 个 分 段 函 数. 由 f ( x ) > 2 可知:

知识与能力同步测控题

P130

1 . D摇 揖 解析铱 当 a > 1 时,log a b < 0 ,满足题意;当 0 < a < 2 . B摇 揖 解析铱 因为 P = { y | y 逸0 } , Q = { y | y > 0 } , 所以 3 . A摇 揖 解析铱 因为 3 x > 0 ,所以 log2 ( 3 x + 1 ) > log2 1 = 0 . 4 . D摇 揖 解析 铱 易知 f ( x ) 的定义域为 R, 关于原点对称. 疫 f( - x) = 其图象关于 y 轴对称.
2 3

1 时,log a b < 1 = log a a,b > a. 故选 D. Q芴P.

{

2( t + 2)
2

x < 2,

x -1

即 或

故选 A.

{ {

x < 2, x逸2 , log ( t
2

>2



{

x逸2 , log ( t
2

+ 3)

( x2 - 1 ) + 2 > 2 ,

( t2 + 2 ) x - 1 > 1 = ( t2 + 2 ) 0
+ 3)

4 - x + 1 1 + 4x = = f ( x ) , 亦 f ( x ) 是偶函数, 2 -x 2x

注意到 t + 2 > 1 、 t + 3 > 1 , 亦 函数 y = ( t2 + 2 ) x 和
2 2

( x2 - 1 ) > 0 = log ( t x逸2 ,

2

+ 3)

1.

y = log ( t 亦 13 . -

5 . B摇 揖 解析 铱 M = log19 5 + 2log19 3 + 3log19 2 = log19 ( 5 伊 3 伊 2 ) = log19 360 < log19 361 = 2 . 6 . A摇 揖 解析铱 由题中二次函数的图象可知 0 < a < 1 ,b <
x

{

x < 2,

2

+ 3)

x 在定义域上皆为增函数, 或

N = log 仔 2 + log 仔 5 = log 仔 10 > log 仔 仔2 = 2 .

1 ) ,且在 x 轴上方, 单调递减. 对于函数 g ( x ) = a x + b 的图象,当 0 < a < 1 ,b < - 1 时,只需将函数 f ( x ) = a x 可,故应选 A. ( 0 < a < 1 ) 的图象向下平移 | b | ( | b | > 1 ) 个单位即 7 . D摇 揖 解析铱 g( x) = ln ( 1 - x2 ) ,1 - x2 > 0 , - 1 < x < 1 .
1 2 1 2

- 1 . 对于函数 u( x) = a ,当 0 < a < 1 时,图象过点( 0 ,

14 . y = 2 x + 1摇 揖 解析铱 因为反函数的图象过点 ( 2 ,0 ) ,所 以函数 y = a x + k 的图象过点 ( 0 ,2 ) ,又函数 y = a x + k 的图象过点 ( 1 ,3 ) , 所以 函数的解析式为 y = 2 x + 1 .

1 ) 2 - 4 < 0 ,所以 -

成立,即 x2 - ( 2 a - 1 ) x + 1 > 0 恒成立, 故 驻 = ( 2 a 1 3 <a< . 2 2

1 3 < a < 摇 揖 解析 铱 由题意 x2 - 2 ax > - x - 1 恒 2 2

x -1 >0

{

x2 - 1 > 1 ,

化简得到 x > 1 .

{

1 + k = 2,

a + k = 3,

解得

{

a = 2, k = 1,



8 . B摇 揖 解析 铱 幂函数 y = x 在定义域 [ 0 , + 肄 ) 上是增 函数,y = log ( x + 1 ) 在定义域 ( - 1 , + 肄 ) 上是减函 数 ,y = | x - 1 | =

15 . ( - 肄 ,0 ] 摇 揖 解析铱 运算定义的 是 a* b = min { a, b }, 因此在同 一平面直角坐标系中画出函数 y = log 图象,如答图 11 所示,由图象可 得 f ( x) =
1 2

{

上单调递减, y = 2 x + 1 在定义域 R 上是增函数. 故在区 间( 0 ,1 ) 上单调递减的函数是 y = log ( x + 1 ) 和 y = | x - 1 | ,故选 B.
1 2

1 - x ,x < 1

x - 1 ,x逸1

,所以其在区间 ( - 肄 ,1 )

(3x - 2 ) 和 y = log2 x 的

{

log2 x,0 < x臆1,
1 2

9 . C摇 揖 解析铱 若 a > 0 , 则 log2 a > log a, 即 2log2 a > 0 , 解得 a > 1 ;
1 2

0 ,解得 - 1 < a < 0 .

若 a < 0 ,则 log ( - a ) > log2 ( - a ) , 即 2log2 ( - a ) <
1 2

16 . 解:( 1 ) 原式 = 2log3 2 - log3 = log3 ? 4 伊
?

所以函数的值域为( - 肄 ,0 ] . 9 伊8? -9 32 ?
÷

log (3x - 2),x > 1,

答图 11

32 + log3 8 - 9 , 9

所以实数 a 的取值范围是 a > 1 或 - 1 < a < 0 , 即 a 沂 ( - 1 ,0 ) 胰( 1 , + 肄 ) . y = f ( x) ,y = K 中取小. 若对任意的 x 沂 ( - 肄 ,1 ] 上 恒有 f K ( x) = f ( x) ,等价于任意的 x 沂 ( - 肄 ,1 ] 上恒 有 f ( x) 臆K ,等价于函数 f ( x ) 在 ( - 肄 ,1 ] 上的最大 2 值小于或等于 K. 令 t = 2 x ,则 t 沂( 0 ,2 ] ,函数 f ( x ) =
x +1

10 . D摇 揖 解析铱 根据给出的定义, f K ( x ) 的含义是在函数

= - 7.

è

( 2 ) 原式 = 300 + 10 伊 = 10 3 + 10 伊 = - 5.

1 2

3 2

1 4 1 2



3 2

3 4 1 2

- 10 ( 2 + 3 )

3 - 20 - 10 3 2

11 . ( 2 ,2 ) 摇 揖 解析铱 注意到 a0 = 1 ,log a 1 = 0 即可.

1臆1 ,故函数 f ( x ) 在 ( - 肄 ,1 ] 上的最大值为 1 , 则 K 逸1 ,所以 K 的最小值为 1 .

- 4 即为函数 渍 ( t ) = - t + 2 t = - ( t - 1 ) +
x 2 2

17 . 解:( 1 ) 要使 f ( x ) 有意义, 只要使 2 x + 1 屹0 . 由于对 任意的 x沂R,2 x 屹 - 1 , 所以 x 沂 R, 即函数 f ( x ) 的定 义域为 R. 设 y = f( x) = 2x - 1 2 =1 - x . 令 t = 2 x ,则 t > 0,所 2x + 1 2 +1

12 . { x | x > 1 } 摇 揖 解析 铱 此题中 f ( x ) 的解析式看起来很

摇179

以 y =1 ( - 1 ,1 ) .

2 , 所以 y 沂 ( - 1 ,1 ) , 即 f ( x ) 的值域为 t +1 2 -1 1 -2 = = - f( x) , 2 - x + 1 1 + 2x
-x x

图象关于原点对称,所以f ( - x) + f ( x) = 0 , 即 log a = log a 亦 ( 1 - mx) ( 1 + mx) = 0, ( - x - 1) ( x - 1) 1 + mx 1 - mx + log a - x -1 x -1

( 2 ) 对任意的 x沂R,则有 - x沂R. 疫 f( - x) = 亦 f ( x) 为奇函数.

18 . 解:当 a > 1 ,x逸2 时,log a x > 0 , 亦 x > a 恒成立,亦 1 < a < 2 . 当 0 < a < 1 ,x逸2 时,log a x < 0 ,

由 | f ( x) | > 1 ,得 f ( x) > 1 ,即 log a x > 1 恒成立, 由 | f ( x) | > 1 ,得 f ( x) < - 1 ,即 log a x < - 1 恒成立,

得 m2 = 1 ,m = 1 或 m = - 1 .

( 1 - mx) ( 1 + mx) = 1, ( - x - 1) ( x - 1)

1 - mx 当 m = 1 时, = - 1 < 0 ,舍去; x -1 当 m = - 1 时, - 1或 x > 1.

1 - mx 1 + x 1 +x = ,令 > 0, 解 得 x < x -1 x -1 x -1 x +1 ,任取1 < x1 < x2 ,f ( x2 ) x -1

1 ? ,1 胰( 1 ,2 ) . è2 ? 19 . 解:( 1 ) 疫 f ( x) 是偶函数,亦 m2 - 2 m - 3 应为偶数. 又 综上所述,a 的取值范围是 ?
? ÷

1 1 1 亦 x > 恒成立,亦 < 2 ,亦 < a < 1. a a 2

所以符合条件的 m 的值为 - 1 . ( 2 ) 由(1) 得 f ( x) = log a f ( x1 ) = log a

疫 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上是单调减函数, 亦 m - 2 m 3 < 0 , - 1 < m < 3 . 又 m沂Z,亦 m = 0 ,1 ,2 . 当 m = 0 或
2

1 时 ,m2 - 2 m - 3 = - 4 为 偶 数 , 亦 m = 1 , 即 f ( x ) = x .
-4

m = 2 时,m2 - 2 m - 3 的值均不是偶数, 舍去; 当 m =

疫 1 < x1 < x2 , x2 ) < 0 , 亦0<

x2 + 1 x1 + 1 ( x2 + 1)( x1 - 1) - log a = log a . x2 - 1 x1 - 1 ( x2 - 1)( x1 + 1)

亦 ( x2 + 1 ) ( x1 - 1 ) - ( x2 - 1 ) ( x1 + 1 ) = 2 ( x1 ( x2 + 1 ) ( x1 - 1 ) < 1, ( x2 - 1 ) ( x1 + 1 )

( 2 ) F( x) = a + bx3 . x2

a - bx3 ,定义域为{ x | x屹0},且 F( - x ) = x2

亦 当 0 < a < 1 时,log a 当 a > 1 时, log a

淤当 a屹0 ,b屹0 时,为非奇非偶函数; 于当 a = 0 ,b屹0 时,为奇函数; 盂当 a屹0 ,b = 0 时,为偶函数; 榆当 a = 0 ,b = 0 时,既是奇函数,又是偶函数.
t 2t

即 f ( x2 ) - f ( x1 ) > 0 ,此时 f ( x) 为增函数; f ( x1 ) < 0 ,此时 f ( x) 为减函数. 函数;

( x2 + 1 ) ( x1 - 1 ) > 0, ( x2 - 1 ) ( x1 + 1 )

( x2 + 1 ) ( x1 - 1 ) < 0 , 即 f ( x2 ) ( x2 - 1 ) ( x1 + 1 )

20 . 解:( 1 ) 设 log a x = t , t 沂 R, 则 x = a , 所 以 f ( t ) = ( a - a ) ( x 沂 R) .
x -x

( 3 ) 由( 2 ) 知, 当 a > 1 时, f ( x ) 在 ( 1 , + 肄 ) 上为减 同理在( - 肄 , - 1 ) 上也为减函数. 已知矛盾,舍去; + 肄 ), 当 ( t ,a ) 哿 ( - 肄 , - 1 ) 时 , f ( a ) < f ( x ) < f ( t ) < 0 与 当( t ,a) 哿 ( 1 , + 肄 ) 时, 疫 函数 f ( x ) 的值域为 ( 1 , 亦 f( a) = 1 且 t +1 = 0 ,解得 t = - 1 ,a = 1 + 2 . t -1

a( a - 1 ) a a = ( a t - a - t ) , 所以 f ( x ) = 2 · a t ( a2 - 1 ) a2 - 1 a -1

( 2 ) 不存在. 理由如下:

a 设 x 1 ,x 2 沂 R ,且 x 1 < x 2 , f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = 2 ( ax a -1
1

a

- x1

因为 a x

a a( a x - a x ) ( a x + x + 1 ) )- 2 ( ax - a - x ) = , a -1 ( a2 - 1 ) a x + x
2 2 1 2 1 2 1 2 1

+ x2

a < 1 ,a x - a x 与 a2 - 1 异号, 所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 ,
1 2

+ 1 > 0, ax

1

+ x2

> 0 , 而不论 a > 1 还是 0 <

第 3 章 函数的应用
3.1 函数与方程
能力·题型设计 P138 P138

即 f ( x1 ) < f ( x2 ) .

所以 f ( x) 在 R 上是增函数. 过两点的直线与 x 轴平行.

故在函数 y = f ( x) 的图象上不存在两个不同的点,使 21 . 解:( 1 ) 因为函数 f ( x ) = log a 1 - mx ( a > 0 , a 屹1 ) 的 x -1

1 . D摇 揖 解析铱 对于在 [ a, b ] 上连续不断的函数 f ( x ) , 当 f ( a) ·f ( b ) < 0 时, 一定存在零点 c 沂 ( a, b ) , 但不一 定只有一个. 同样,当 f ( a ) · f ( b ) > 0 , 也可能存在两

摇180

答案与解析
个零点或更多. 为x= 1 ,f ( x) = ( x - 1 ) 2 的零点为 x = 1,f ( x ) = e x - 1 4
? ÷

2 . C摇 揖 解析铱 在同一坐标系中画出函数 y = 2 , 及 y = x
x

2

的图象,可看出两图象有三个交点,故 2 x - x2 = 0 的解 的个数为 3 个.
1 2

3 . B摇 揖 解 析 铱 函 数 f ( x ) = x
1 2

1 f ( x) = 0 ,根据此题可得 x = ? ? , 在平面直角坐标 è2 ?
x
? ÷

1 x - ? ? 的 零 点, 即 令 è2 ?
? ÷

1 3 的零点为 x = 0,f ( x ) = ln ? x - ?的零点为 x = . 故 2 ? 2 è 5 . D摇 揖 解析 铱 分别作出函数 y = 选 A. 1 x +1

系中分别画出这两个函数的图象, 可得交 点 只 有 一 4 . ( 1 ,2 ) 摇 揖 解析铱 令 f( x) = e - x - 2,由图表知 f ( - 1) =
x

和 y = | lg x | 的图象如答图 13,不妨 亦 - lg x1 > lg x2 ,即 lg x1 + lg x2 < 0 , 亦 0 < x1 x2 < 1 .
3

个,所以零点只有一个,故选答案 B.

设 0 < x1 < 1 < x2 ,则 | lg x1 | > | lg x2 | , 6 . 3摇 揖 解析铱 设 f ( x ) = x - x - 1 . 疫 b - a = 1 , 亦 b = a + 1 . 亦 区间为( a,a + 1 ) ,a,b 沂 Z. 经验证, f ( 1 ) = - 1 < b = 2 ,a + b = 3 . 0 ,f ( 2 ) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 , f ( 1 ) · f ( 2 ) < 0 , 亦 a = 1 , 7 . 盂虞摇 揖 解析铱 借助图象判断. 8 . 3摇 揖 解析铱 疫 二次函数 y = x2 + mx + m + 3 的一个零 点在原点,则 m + 3 = 0 , 亦 m = - 3 . 亦 二次函数为 y = 一个零点为 3 . x2 - 3 x. 令 x2 - 3 x = 0 , 得 x1 = 0 , x2 = 3 , 亦 该函数的另 9 . 解:由题意知,抛物线 f ( x ) = x2 + 2 mx + 2m + 1 与 x 轴的交点分别在区间( - 1,0) 答图 13

0 . 37 - 1 = - 0 . 63 < 0 , f ( 0 ) = 1 - 2 = - 1 < 0 , f ( 1 ) = 以一个根所在的区间为( 1 ,2 ) .

2 . 72 - 3 = - 0 . 28 < 0 , f ( 2 ) = 7 . 39 - 4 = 3 . 39 > 0 , f ( 3 ) = 20 . 09 - 5 = 15 . 09 > 0 ,由于 f ( 1 ) · f ( 2 ) < 0 ,所 去) 或 x = - 3 ,则 f ( x ) 在 ( - 肄 ,0 ] 上有一个零点; 当 + 肄 ) 上有一个零点,所以 f ( x) 共有 2 个零点.
x
? ÷

5 . 2摇 揖 解析 铱 当 x 臆0 时, x2 + 2 x - 3 = 0 , 解得 x = 1 ( 舍 x > 0 时, - 2 + ln x = 0 , 解 得 x = e2 , 则 f ( x ) 在 ( 0 , 6 . 解:将 f ( x) 的解析式整理,得 1 ì ? ? ? - 2摇 ( x臆 - 1 ) , è ? 2 ? f( x) = í 2 ? - x + x + 2 ( - 1 < x < 0) , ?x2 - 3 x + 2 ( x逸0 ) . ?

和(1,2 ) 内,可以画出示意图 ( 如答图 14

令 y1 = f ( x ) , y2 = a, 则方程 f ( x ) = a 个不同的交点,

答图 12

有四个不同的实数根等价于函数 y1 与 y2 的图象有四 在同一坐标系中画出 y1 的图象如答图 12 , 由图象可知 a沂( 0 ,2 ) . 1 . D摇 揖 解析铱 疫 f ( x ) = x= 1 . 2 P139

ìf ( 0 ) = 2 m + 1 < 0 , ? ?f ( - 1 ) = 2 > 0 , 所示),观察图象可得 í ?f ( 1 ) = 4 m + 2 < 0 , ?f ( 2 ) = 6 m + 5 > 0 , ?
解得 ?

答图 14

x -1 4x - 1 ,亦 f ( 4x) = = x, 解得 x 4x

?1 ,1臆x < 2 , 10 . 解:( 1 ) f ( x) = í ?2 ,2臆x < 3 , ?3 ,3臆x < 4 . ?

5 1 < m < ,所以 m 的取值范围是 6 2 ? - 5 , - 1 ?. 2 ? è 6 ì0 ,0臆x < 1 ,
÷

?

2 . C摇 揖 解析铱 疫 f ( 1 . 8 ) = 0 . 24 > 0 ,f ( 2 . 2 ) = - 0 . 24 < 0 , 3 . B摇 揖 解析铱 由 | log2 | x | - 1 | = 0 ,log2 | x | = 1 ,亦 x = 依 2 , 4 . A摇 揖 解析铱 g( x) = 4 x + 2 x - 2 在 R 上连续且 g ?
?

亦 零点在区间( 1 . 8 ,2 . 2 ) 内.

共两个实根,亦 原函数有 2 个零点.

2+

g( x ) = 4 x + 2 x - 2 的零点为 x0 , 则 x0 1 1 < ,亦 4 4 x0 1 4 <

1 1 3 -2 = 2 < 0,g ? ? = 2 + 1 - 2 = 1 > 0. 设 2 2 è2 ?
? ÷

1 ? = è4 ?
÷

15 所示.

x,0臆x < 1 , ì ? ?x - 1 ,1臆x < 2 , (2) g ( x ) = x - f ( x ) = í 图象如答图 ?x - 2 ,2臆x < 3 , ?x - 3 ,3臆x < 4 , ?

1 . 又 f ( x) = 4x - 1 的零点 4

1 1 < x0 < , 0 < 4 2

答图 15 1 ( 3 ) 方程 g ( x ) - log a ? x - ? = 0 仅 有 一 根 等 价 于 2 ? è
? ÷

摇181

g( x) 与 h( x) = log a ? x ?

答图 16 可知:

è

1 ? 的图象仅有一个交点. 由 2 ?
÷

M 5 . e6 - 1摇 揖 解析铱 当 v = 12 000 时,2 000 ·ln ? 1 + ? = m? è
? ÷

6 . 解:( 1 ) 依题意知第 10 天的日销售收入为 P ( 10 ) · k Q( 10 ) = ? 1 + ? 伊 110 = 121 ,解得 k = 1 . 10 ? è
? ÷

M M 12 000 ,亦 ln ? 1 + ? = 6 ,亦 = e6 - 1 . m? m è
? ÷

( 2 ) 由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有 减并不单调,故只能选于Q( x) = a | x - 25 | + b. 从表中 任意取两组值代入可求得 Q( x) = 125 - | x - 25 | ( 1臆 答图 16 当 0 < a < 1 时, h ( 1 ) = log a a < 1; x臆30 ,x沂N * ) . ( 3 ) 由( 2 ) 知 Q( x) = 125 - | x - 25 | = 100 + x( 1臆x < 25 ,x沂N * ) ,

1 1 逸1 = log a a, 解得 臆 2 2 3 > 1 = log a a 或 2

{

当 a > 1 时, h ( 2 ) = log a

亦 f ( x) = P( x) ·Q( x)

150 - x( 25臆x臆30 ,x沂N * ) ,

5 ì ?h( 3 ) = log a 2 < 1 , ? 3 5 7 解得 1 < a < 或 < a臆 . í 2 2 2 7 ? ?h( 4 ) = log a 逸1 , ? 2 综上,a 的范围是 3 5 7 ,1 ?胰 ? 1 , ?胰 ? , . [1 2 ? è 2 ? è2 2 ]
÷ ? ÷ ?

100 * ì ?x + x + 101 ( 1臆x < 25 ,x沂N ) , ? =í 150 ? - x + 149 ( 25臆x臆30 ,x沂N * ) . ? ? x

当 1臆x < 25 时,y = x + 值,f ( x) min = 121 ;

[ 10 ,25 ) 上是增函数,所以当 x = 10 时,f ( x ) 取得最小 当 25臆x臆30 时,y = 150 - x 为减函数, 所以当 x = 30 x

100 在 [ 1 ,10 ] 上是减函数, 在 x

3.2 函数模型及其应用
能力·题型设计 P148 P148 1 . B摇 揖 解析 铱 由题意可知, 洗 x 次后存留的污垢为 y =
? ÷ ? ÷

时, f ( x) 取得最小值,f ( x) min = 124 . f ( x) min = 121 .

综 上 所 述, 当 x = 10 时, f ( x ) 取 得 最 小 值, 从而,该服装的日销售收入的最小值为 121 百元.

2 . A摇 揖 解析 铱 三者的增长率分别为 A:

此至少要洗 4 次.

x x ? 1 - 3 ? ,令 ? 1 - 3 ? 臆 1 , 解得 x 逸 1 抑3 . 32 , 因 4 ? 4 ? 100 lg 2 è è

3 . B摇 揖 解析铱 疫 甲第一次卖给乙时获利 10 % ,亦 此时价 格为 1 100 元,甲获利 1 100 - 1 000 = 100 元, 疫 乙返 卖给甲时损失 10 % , 亦 此时价格为 1 100 伊 0 . 9 = 990 元,甲获利 1 000 - 990 = 10 元. 甲再卖给乙时九折,亦 109 元. 亦 共计甲获利 100 + 10 - 109 = 1 ( 元) . 4. 1. 75 万件摇 揖 解析铱 由
x

51 . 4 - 50 2 . 8 100 - 97 3 B: = ;C : = . 亦 C > A > B. 50 100 97 97

103 - 100 3 = ; 100 100

1 . A摇 揖 解析铱 设陈先生行程为 x,则 6 + ( x - 2 ) 伊 1 . 8 + 2 . B摇 揖 解析铱 水深 h 增长的速度越来越快. a + bx . 11 . 5 伊 1 . 8 = 17 ,解得 x抑6 . 2 km. 6

P148

3 . B摇 揖 解析 铱 在坐标系中描出各点, 知模拟函数为 y = 4 . C摇 揖 解析铱 开始时平均价格与即时价格一致,排除 A、 5 . A摇 揖 解析铱 经过 100 年后 y = 0 . 957 6 , 经过 200 年后 26 6 . 8 , ?摇 揖 解析铱 设此乘客乘车里程是 x 千米,由于乘 3 ? 0 . 957 6 100 . y = 0 . 957 6 2 , 经 过 10 000 年 即 100 个 100 年 后 y = D;平均价格不能一直大于即时价格,排除 B.

此时价格为 990 伊 0 . 9 = 891 元, 甲损失 1 000 - 891 =

{

1 = a·(0. 5) 1 + b,
2

圯y = - 2 ·( 0 . 5 ) + 2 ,

1. 5 = a·(0. 5) + b



{

a = - 2, b =2

[

÷

所以 3 月份产量 y = - 2 ·( 0 . 5 ) 3 + 2 = 1 . 75 万件.

3 ) 元,亦 15 . 5 臆8 + 1 . 5 ( x - 3 ) < 16 . 5 , 亦 8 臆 x <

客付了 16 元,则有 x > 3 , 亦 乘客应付费 8 + 1 . 5 ( x 26 . 3

摇182

答案与解析
26 亦 乘车里程为 x沂 8 , ?. 3 ?

[

÷

7 . 5 . 83 摇 揖 解 析 铱 t = 5 . 5 时, [ 5 . 5 ] = 6 , 亦 1 . 06 伊 1 ì ?10 t 摇 摇 摇 ? 0臆t 臆 ? 10 ? è ? 8. (1) y = í t?? 1 ? ?t > 1 ? ? 16 ?è ? è 10 ?
? ÷
1 10

h ( t2 ) = ( t1 - t2 ) ? 2 ?

5 . 83 ( 元) .

( 0 . 75 [ t ] + 1 ) = 1 . 06 伊 ( 0 . 75 伊 6 + 1 ) = 1 . 06 伊 5 . 5 =

所以 h( t ) =

上单调递减,在区间[ 20 ,35 ] 上单调递增,所以 t = 20 f ( x) min = 70 . 万元 . 所以当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值 70 知识与能力同步测控题 零点.

800 + 2 t - 10 ( 5 臆 t 臆35 ) 在区间 [ 5 ,20 ] t

è

800 ? < 0. t1 t2 ?
÷

时, h ( t ) min = 70 , 即 t = 3 x + 5 = 20 , x = 5 时,

?

÷

?

÷

( 2 ) 0 . 6摇 揖 解析铱 ( 1 ) 药物释放过程中, 室内每立方米 空气中的含药量 y( mg) 与时间 t ( h) 成正比,则设函数 为 y = kx( k屹0 ) ,将点( 0 . 1 ,1 ) 代入可得 k = 10 ,则 y =
t-a
? ÷

P161

1 . A摇 揖 解析 铱 观察图象可知 A 中图象表示的函数没有 2 . B摇 揖 解析铱 f ( 0 ) = - 3 < 0 ,f ( 1 ) = - 1 < 0 ,f ( 2 ) = 31 > 3 . B摇 揖 解析铱 增函数与减函数不可能有两个零点, 而奇 4 . A摇 揖 解析铱 作出 图 象 发 现 有 4 个 交 点. 另 法: 方 程 5 . C摇 揖 解析铱 由题意知 f ( 1 ) · f ( 2 ) < 0 , f ( 2 ) · f ( 3 ) < 少有一个零点,故函数在( 1 ,3 ) 内至少有两个零点. 100 . 9 4 个. | x2 - 6 x | = 3 的解有 4 个, 所以两函数图象的交点有 函数和偶函数都可能有两个互为相反数的零点. 0 ,亦 f ( 1 ) · f ( 2 ) < 0 .

1 10 t ;将点( 0 . 1 ,1 ) 代入 y = ? ? è 16 ?
?
1 10

1 ì ?10 t 摇 摇 摇 ? 0臆t 臆 ?, 10 ? è ? 解析式为 y = í t?? 1 ? ? t > 1 ?. ? 16 ?è ? è 10 ?
÷ ? ÷ ? ÷
1 10

1 , 得 a = . 则所求 10

9 . 解:( 1 ) 由题意得

1 t1 6 (2) 令 ? ? < 0 . 25 = ? ? ,亦 t > = 0. 6. 10 è 16 ? è 16 ?
? ÷ ? ÷

1 2

0郾 6 x) ] ( 0 < x < 1 ) ,

y = [ 1郾 2 伊 ( 1 + 0郾 75 x) - 1 伊 ( 1 + x) ] 伊 [ 1 000 伊 ( 1 + 整理,得 y = - 60 x2 + 20 x + 200 ( 0 < x < 1 ) . 意必须满足 y - ( 1郾 2 - 1 ) 伊 1 000 > 0 , ( 2 ) 要保证本年度的利润比上年度有所增加, 根据题

0 ,故函数在 ( 1 ,2 ) 内至少有一个零点, 在 ( 2 ,3 ) 内至

6. D摇 揖 解析铱 设提价 x% , 则有 ( 1 - 10% ) 伊 ( 1 + x% ) = 7 . D摇 揖 解析铱 一次函数模型保持均匀的增长, 不符合题 不符合题意;指数函数模型是爆炸式增长,不符合 “ 后 来增长越来越慢冶 ;对数函数模型符合“ 初期利润增长 3 ? 3 < 0 ,则 x0 沂 ? ,2 ?. 2 è ? è2 ? 9 . C摇 揖 解析 铱 由题意知实线部分的总长度为 l = 4 ( 3 8 . C摇 揖 解析铱 由于 f ( 2 ) ·f ?
? ÷ ? ÷

1 ,解得 x =

{

解不等式组,得 0 < x < 0郾 33 .

0 < x < 1,



{

0 < x < 1.

- 60 x2 + 20 x > 0 ,

意;二次函数模型在图象的对称轴两侧有增也有减,

故为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成 10 . 解:( 1 ) 设隔热层厚度为 x cm,由题意知 C ( 0 ) = 8 ,代 入 C( x) 的关系式,得 k = 40 ,因此 C ( x) = x臆10 ) ,而每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元, 所 以隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f ( x) = 20 C ( x) + 6 x = h( t) = ( 2 ) 令 t = 3 x + 5 ( 0 臆 x 臆10 ) , 则 5 臆 t 臆35 , 得函数 令 5 臆 t1 < t2 臆 35 , 有 h ( t1 ) - h ( t2 ) = ( t1 - t2 ) 800 + 2 t - 10 ( 5臆t 臆35 ) . t 800 + 6 x( 0臆x臆10 ) . 3x + 5 40 ( 0臆 3x + 5 本增加的比例 x 的取值范围是 0 < x < 0郾 33 .

迅速,后来增长越来越慢冶 ,故选 D.

2 b) + 2仔b = ( 2仔 - 8 ) b + 12 , l 是关于 b 的一次函数, 一次项系数 2仔 - 8 < 0 , 故 l 关于 b 的函数单调递减, 因此,当 b 取最大值时, l 取最小值, 结合图形知, b 的 最大 值 为 12 = 3仔. 3 3 , 代 入 上 式 得 l min = ( 2仔 - 8 ) 伊 + 2 2

10 . C摇 揖 解析铱 由 琢 = 2,

{

x +1 >0 x -1 >0

,得 x > 1 ,故淤正确;疫 f ( x) =

? 2 - 800 ?,则当 5臆 t < t 臆20 时, h ( t ) - h ( t ) = 1 2 1 2 t1 t2 ? è
? ÷ ?

x琢 ( 琢 为 常 数 ) 的 图 象 过 点 ( 2, 4 ) , 亦 2 琢 = 4, 解 得 亦 f ( x) = x2 ,易知 f ( x) = x2 为偶函数,故于正确; 疫 | x | 逸0 , 亦 y = 5 | x | 逸1 , 亦 函 数 y = 5 | x | 的 值 域 是

( t1 - t2 ) ? 2 -

è

800 ? > 0 ;当 20臆t1 < t2 臆35 时,h( t1 ) t1 t2 ?
÷

摇183

[ 1 , + 肄 ) ,故 盂 错 ; f( - 1 ) = - 1 + 2 - 1

疫 函 数 f ( x ) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线, 且 即 f ( - 1 ) · f ( 0 ) < 0 , 亦 f ( x ) = x + 2 x 在 ( - 1 ,0 ) 上
x

18 且 x沂N * ;当 x > 18 且 x沂N * 时,y1 = 440 x. N * ,则

1 = < 0,f ( 0 ) = 0 + 20 = 1 > 0, 2

在乙商场购买花费为 y2 = 800 伊 75 % · x = 600 x, x 沂 y1 - y2 = =

至 少 有 一 个 零 点, 又 f ( x ) = x + 2 为 增 函 数, 亦 f ( x) = x + 2 在 ( - 1 ,0 ) 上有且只有一个零点, 故
x

{

11 . 1摇 揖 解析铱 2 x - 3 = 0 ,x = log2 3 ,log2 2 < log2 3 < log2 4 , 12 . a( 1 + b) 摇 a ( 1 + b ) 5 摇 揖 解析 铱 2015 年: a ·( 1 + b ) ; 22 - 2a - b = 0, a = 5, 1 1 13 . - , - 摇 揖 解析铱 由 2 得 2 3 b = - 6, 3 - 3a - b = 0, 2019 年:a·( 1 + b) 2 019 - 2 014 = a·( 1 + b) 5 . 1 < log2 3 < 2 ,故 m = 1 .

榆正确. 故选 C.

{

200 x - 20 x2 ( 1臆x臆18 ,x沂N * ) , - 160 x( x > 18 ,x沂N ) .
* 2

440 x - 600 x( x > 18 ,x沂N * )

( 800 - 20 x) x - 600 x( 1臆x臆18 ,x沂N * ) , 淤 于

由 200 x - 20 x = 20 x( 10 - x) ,知 当 10 < x臆18 时,y1 - y2 < 0 .

当 1臆x < 10 时,y1 - y2 > 0 ;当 x = 10 时,y1 - y2 = 0 ; 由于知,当 x > 18 时,总有 y1 - y2 < 0 .

{

{

综上可知,若购买影碟机少于 10 台时, 在乙商场购 买花费较少;若购买 10 台, 在甲、 乙两商场购买花费 买花费较少. 一样多;若购买 11 台以上( 包含 11 台 ) ,在甲商场购 20 . 解:( 1 ) 令( m + 6 ) x2 + 2 ( m - 1 ) x + m + 1 = 0 , 当 m + 当 m + 6屹0 时,驻逸0 ,亦 m臆 5 且 m屹 - 6 . 9 5 . 9

14 . 0 和 2摇 揖 解析铱 由 f ( x - 1 ) = ( x - 1 ) 2 - 1 = x2 - 2 x = 3 15 . 盂摇 揖 解析 铱 淤 中由于 = 1 . 5 , 故 不 正 确; 于 中 如 2 f ( x) = x2 ,虽然 f ( 0 ) = 0 , 但 f ( x ) 是偶函数, 故不正 确;榆中若 f ( x ) 在 ( a, b ) 上是间断的, 则不正确, 如 f( x) = 0 ,解得 x = 0 或 x = 2 .

1 1 亦 g( x) = - 6 x - 5 x - 1 的零点是 - , - . 2 3
2

6 = 0 ,即 m = - 6 时,有一个零点,亦 m = - 6 时成立;

综上,若 f ( x) 恒有零点,则 m臆 ( 2 ) 由实根的分布可得 解得 - 6 < m < - 1 .

{

16 . 解:f ( x ) = 2 x , f ( 1 ) = 2 , f ( 3 ) 抑3 . 46 , f ( 5 ) 抑4 . 47 , f ( 7 ) 抑5 . 29 ,f ( 9 ) = 6 , f ( 11 ) 抑6 . 63 , f ( 13 ) 抑7 . 2 . 17 . 解:( 1 ) 要使函数有意义, 则有

1 ,x臆0 .

- 1 ,x > 0 ,

{

m + 6 > 0, f( 0 ) < 0



{

m + 6 < 0, f( 0 ) > 0 ,

21 . 解:( 1 ) 如答图 17 所示,当 0 < x臆10 时,

{

1 - x > 0, x + 3 > 0,

f ( x) = - 0 . 1 x2 + 2 . 6 x + 43 = - 0 . 1 ( x - 13 ) 2 + 59 . 9 .

解得 - 3 <

故 f ( x) 在定义域内递增, 最大值为 f ( 10 ) = - 0 . 1 伊 107 在定义域上递减, f ( x ) < - 3 伊 16 + 107 = 59 . 因 59 ,并维持 6 分钟. 此,开讲后 10 分钟, 学生达到最强的接受能力值为 ( 2 ) f ( 5 ) = - 0 . 1 伊 ( 5 - 13 ) 2 + 59 . 9 = 53 . 5 , f ( 20 ) = 钟,学生的接受能力比开讲后 20 分钟强一些. ( - 3 ) 2 + 59 . 9 = 59 ;当 16 < x 臆30 时, f ( x ) = - 3 x +

x < 1 ,所以函数的定义域为( - 3 ,1 ) .
2

( 2 ) 函 数 可 化 为 f ( x ) = log a ( 1 - x ) ( x + 3 ) = log a ( - x - 2 x + 3 ) . 由 f ( x) = 0 ,得 - x - 2 x + 3 = 1 ,
2

即 x 2 + 2 x - 2 = 0 ,x = - 1 依 3 .

18 . 解:令 f ( x) = 0 ,即 x2 - 2 | x | = a,作函数 g ( x ) = x2 个数即可.

疫 - 1 依 3沂( - 3 ,1 ) ,亦 f ( x) 的零点是 - 1 依 3 .

- 3 伊 20 + 107 = 47 < 53 . 5 = f ( 5 ) . 因此开讲后 5 分

2 | x | 的图象,然后作 y = a 的图象, 考察两图象交点 当 a < - 1 时,函数 f ( x) 无零点; 当 a = 0 时,f ( x) 有三个零点;

2 . 6 x + 43 = 55 ,解得 x = 20 或 x = 6 , 但 0 < x 臆10 , 故 x = 6; 当 16 < x臆30 时,令 f ( x ) = 55 , 则 - 3 x + 107 = 55 , 解 得 x = 17 17 因此,学生 达 到 ( 或 超 过 ) 55 的 接 受 能 力 的 时 间 为 1 1 - 6 = 11 ( 分钟) < 13 ( 分钟 ) , 故老师不能在 3 3 1 . 3

( 3 ) 当 0 < x 臆10 时, 令 y = f ( x ) = 55 , 则 - 0 . 1 x2 +

当 a = - 1 或 a > 0 时,f ( x) 有两个零点; 当 - 1 < a < 0 时,f ( x) 有四个零点.

19 . 解:设此单位购买 x 台影碟机,在甲商场购买花费为 y1 = ( 800 - 20 x) ·x,其中 800 - 20 x逸440 ,即 1臆 x 臆

摇184

答案与解析
学生一直达到所需接受能力的状态下 讲 授 完 这 道 难题.

11 . 答图 17

称,所以 a - 1 = - 2 a 圯 a = P163 以 b = 0 ,a + b = 1 . 3

1 摇 揖 解析铱 因为是偶函数, 所以定义域关于原点对 3 1 , 而函数是偶函数, 所 3

答图 18

教材学业水平考试试题
1 . B摇 揖 解析铱 注意到元素为数对. 3 . C摇 揖 解析 铱 由 2 . A摇 揖 解析铱 log3 4 > log3 3 = 1 ,log4 3 < log4 4 = 1 .

12 . - 9 摇 揖 解 析 铱 疫 f ( a ) = a3 + 1 = 11 , 亦 a3 = 10 , 13 . a = 0 或 a逸 x= f ( - a) = ( - a) 3 + 1 = - a3 + 1 = - 10 + 1 = - 9 . 9 摇 揖 解析 铱 当 a = 0 时, - 3 x + 2 = 0 , 即 8 9 . 8

{

1 - x屹0 , 1 + x >0

得 x > - 1 且 x 屹1 , 即函数

4 . D摇 揖 解析铱 疫 a > 1 ,亦 f ( x) = log a x 在 [ a,2 a ] 上递增, 亦 log a ( 2 a ) - log a a = a = 4. 1 1 , 即 log a 2 = , 亦 a 2 2
x -1
? ÷ ? ÷ ?

f ( x) 的定义域为( - 1 ,1 ) 胰( 1 , + 肄 ) .

1 2

= 2,
x

14 . ( 2 ,3 ) 摇 揖 解析 铱 设 f ( x ) = x3 - 2 x - 5 , 则 f ( 2 ) < 0 , f ( 3 ) > 0 ,f ( 4 ) > 0 ,有 f ( 2 ) ·f ( 3 ) < 0 ,则下一个有根 区间是( 2 ,3 ) .

个元素,只需 驻 = 9 - 8 a臆0 ,即 a逸

2 ,满足题意;当 a 屹0 时, 要使集合 A 至多有一 3

1 1 5. D 摇 揖 解 析 铱 由 y = 3 伊 ? ? = ? ? è3 ? è3 ?
x -1 ? 1 ? 知,D 正确. è3 ?
? ÷

1 伊 ? ? = è3 ?
÷

15 . f ( x) = | x - 1 | 摇 揖 解析 铱 f ( x ) = | x - 1 | 或 f ( x ) = 16 . 解:A = { x | x2 + 3 x + 2 = 0 } = { - 2 , - 1 } , 由 ( 迠U A ) 疑 B = 芰,得 B芴A. 疫 方程 x2 + ( m + 1 ) x + m = 0 的 判 别 式 驻 = ( m + 亦 B屹芰,亦 B = { - 1 } 或 B = { - 2 } 或 B { - 1 , - 2 } . 淤 若 B = { - 1 } ,则 m = 1 . 于若 B = { - 2 } , 则 - ( m + 1 ) = ( - 2 ) + ( - 2 ) = 立. 亦 B屹{ - 2 } . a( x - 1 ) 2 + b,a > 0 . 符合题设要求即可.

6 . C摇 揖 解析 铱 构造函数 F ( x ) = log4 x + x - 7 , F ( 5 ) = 零点,即 log4 x + x = 7 在( 5 ,6 ) 内有解,故选 C . - 1 < a - 3 < 1, ì ? ? 2 í - 1 < a - 9 < 1 ,亦 a沂( 2 2 ,3 ) ,故选 B. ? ?a - 3 > a 2 - 9 ,

log4 5 - 2 < 0 ,F( 6 ) = log4 6 - 1 > 0 ,F( x) 在( 5 ,6 ) 内有

7 . B 摇 揖 解 析 铱 由 条 件 得 f ( a - 3 ) < f ( a2 - 9 ) , 即

1 ) 2 - 4 m = ( m - 1 ) 2 逸0 ,

8 . D摇 揖 解析 铱 当 a 屹0 时, f ( x ) 不可能是偶函数, 淤 错; 错;若 f ( x) = | x2 - 2 | ,有 f ( 0 ) = f ( 2 ) , 但不关于 x = 1 对称,于错;故只有盂正确. 故选 D. | a2 - b | 既不 一 定 是 最 大 值, 也 不 一 定 是 最 小 值, 榆

- 4 ,且 m = ( - 2 ) ·( - 2 ) = 4 , 这两式不能同时成

盂若 B = { - 1, - 2},则 - ( m + 1 ) = ( - 1 ) + ( - 2 ) = 综上,所求的值为 1 或 2 . - 3 ,且 m = ( - 1 ) ·( - 2 ) = 2 . 得 m = 2 .

9 . B摇 揖 解析铱 疫 y = f ( x ) 是奇函数, 亦 y = f ( x ) 是图象关 于原点对称. 亦 f ( x) 在 [ - 7 , - 3 ] 上是增函数且最大 值为 5 .

17 . 解:疫 f ( x) 是偶函数,g( x) 是奇函数, 而 f( x) + g( x) = 1 , x -1

10 . D摇 揖 解析铱 疫 f ( x) 是奇函数,亦 f ( 3 ) = - f ( - 3 ) = 0 . 也是增函数.

亦 f ( - x ) = f ( x ) ,且 g ( - x ) = - g ( x ) . 1 , - x -1

疫 f ( x) 在( 0 , + 肄 ) 是增函数, 亦 f ( x ) 在 ( - 肄 ,0 ) 上 结合函数图象( 如答图 18 ) ,xf ( x) < 0 的解为 0 < x <

得 f( - x) + g( - x) = 即 f( x) - g( x) =

3 或 - 3 < x < 0.

1 1 = , - x -1 x +1

摇185

亦 f( x) =

18 . ( 1 ) 证明:函数 f ( x) 的定义域为( 0 , + 肄 ) , 设 0 < x1 < x2 ,则 ln x1 < ln x2 ,2 x1 < 2 x2 . 亦 ln x1 + 2 x1 - 6 < ln x2 + 2 x2 - 6 .

1 x ,g ( x ) = 2 . x2 - 1 x -1

1 +y 由 2 x > 0 ,得 > 0 ,解得 - 1 < y < 1 . 1 -y 亦 f ( x) 的值域为( - 1 ,1 ) . 1 > 0 ,2 x + 1 > 0 ,
2

( 3 ) 证明:任取 x1 ,x2 沂R, 设 x1 < x2 , 则 2 x < 2 x ,2 x +
1 2 1

亦 f ( x1 ) < f ( x2 ) . 亦 f ( x) 在( 0 , + 肄 ) 上是增函数. ( 2 ) 证明:疫 f ( 2 ) = ln 2 - 2 < 0 ,f ( 3 ) = ln 3 > 0 , 亦 f( 2 ) ·f( 3 ) < 0 . 亦 f ( x) 在( 2 ,3 ) 上至少有一个零点.

f ( x1 ) - f ( x2 ) = 所以 y =

即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,

2x - 1 2x - 1 2 (2 x - 2 x ) - x = x < 0, x 2 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x + 1)
1 1 2 2 1 2 1 2

又由 ( 1 ) 知 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上 是 增 函 数, 因 此 f ( x) = 0 至多有一个根, 从而函数 f ( x ) 在 ( 0 , + 肄 ) 上有且只有一个零点. 当 100 < x臆500 时, 19 . 解:( 1 ) 当 0 < x臆100 时,P = 60 ; P = 60 - 0 . 02 ( x - 100 ) = 62 所以 P = x . 50

21 . 解:( 1 ) 疫 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, ( 2 ) f ( x) = a x - a - x ( a > 0 ,且 a屹1 ) , 疫 f ( 1 ) < 0 ,亦 a 又 a > 0 ,且 a屹1 ,亦 0 < a < 1 . 1 < 0. a

2x - 1 在( - 肄 , + 肄 ) 上是增函数. 2x + 1

亦 f ( 0 ) = a0 - ( k - 1 ) a0 = 1 - ( k - 1 ) = 0 . 亦 k = 2 .

{

60 ,0 < x臆100 ,x沂N,

而 y = a x 在 R 上单调递减,y = a - x 在 R 上单调递增, 故判断 f ( x) = a x - a - x 在 R 上单调递减, 亦 x2 + ( t - 1 ) x + 4 > 0 恒成立. ( 3 ) 疫 f( 1 ) = 不等式化为 f ( x2 + tx) < f ( x - 4 ) ,亦 x2 + tx > x - 4 . 亦 驻 = ( t - 1 ) 2 - 16 < 0 ,解得 - 3 < t < 5 . 1 ( 舍去) . 2

( 2 ) 设销售商一次订购量为 x 件,工厂获得的利润为 L 元,则有 L = ( P - 40 ) x =

x 62 - ,100 < x臆500 ,x沂N. 50

{

20 x,0 < x臆100 ,x沂N, 22 x -

当 x = 450 时,L = 5 850 . 得的利润是 5 850 元.

x2 ,100 < x臆500 ,x沂N. 50

亦 a =2 或 a = -

3 1 3 ,亦 a = ,即 2 a 2 - 3 a - 2 = 0 . 2 a 2

因此,当销售商一次订购 450 件服装时, 该服装厂获 20 . ( 1 ) 解:对于任意实数 x,函数 y = 亦 函数的定义域为 R. ( 2 ) 解 法 一: f ( x ) = 2 x > 0 ,2 x + 1 > 1 ,0 < 解法二:y =
x

亦 g ( x ) = 2 2 x + 2 - 2 x - 2 m( 2 x - 2 - x ) 令 t = f( x) = 2 x - 2 - x , 疫 x逸1 ,亦 t 逸f ( 1 ) = = ( 2 x - 2 - x ) 2 - 2 m( 2 x - 2 - x ) + 2 .

2 -1 都有意义, 2x + 1
x

由( 2 ) 可知 f ( x) = 2 x - 2 - x 为增函数, 3 . 2 3 ? , 2 ?
÷

亦 f ( x) 的值域为( - 1 ,1 ) .

2 2 < 2, - 1 < 1 - x < 1, 2 +1 2 +1
x

2x - 1 2x + 1 - 2 2 = =1 - x , 2x + 1 2x + 1 2 +1

令 h( t ) = t2 - 2 mt + 2 = ( t - m) 2 + 2 - m2 ? t 逸
?

若 m逸 若m< 亦 m=

圳2 x ( y - 1 ) = - y - 1圳2 x =

2 -1 圳y( 2 x + 1 ) = 2 x - 1 2x + 1 1 +y 1 -y

亦 m = 2;

3 ,当 t = m 时,h( t ) min = 2 - m2 = - 2 , 2

è

25 3 > 舍去. 综上可知 m = 2 . 12 2

3 3 17 ,当 t = 时,h( t ) min = - 3m = - 2. 2 2 4

摇186


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