nbhkdz.com冰点文库

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案

时间:2016-04-10


2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给

分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)B (7)B (2)C (8)C (3)D (9)D (4)A (10)D (5)B (11)A (6)C (12)B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. (13) 0.3 (14) ?3 (15) 5 ? 2 6 (16)

26 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)因为 S△BCD = 3 , 即 又因为 B ?

1 BC ? BD ? sin B ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2

? , BD ? 1 ,所以 BC ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3
2 2 2

在△ BDC 中,由余弦定理得, CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD ? cos B , · · · · · · · · · · · 5分 即 CD ? 16 ? 1 ? 2 ? 4 ? 1?
2

1 ? 13 ,解得 CD ? 13 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2
AC CD ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 sin 2? sin ?

(Ⅱ)在△ ACD 中, DA ? DC ,可设 ?A ? ?DCA ? ? ,则 ?ADC ? ? ? ?? , 又 AC ? 3 ,由正弦定理,有 所以 CD ?

3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2cos ? 2? ? 2? , 在△ BDC 中, ?BDC ? 2? , ?BCD ? 3

3 CD BD 1 ? 由正弦定理得, ,即 2 cos ? ? ,· · · · · · · · · · ·10 分 ? 2? sin B sin ?BCD sin sin( ? 2? ) 3 3 2? ? 2? ) , 化简得 cos ? ? sin( 3 ? 2? ? 2? ) . · 于是 sin( ? ? ) ? sin( · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2 3 ? ? ? ? 2? 2? ? 2? ? 因为 0 ? ? ? ,所以 0 ? ? ? ? , ? ? , 2 2 2 3 3 3 ? 2? ? 2? ? 2? 或 ? ? + ? 2? =? , 所以 ? ? ? 2 3 2 3 ? ? ? ? 解得 ? = 或? = ,故 ?DCA= 或?DCA ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 6 18 6 18
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 DA ? DC , 所以 ?A ? ?DCA . 取 AC 中点 E ,连结 DE ,
C E A B D

所以 DE ? AC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 设 ?DCA ? ?A ? ? ,因为 AC ? 3 ,所以 EA ? EC ? 在 Rt △ CDE 中, CD ? 以下同解法一. (18)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基 础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)连结 AB1 ,在 △ABB1 中, AB ? 1, BB1 ? 2, ?ABB1 ? 60? , 由余弦定理得, AB12 ? AB2 ? BB12 ? 2 AB ? BB1 ? cos ?ABB1 ? 3, ∴ AB1 ? 3 ,…………………………………………1 分 ∴ BB1 ? AB ? AB1 ,
2 2 2
B1 A1 C1

3 . 2

CE 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? cos ?DCA 2cos ?

∴ AB1 ? AB .………………………………………2 分 又∵ △ ABC 为等腰直角三角形,且 AB ? AC , ∴ AC ? AB ,
B A C

又∵ AC ? AB1 ? A , ∴ AB ? 平面 AB1C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 又∵ B1C ? 平面 AB1C , ∴ AB ? B1C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)∵ AB1 ? 3, AB ? AC ? 1, B1C ? 2 , ∴ B1C 2 ? AB12 ? AC 2 ,∴ AB1 ? AC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 如图,以 A 为原点,以 AB, AC, AB1 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间 直角坐标系, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

??? ? ??? ? ????

0, 0 ? , B1 0, 0,3 , B ?1, 0, 0 ?,C ? 0, 1, 0? , 则 A ? 0,
∴ BB1 ? ?1, 0, 3 , BC ? ? ?1,1, 0 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 设平面 BCB1 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,

?

?

????

?

?

??? ?

???? ? BB1 ? n ? 0, ? ?? x ? 3z ? 0, ? 由 ? ??? 得? 令 z ? 1 ,得 x ? y ? 3 . ? ? x ? y ? 0, ? BC ? n ? 0, ? ? ?

z B1

A1 C1

? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ∵ AC ? AC ? CC ? AC ? BB ? ? 0,1, 0 ? ? ? ?1, 0, 3 ? ? ? ?1,1, 3 ? ,
∴平面 BCB1 的一个法向量为 n ?
1 1 1

?

3, 3,1 . ……………………9 分

……………………………………………………………………………10 分

A x B C y

???? ? ???? ? AC1 ? n 3 105 ? ∴ cos ? AC1 , n ?? ???? ,….……………11 分 ? ? 35 | AC1 || n | 5? 7
∴ AC1 与平面 BCB1 所成角的正弦值为 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)过点 A 作 AH ? 平面 BCB1 ,垂足为 H ,连结 HC1 , 则 ?AC1H 为 AC1 与平面 BCB1 所成的角. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 由(Ⅰ) 知, AB1 ? AB , AB1 ? 3 , AB ? AC ? 1 , B1C ? 2 , ∴ AB1 ? AC ? B1C ,∴ AB1 ? AC ,
2 2 2

105 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 35

又∵ AB ? AC ? A ,∴ AB1 ? 平面 ABC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

∴ VB1 ? ABC ?

1 1 1 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 S△ABC ? AB1 ? ? ? AB ? AC ? AB1 ? 3 3 2 6
A1 B1 C1

取 BC 中点 P ,连结 PB1 ,∵ BB1 ? B1C ? 2 ,∴ PB1 ? BC . 又在 Rt△ABC 中, AB ? AC ? 1 ,∴ BC ? 2 ,∴ BP ?

2 , 2
H A B P C

1 14 ∴ PB1 ? B1B ? BP ? 4 ? ? , 2 2
2 2

∴ S△B1BC ?

1 7 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 BC ? B1P ? 2 2

∵ VA? BCB1 ? VB1 ? ABC , ∴

1 3 1 7 3 21 ,即 ? ,∴ AH ? .· · · · · · · · · · · ·10 分 S△BCB1 ? AH ? ? AH ? 3 6 3 2 6 7

∵ AB1 ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ AB1 ? BC , 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC / / B1C1 , B1C1 ? BC ? 2 , ∴ AB1 ? B1C1 ,∴ AC1 ?

AB12 ? B1C12 ? 5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

21 AH 105 在 Rt△AHC1 中, sin ?AC1 H ? , ? 7 ? AC1 35 5
所以 AC1 与平面 BCB1 所成的角的正弦值为

105 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 35

(19)本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查运算求解 能力、 数据处理能力、 应用意识, 考查分类与整合思想、 必然与或然思想、 化归与转化思想. 满 分 12 分. 解: (Ⅰ) 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M , 则 P( M ) ?
2 C20 19 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2 C100 495

(Ⅱ) (ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为 a ,则 当 a ? 38 时, X ? 38 ? 4 ? 152 ; 当 a ? 39 时, X ? 39 ? 4 ? 156 ; 当 a ? 40 时, X ? 40 ? 4 ? 160 ;

当 a ? 41 时, X ? 40 ? 4 ? 1? 6 ? 166 ; 当 a ? 42 时, X ? 40 ? 4 ? 2 ? 6 ? 172 . 所以 X 的所有可能取值为 152,156,160,166,172. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 故 X 的分布列为:

X

152

156

160

166

172

P

1 10

1 5

1 5

2 5

1 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

所以E ( X ) ? 152 ?

1 1 1 2 1 · · · · · 9分 ? 156 ? ? 160 ? ? 166 ? ? 172 ? ? 162 . · 10 5 5 5 10

(ⅱ)依题意, 甲公司送餐员日平均送餐单数为

38 ? 0.2 ? 39 ? 0.4 ? 40 ? 0.2 ? 41? 0.1 ? 42 ? 0.1 ? 39.5 . · · · · · · · · · · · · ·10 分 所以甲公司送餐员日平均工资为 70 ? 2 ? 39.5 ? 149 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为 162 元. 因为 149 ? 162 ,故推荐小明去乙公司应聘. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 (20)本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知 识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合 思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)将 x ?
?

p 2 代入 y ? 2 px ,得 y ? ? p ,所以 ST ? 2 p , · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2
y

又因为 ?SPT ? 90 ,所以△ SPT 是等腰直角三角形, 所以 SF ? PF ,即 p ? 3 ? 解得 p ? 2 , 所以抛物线 E : y 2 ? 4x ,…………………………………………3 分 此时圆 P 的半径为 2 p ? 2 2 ,

p , 2
O

S

F

P

x

T

2 所以圆 P 的方程为 ? x ? 3 ? ? y ? 8 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

(Ⅱ)设 M ? x0 , y0 ? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
2 2 2 依题意 ? x0 ? 3? ? y0 ? 8 ,即 y0 ? ? x0 ? 6 x0 ?1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2

(ⅰ)当直线 l 斜率不存在时, M 3 ? 2 2, 0 , ①当 x ? 3 ? 2 2 时,由 y 2 ? 4 x ,得 y ? ? 2 2 ? 2 . 不妨设 A 3 ? 2 2, 2 2 ? 2 , B 3 ? 2 2, ?2 2 ? 2 , 则 k AF ? 1, kBF ? ?1, k AF kBF ? ?1, 即 AF ? BF . ②当 x ? 3 ? 2 2 时,同理可得, AF ? BF .………………….6 分 (ⅱ)当直线 l 斜率存在时,因为直线 l 与抛物线 E 交于 A, B 两点, 所以直线 l 斜率不为零, x0 ? 1 且 y0 ? 0 . 因为 l ? MF ,所以 kl kMF ? ?1, 所以 kl ?
O F P M x y A

?

?

?

?

?

? ?

?

1 ? x0 ,…………………………………………………..7 分 y0 1 ? x0 ? x ? x0 ? ? y0 . y0

B

直线 l : y ?

? y 2 ? 4 x, 2 4 y0 4 x 2 ? 4 y0 ? 4 x0 ? 由? 得, y 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y? 0 ? 0 ,· 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0 ? y ? y ? x ? x0 ? ? y0 0 ?
即y ?
2

4 y0 20 x0 ? 4 4 y0 20 x0 ? 4 ,· · · · · · · · · · · · · 9分 y? ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0
2 ? y12 ? ? y2 ? ? 1? ? ? 1? ? y1 y2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 4 ?? 4 ?

所以 FA ? FB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 ? ?

??? ? ??? ?

?y y ? ? 1 2
16

2

2 ?y y ? ?y ? y ? y 2 ? y2 3 ? 1 ? 1 ? y1 y2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? y1 y2 4 16 4 2 2 2
2 2 4 y0 2 30 x0 ? 6 ? 5 x0 ? 1? ? 4 y0 ? ?1 ? x0 ? ? 6 ? 5 x0 ? 1??1 ? x0 ? ?1? ? 2 1 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 2 2 2 ?4 ? x0 ? y0 ? 6 x0 ? 1?

? 5x0 ? 1? ? 2 ?1 ? x0 ?
?

?

?1 ? x0 ?
2

2

2 2 24 x0 ? 4 x0 ? 4 ? 4 y0

?1 ? x0 ?

?

?1 ? x0 ?

2

? 0,

所以 AF ? BF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一.
2 2 2 (Ⅱ)设 M ? x0 , y0 ? ,依题意 ? x0 ? 3? ? y0 ? 8 ,即 y0 ? ? x0 ? 6 x0 ?1, (*) · · · · · · 5分 2

设 A?

???? ? ??? ? ? y2 ? y2 ? y12 ? ? y2 ? ? , y1 ? , B ? 2 , y2 ? ? y1 ? y2 ? ,则 FM ? ? x0 ? 1, y0 ? , AB ? ? 2 1 , y2 ? y1 ? , ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

???? ? y 2 ? ???? ? y 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 MA ? ? 1 ? x0 , y1 ? y0 ? , MB ? ? 2 ? x0 , y2 ? y0 ? ,· ? 4 ? ? 4 ? ???? ? ??? ? ???? ???? 由于 FM ? AB , MA / / MB ,
2 ? y2 ? y12 ? 4 ? x0 ? 1? ? y0 ? y2 ? y1 ? ? 0, ? 所以 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 ? ? ? ? y y 1 2 ? ? ? x0 ? ? y2 ? y0 ? ? ? ? x0 ? ? y1 ? y0 ? ? 0. ? ? ? 4 ? ?? 4

注意到 y1 ? y2 , ?

? ?? y1 ? y2 ?? x0 ? 1? ? 4 y0 ? 0, ? ? y1 y2 ? y0 ? y1 ? y2 ? ? 4 x0 ? 0.

?1? ? 2?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

由(1)知,若 x0 ? 1 ,则 y0 ? 0 ,此时不满足(*) ,故 x0 ? 1 ? 0 , 从而(1) , (2)可化为 y1 ? y2 ? 以下同解法一. (21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思 想、数形结合思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)因为 f ? ? x ? ? a ?

4 y0 20 x0 ? 4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 , y1 y2 ? 1 ? x0 1 ? x0

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? x ? ?1? , g ? ? x ? ? ex ? 1, · x ?1

依题意, f ? ? 0 ? ? g ? ? 0 ? ,解得 a ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 f ? ? x ? ? 1 ?

故 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?1,0? , 单调递增区间为 ? 0, ??? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值 0. 所以 f ? x ?≥0 ,即 x≥ ln ? x ? 1? ,从而 e x ≥x ? 1 . 设 F ? x ? ? g ? x ? ? kf ? x ? ? ex ? k ln ? x ? 1? ? ? k ? 1? x ? 1, 则 F ? ? x ? ? ex ?

1 x ,当 ?1 ? x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . ? x ?1 x ?1

k k · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? k ? 1?≥x ? 1 ? ? ? k ? 1? ,· x ?1 x ?1

(ⅰ)当 k ? 1 时,因为 x≥ 0 ,所以 F ? ? x ?≥x ? 1 ?

1 , ? 2≥0 (当且仅当 x ? 0 时等号成立) x ?1 此时 F ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增,从而 F ? x ? ≥F ? 0 ? ? 0 ,即 g ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · 7分
(ⅱ)当 k ? 1 时,由于 f ? x ?≥0 ,所以 f ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

由(ⅰ)知 g ? x ? ? f ? x ?≥0 ,所以 g ? x ?≥f ? x ?≥kf ? x ? ,故 F ? x ?≥0 ,即 g ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 (ⅲ)当 k ? 1 时, 令 h ? x ? ? e x ?
k k , ? ? k ? 1? ,则 h? ? x ? ? e x ? 2 x ?1 ? x ? 1?

显然 h? ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增,又 h? ? 0 ? ? 1 ? k ? 0, h?

?

k ?1 ? e

?

k ?1

?1 ? 0 ,

所以 h? ? x ? 在 0, k ? 1 上存在唯一零点 x0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 当 x ? ? 0, x0 ? 时, h? ? x ? ? 0, 所以 h ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减, 从而 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,即 F ? ? x ? ? 0, 所以 F ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减, 从而当 x ? ? 0, x0 ? 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,即 g ? x ? ? kf ? x ? ,不合题意. · · · · · · · · ·11 分 综上, 实数 k 的取值范围为 ? ??,1? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值 0. 所以 f ? x ?≥0 ,即 x≥ ln ? x ? 1? ,从而 e x ≥x ? 1 . 设 F ? x ? ? g ? x ? ? kf ? x ? ? ex ? k ln ? x ? 1? ? ? k ? 1? x ? 1, 则 F ? ? x ? ? ex ?

?

?

k k x · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? k ? 1?≥x ? 1 ? ? ? k ? 1? ? ? x ? 1 ? k ? ,· x ?1 x ?1 x ?1

(ⅰ)当 k ≤1 时, F ? ? x ?≥0 在 ?0, ??? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增. 所以 F ? x ? ≥F ? 0 ? ? 0 ,即 g ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
x (ⅱ)当 k ? 1 时,由(Ⅰ)知,当 x ? ?1 时,e ≥x ? 1(当且仅当 x ? 0 时等号成立) ,

1 . 1? x 1 kx x ) ? ex ?1? 所以 F ?( x) ? e ? 1 ? k (1 ? x ?1 x ?1
x ?x 所以当 0 ? x ? 1 时, e ? ? x ? 1 , e ?

? 1 kx x kx ? ?1? ? ? ? 1? x x ?1 1? x x ?1
于是当 0 ? x ? 故当 0 ? x ?

k ? 1? x( x ? 1 ? x2

k ?1 ) k ?1 . · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

k ?1 ? k ?1 ? 时, F ?( x) ? 0, 所以 F ( x) 在 ?0, ? 上单调递减. k ?1 ? k ?1 ?

k ?1 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 g ? x ? ? kf ? x ? ,不合题意. · · · · · ·11 分 k ?1

综上, 实数 k 的取值范围为 ? ??,1? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) (ⅰ)当 k ≤0 时,由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值 0. 所以 f ? x ?≥0 ,即 x≥ ln ? x ? 1? ,从而 e x ≥x ? 1 ,即 g ? x ? ≥0 . 所以 kf ? x ? ≤0 , g ? x ? ≥0 , g ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (ⅱ)当 k ? 0 时, 设 F ? x ? ? g ? x ? ? kf ? x ? ? ex ? k ln ? x ? 1? ? ? k ? 1? x ? 1, 则 F ? ? x ? ? ex ? 令 h ? x ? ? F ? ? x ? ,则 h? ? x ? = e x ?
k

k ? ? k ? 1? , x ?1

? x ? 1?

2



显然 h? ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ①当 0 ? k ≤1 时, 所以 h ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增, h? ? x ?≥h ' ? 0? ? 1 ? k ? 0 , h ? x ?≥h ? 0? ? 0 ; 故 F ? ? x ?≥0 ,所以 F ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增, F ? x ? ≥F ? 0 ? ? 0 ,即 g ? x ?≥kf ? x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ②当 k ? 1 时,由于 h ' ? 0 ? ? 1 ? k ? 0, h '

?

k ?1 ? e

?

k ?1

?1 ? 0 ,

所以 h? ? x ? 在 0, k ? 1 上存在唯一零点 x0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 当 x ? ? 0, x0 ? 时, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递减, 从而 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,即 F ? ? x ? ? 0, F ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减, 从而当 x ? ? 0, x0 ? 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,即 g ? x ? ? kf ? x ? ,不合题意. · · · · · · · · ·11 分 综上, 实数 k 的取值范围为 ? ??,1? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分,作答时请写清题号. (22)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG .· · · · · · · · · 2分 又因为 AD, BE 为△ ABC 的两条中线, 所以点 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ? AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 ?BAD ? ?ADE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 从而 ?BAD ? ?ACG . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
B F G E A

?

?

D

C

(Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点, 故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F , 则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA , 所以△ AFG ∽△ CFA , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以

FA FG ,即 FA2 ? FG ? FC .………………………………………………………9 分 ? FC FA 1 1 3 AB , FG ? GC , FC ? GC , 2 2 2

因为 FA ? 所以

1 3 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 4 4

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, ?BAD ? ?ACG , 因为 D, C , E , G 四点共圆,所以 ?ADB ? ?CEG , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

AB AD ? , ……………………………………………7 分 CG CE 由割线定理, AG ? AD ? AE ? AC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
所以 △ABD ∽ △CGE ,所以 又因为 AD, BE 是 △ABC 的中线,所以 G 是 △ABC 的重心, 所以 AG ?

2 AD ,又 AC =2 AE =2 EC , 3 2 AD 2 2 ? 3, 所以 AD =2 EC ,所以 3 CE AB ? 3 ,因为 CG ? 1 ,所以 AB ? 3 . · 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 CG

(23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)由 ?

? x ? 3cos ? , x2 ? y 2 ? 1, 消去参数 ? ,得 9 ? y ? sin ?
x2 ? y 2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 9

即 C 的普通方程为 由 ? sin ? ? ?

? ?

?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,………(*) · 4?

将?

? x ? ? cos ? , 代入(*) ,化简得 y ? x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y ? ? sin ?
? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4

所以直线 l 的倾斜角为

? ? x ? t cos , ? ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为 ? (t 为 ? ? y ? 2 ? t sin ? ? 4
参数) ,

? 2 t, ?x ? ? 2 即? ( t 为参数) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ?y ? 2? 2 t ? ? 2
代入

x2 ? y 2 ? 1并化简,得 5t 2 ? 18 2t ? 27 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 9

? ? 18 2

?

?

2

? 4 ? 5 ? 27 ? 108 ? 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 5 18 2 .· 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 5
则 t1 ? t2 ? ? 解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 . 由?

? y ? x ? 2,
2 2 ?x ? 9 y ? 9

消去 y 得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
2

于是 ? ? 36 ? 4 ?10 ? 27 ? 216 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

27 18 ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 , ? 0, x1 x2 ? 10 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故 PA ? PB ? 1 ? 1 | x1 ? 0 | ? 1 ? 1 | x2 ? 0 |?
2 2

2 | x1 ? x2 |?

18 2 .· · · · · ·10 分 5

(24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推 理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分.

解法一: (Ⅰ) (ⅰ) 当 x≤ ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 此时原不等式的解是 x ? ?1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (ⅱ)当 ?1 ? x ? ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 2

此时原不等式无解; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 2 此时原不等式的解是 x ? 1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
(ⅲ)当 x≥ ? 综上, M ? x x ? ?1或x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 f ? ab ? ? ab ? 1 ? ? ab ? b ? ? ?1 ? b ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分


?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ab ? b ? 1 ? b ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? b a ?1 ? 1? b . · 因为 a, b ? M ,所以 b ? 1, a ? 1 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 所以 f ? ab? ? a ?1 ? 1? b ,即 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f ? a ? ? f ? ?b ? ? a ? 1 ? ?b ? 1 ≤ a ? 1 ? ? ?b ? 1? ? a ? b , · · · · · · · 7分 所以,要证 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? ,只需证 ab ?1 ? a ? b , 即证 ab ? 1 ? a ? b , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即证 a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b ,
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 即证 a b ? a ? b ? 1 ? 0 ,即证 a ? 1 b ? 1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 2 2 2 因为 a, b ? M ,所以 a ? 1, b ? 1 ,所以 a ? 1 b ? 1 ? 0 成立, 2 2

?

?? ?

?

??

?

所以原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分


2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理试题及参...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理试题及参考答案_其它课程_高中教育_教育专区。2016 年福建省普通高中毕业班单科质量检查 物理试题 (满分:100 分注意事项...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查英语试卷

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查英语试卷_高三英语_英语_高中教育_教育专区。2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查英语试卷参考答案及录音稿 ...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案 ...

福建省2016年4月高中毕业班质量检查数学理word版

b? . 福建省 2016 年 4 月普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或...

福建省2016年普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题

福建省 2016 年普通高中毕业班单科质量检查 文科数学试题(满分:150 分 考试时间:120 分)注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理(试题及答...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理(试题及答案)(1月)电子版_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理(试题及...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查物理试题参考...

2016 年福建省普通高中毕业班单科质量检查 物理试题参考答案及评分标准说明: 定出评分标准是为了使各地尽可能在同一标准下评定成绩。 试题的参考解答是用来说明 评分...

2016届福建省普通高中毕业班单科质量检查化学试题WORD

2016 年福建省普通高中毕业班单科质量检查 化学试题答案及评分说明总说明:? 1.本答案及评分说明供阅卷评分时使用,考生若写出其他正确答案,可参照本说明给分。?...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题...

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题及参考答案 ...

2016届福建省普通高中毕业班单科质量检查化学试题(含参...

2016届福建省普通高中毕业班单科质量检查化学试题(含参考答案及评分细则)_高考_高中教育_教育专区。2016 年福建省普通高中毕业班单科质量检查化学试题 (满分:100 分...