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高中数学必修5第三章不等式精选习题


高中数学必修 5 第三章不等式
一、基本思路: (1)一元一次不等式
b ? ? x ? a (a ? 0 ) ax ? b ( a ? 0 ) ? b ? x ? (a ? 0 ) a ?

(2)一元二次不等式: 判别式 △=b2- 4ac △>0 △=0 △<0

y=ax2+bx+c
的图象

(a>0)

y
x1 O

y

y

x2x
O x1

x

O

x

ax2+bx+c=0
(a>0)的根

有两相异实根

有两相等实根
x1 ? x 2 ?
b 2a

x1, x2 (x1<x2)

b 2a

没有实根

ax2+bx+c>0
(y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}

{x|x≠ ?

}

R

ax2+bx+c<0
(y<0)的解集

{x| x1 < x < x2 }

Φ

Φ

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 三求:求对应方程的根. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 高次不等式: ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ( x ? a n ) ? 0 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想; 4、换元的思想。

二判:判断对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象.

1

高中数学必修 5 第三章不等式精选习题
一、选择题
2 1.若 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(

2

) D. 5 ? 4 x

A. 4 x ? 5 B. ? 3 C.3 2.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( A.
1 a ? 1 b

)
2

B.

1 a

?

1 b

C.a>b ( C. ) B.最大值 )

D.a >2b

2

3.a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 A.a+
1 a
1 2 1 2

? b?

1 b
2

B.
2

c a

?

c b

2a ? b a ? 2b
1 2

?

a b

D.

a?b 2

?

ab ?

2 ab a?b

4.如果实数 x,y 满足 x +y =1,则 xy 有 ( A.最大值 C.最大值 和最小值 ? 没有最小值
2 2

1 2

和最小值-1

D.以上都不对 )
3 4

5.如果实数 x,y 满足 x +y =1,则(1-xy) (1+xy)有 ( A.最小值 C.最小值
2 2

1 2 3

和最大值 1 而无最大值

B.最大值 1 和最小值

D.最大值 1 而无最小值 ) D.5

4

6.如果 x +y =1,则 3x-4y 的最大值是 ( A.3 7.函数 y ? log 1 ( x ?
2

B.
1 x

1 5

C.4

) , (x > 0)的最大值是 (



A.-1
2

B.-2

C.-3

D.0 )

8.函数 y=log 1 (x+ x 1 1 +1) (x >-1)的最大值是 ( ? A.-2 B.2 C.-3 2 2 9.不等式 lgx <lg x 的解集是 ( ) A.(
1 100

D.3
1

,1)
2

B.(100,+∞)
1 2

C. (

,1)∪(100,+∞)

D.(0,1)∪(100,+∞) )
1 16

100

10.若不等式 x -logax<0 在(0, A.
1 16

)内恒成立,则 a 的取值范围是 ( C.0<a≤
1 16

≤a<1

B.

1 16

<a<1

D.0<a<

二、填空题
? x ? ?2 ? x ? ?3

11.不等式组 ?

的负整数解是

.

2

12.若方程 x ? ( m ? 2 ) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是
2

. .

13.若不等式 0≤x -ax+a≤1 有唯一解,则 a 的取值为 14.函数 y ?
1 x
2

2

? x 的值域是
2

.

15.不等式

( x ? 3 )( 10 ? x ) x ( x ? 1)
2

? 0 的解集是

.

三、求下列不等式的解集: 16、 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

17、 ? 2 x ? x ? 5 ? 0
2

18、 12 x ? 17 x ? 20
2

19、 x ? x ? 2 ? 0
2

20、 ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? 1) ? 0

三、解答题 21.求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca .
2 2 2

22.求函数 y ?

x

2

?5
2

的最小值.

x

? 4

3

23.已知 a ? 2 ,求证: log

? a ?1 ?

a ? log

a

?a ? 1?

24.已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ? 1 , ? ? a ?

1 a

,? ? b ?

1 b

,求 ? ? ? 的最小值

25.设 a ? b ? 0 , n 为偶数,证明

b

n ?1 n

?

a

n ?1 n

?

1 a

?

1 b

a

b

26.求证: a ? 1 6 ?
2

(a ? 4) ? 36 ? 2 29
2

证:设向量 p ? ( a , 4 ), q ? (4 ? a , 6 ) ,由 | p | ? | q |? | p ? q | ,得
a ? 16 ?
2

??

?

??

?

??

?

?? ? ?? ? 2 ( a ? 4 ) ? 3 6 ?| p | ? | q | ?| p ? q |

? | ( a , 4) ? (4 ? a , 6) | ? | (4,10) | ?
? 原不等式成立,证毕。

16 ? 100 ? 2 29

27.求证: 1 ?
1 n
2

1 2
2

?

1 3
2

?? ?
1 n ?1

1 n
2

? 2?

1 n

(n ? 2 )

证:?

?

1 n ( n ? 1)

?

?

1 n

(n ? 2 )

?1?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ? ? 2? 1 2 2 3 n ?1 n n

? 原不等式成立,证毕。

4


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