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湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1. (5 分)若 a<b<0,则下列不等式中不能成立的是() A. > B. > C.|a|>|b| D.( ) >( )
a b

2. (5 分)与直线 4x﹣3y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为() A.4x+

3y+5=0 B.4x﹣3y+5=0 C.4x+3y﹣5=0

D.4x﹣3y﹣5=0

3. (5 分)下列命题正确的是() A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几 何体叫棱柱 4. (5 分)已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π,则它的体积为() A.9 π B. 9 C. 3 π D.3 5. (5 分)直线(cos A. )x+(sin B. )y+2=0 的倾斜角为() C. D.

6. (5 分) 设 a, b, c 分别是△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对边的边长, 则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 7. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几 何体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知 直线方程为(2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0.这条直线恒过一定点,这个 定点坐标为() A.( ﹣2m,﹣m﹣4) B. (5,1) C. (﹣1,﹣2) D. (2m,m+4) 9. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则 △ ABC 的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

10. (5 分)已知 a>b,ab=1,则 A.2 B.

的最小值是() C. 2 D.1

11. (5 分)已知 x、y 满足以下约束条件

,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最

优解有无数个,则 a 的值为() A.﹣3 B. 3

C.﹣1

D.1

12. (5 分)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是 () A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分)已知直线(3a+2)x+(1﹣4a)y+8=0 与(5a﹣2)x+(a+4)y﹣7=0 垂直,则 a=. 14. (5 分)在△ ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,则△ ABC 的面积 S△ ABC=.

15. (5 分)下列命题正确的有 ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2) ,B(m,﹣5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1) ,且斜率为 1 的直线的方程为 =1;

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) ,当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化 为截距式. ⑥若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于﹣1.

16. (5 分)设 a1=2,an+1=

,bn=|

|,n∈N+,则数列{bn}的通项公式 bn 为.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)某几何体的三视图如图所示,作出该几何体直观图的简图,并求该几何体的体 积.

18. (12 分)光线从点 A(2,3)射出,若镜面的位置在直线 l:x+y+1=0 上,反射光线经 过 B(1,1) ,求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A 到 B 所走过的路线长. 19. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 20. (12 分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 分离出来的. (1)直接写出∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数. (2)求∠A1C1D 的真实度数. (3)设 BC=1m,如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少体积的水? .

21. (12 分) (本题只限文科学生做)

已知△ ABC 的两个顶点 A(﹣10,2) ,B(6,4) ,垂心是 H(5,2) ,求顶点 C 到直线 AB 的距离. 22. (12 分) (本题只限理科学生做) 已知两定点 A(2,5) ,B(﹣2,1) ,M(在第一象限)和 N 是过原点的直线 l 上的两个动 点,且|MN|=2 ,l∥AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标. 23.已知函数 f(x)=a?b 的图象过点 A(0,
x

) ,B(2, ) .

(I)求函数 f(x)的表达式; * (II)设 an=log2f(n) ,n∈N ,Sn 是数列{an}的前 n 项和,求 Sn; (III)在(II)的条件下,若 bn=an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

24. (本题只限理科学生做) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 (Ⅰ)求证:数列{an﹣2n}为等比数列; (Ⅱ)设 bn=an?cosnπ,求数列{bn}的前 n 项和 Pn; (Ⅲ)设 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: . ,n=1,2,3…

湖北省部分重点中学 2014-2015 学年高一下学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1. (5 分)若 a<b<0,则下列不等式中不能成立的是() A. > B. > C.|a|>|b| D.( ) >( )
a b

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

不等式的基本性质. 不等式. 根据不等式的性质,指数函数的单调性,绝对值的性质判断即可. 解:∵a<b<0, ,|a|>|b|, ( ) >( ) ,
a b

∴ACD 成立

令 a=﹣2,b=﹣1,则

=﹣1, =

,而﹣1<

,故 B 不成立.

故选:B. 点评: 本题主要考查了不等式的性质,指数函数的单调性,绝对值的性质,属于基础题. 2. (5 分)与直线 4x﹣3y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( ) A.4x+3y+5=0 B.4x﹣3y+5=0 C.4x+3y﹣5=0 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件求得故与直线 4x﹣3y+5=0 关于 x 轴对称的直线的斜率为﹣ , 且经过点 (﹣ ,0) ,用点斜式求得要求直线的方程. 解答: 解:直线 4x﹣3y+5=0 的斜率为 ,与 x 轴的交点为(﹣ ,0) , 故与直线 4x﹣3y+5=0 关于 x 轴对称的直线的斜率为﹣ ,且经过点(﹣ ,0) , 故要求的直线方程为 y﹣0=﹣ (x+ ) ,化简可得 4x+3y+5=0, 故选:A. 点评: 本题主要考查关于 x 轴对称的两条直线间的关系,用点斜式求直线的方程,属 于 基础题. 3. (5 分)下列命题正确的是() A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几 何体叫棱柱 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据棱柱和棱台的定义分别进行判断即可. 解答: 解:根据棱柱的定义可知,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个 四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱, 所以 A,B,C 错误,D 正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查棱柱的概念,要求熟练掌握空间几何体的概念,比较基础. 4. (5 分)已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π,则它的体积为() A.9 π B. 9 C. 3 π D.3 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) .

D.4x﹣3y﹣5=0

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 圆锥的底面周长,求出底面半径,然后求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积. 解答: 解:∵圆锥的底面周长为 6π, ∴圆锥的底面半径 r=3; 双∵圆锥的母线长 l=8, 圆锥的高 h= 所以圆锥的体积 V= = =3 π,

故选:C 点评: 本题是基础题,考查计算能力,圆锥的高的求法,底面半径的求法,是必得分的题 目.

5. (5 分)直线(cos A.

)x+(sin B.

)y+2=0 的倾斜角为() C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角.

解答: 解:直线(cos

)x+(sin

)y+2=0 的斜率为:

=﹣



可得直线的倾斜角为:



故选:D. 点评: 本题考查直线的斜率与倾斜角的求法,考查计算能力. 6. (5 分) 设 a, b, c 分别是△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对边的边长, 则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 考点: 正弦定理的应用; 直线的一般式方程与直线的平行关系; 直线的一般式方程与直线 的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 要寻求直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系, 只要先求两直线的 斜率,然后由斜率的关系判断直线的位置即可. 解答: 解:由题意可得直线 sinA?x+ay+c=0 的斜率 斜率 ,bx﹣sinB?y+sinC=0 的

∵k1k2=

=

=﹣1

则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 垂直 故选 C. 点评: 本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断, 主要是通过直线的斜率关 系进行判断,解题中要注意正弦定理的应用.

7. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几 何体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断 正误;同理判断 D 的正误即可. 解答: 解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那 么此几何体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底面积是 ; 当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 , ,高为 1,则体积是

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力; 注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

8. (5 分)已知直线方程为(2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0.这条直线恒过一定点,这个 定点坐标为() A.(﹣2m,﹣m﹣4) B. (5,1) C. (﹣1,﹣2) D. (2m,m+4) 考点: 恒过定点的直线. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由直线(2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0 变形为 m(x﹣2y﹣3)+(2x+y+4)=0, 令 ,即可求出定点坐标.

解答: 解:由直线(2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0 变形为 m(x﹣2y﹣3)+(2x+y+4) =0, 令 ,

解得



∴该直线过定点(﹣1,﹣2) , 故选:C, 点评: 本题考查了直线系过定点问题,考查学生的计算能力,属于基础题. 9. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则 △ ABC 的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、 诱导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ ABC 的形状.

解答: 解:△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= ,故三角形为直角三角形,

故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、 诱导公式的应用, 根据三角函数的 值求角,属于中档题.

10. (5 分)已知 a>b,ab=1,则

的最小值是()

A.2

B.

C. 2

D.1

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据 ab=1,化简 = = , 根据 a>b 推断出 a

﹣b>0,进而利用基本不等式求得其最小值. 解答: 解: ∵a>b ∴a﹣b>0 ∴ ≥2 =2 (当 a﹣b= 时等号成立) = = ,

故选 A. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.在利用基本不等式时要注意一 正,二定,三相等的原则.

11. (5 分)已知 x、y 满足以下约束条件

,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最

优解有无数个,则 a 的值为() A.﹣3 B. 3

C.﹣1

D.1

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,由 z=x+ay,利用 z 的几何意义求最值,要使得取得 最小值的最优解有无数个,只需直线 z=x+ay 与可行域的边界 AC 平行时,从而得到 a 值即 可. 解答: 解:∵z=x+ay 则 y=﹣ x+ z, 为直线 y=﹣ x+ 在 y 轴上的截距 要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个, 则截距最小时的最优解有无数个. ∵a>0 把 x+ay=z 平移,使之与可行域中的边界 AC 重合即可, ∴﹣a=﹣1 ∵a=1 故选 D.

点评: 本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式(组)与平面区域等知识, 解题的关键是明确 z 的几何意义,属于中档题. 12. (5 分)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是 () A. B. C. D.

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 求出平面上点 (x, y) 到直线的距离为 d= , 由于|5 (5x﹣3y+2)

+2|≥2,从而求得所求的距离 d 的最小值. 解答: 解: 直线即 25x﹣15y+12=0,设平面上点(x,y)到直线的距离为 d,则 d= = .

∵5x﹣3y+2 为整数,故|5(5x﹣3y+2)+2|≥2,且当 x=y=﹣1 时,即可取到 2, 故所求的距离的最小值为 = ,

故选 B. 点评: 本题主要考查点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分)已知直线(3a+2)x+(1﹣4a)y+8=0 与(5a﹣2)x+(a+4)y﹣7=0 垂直,则 a=0 或 1. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的垂直关系可得 a 的方程,解方程可得.

解答: 解:∵直线(3a+2)x+(1﹣4a)y+8=0 与(5a﹣2)x+(a+4)y﹣7=0 垂直, ∴(3a+2) (5a﹣2)+(1﹣4a) (a+4)=0, 化简可得 a ﹣a=0,解得 a=0 或 a=1 故答 案为:0 或 1 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 14. (5 分)在△ ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,则△ ABC 的面积 S△ ABC=
2





考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可. 解答: 解:由正弦定理得 即 C=60°或 120°, 则 A=90°或 30°, 则△ ABC 的面积 S△ ABC= S△ ABC= 故答案为: = 或 ; = = ; = 或 得 sinC= = = ,

点评: 本题主要考查三角形面积的计算, 根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题 的关键. 15. (5 分)下列命题正确的有⑤ ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2) ,B(m,﹣5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1) ,且斜率为 1 的直线的方程为 =1;

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) ,当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化 为截距式. ⑥若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于﹣1. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 对每个命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:①α≠90°时,每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之 对应,故不正确; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,0°≤α<90,当倾斜角增大时,斜率也增大;90°<α<180°, 当倾斜角增大时,斜率也增大,故不正确; ③m≠1 时过两点 A( 1,2) ,B(m,﹣5)的直线可以用两点式表示,故不正确;

④过点(1,1) ,且斜率为 1 的直线的方程为

=1(x≠1) ,故不正确;

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) ,当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化 为截距式,正确. ⑥斜率存在时,若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于﹣1,故不正确. 故答案为:⑤. 点评: 本题考查命题的真假判断,考查直线的斜率、倾斜角、直线的方程,属于中档题.

16. (5 分)设 a1=2,an+1=

,bn=|

|,n∈N+,则数列{bn}的通项公式 bn 为 2

n+1



考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: a1=2,an+1=

,可得

=

=﹣2?

,bn+1=2bn,再利用等

比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵a1 =2,an+1= ,



=

=

=﹣2?



∴bn+1=2bn, 又 b1= =4,

∴数列{bn}是等比数列, ∴
n+1



故答案为:2 . 点评: 本题考查了变形利用等比数列的通项公式, 考查了变形能力与计算能力, 属于中档 题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)某几何体的三视图如图所示,作出该几何体直观图的简图,并求该几何体的体 积.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为正方形,高为 1 的四棱锥,求出它的 体积,画出它的直观图. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为正方形,高为 1 的四棱锥, 且底面正方形的边长为 1; ∴该四棱锥的体积为 V= ×1 ×1= , 画出该四棱锥的直观图如图所示.
2

点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题, 也考查了直观图的画法问 题,是基础题目. 18. (12 分)光线从点 A(2,3)射出,若镜面的位置在直线 l:x+y+1=0 上,反射光线经 过 B(1,1) ,求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A 到 B 所走过的路线长. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题. 分析: 求出点 A 关于 l 的对称点, 就可以求出反射光线的方程, 进一步求得入射点的坐标, 从而可求入射光线方程,可求光线从 A 到 B 所走过的路线长. 解答: 解:设点 A 关于 l 的对称点为 A′(x0,y0) ,

∵AA′被 l 垂直平分,∴

,解得

∵点 A′(﹣4,﹣3) ,B(1,1)在反射光线所在直线上,

∴反射光线的方程为

=

,即 4x﹣5y+1=0,

解方程组

得入射点的坐标为(﹣ ,﹣ ) .

由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为

,即 5x﹣4y+2=0,

光线从 A 到 B 所走过的路线长为|A′B|=

=



点评: 本题重点考查点关于直线的对称问题, 考查入射光线和反射光线, 解题的关键是利 用对称点的连线被对称轴垂直平分. 19. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用. 分析: (Ⅰ)先通过余弦定理求出 a,b 的关系式;再通过正弦定理及三角形的面积求出 a,b 的另一关系式,最后联立方程求出 a,b 的值. (Ⅱ)通过 C=π﹣(A+B)及二倍角公式及 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求出 ∴sinBcosA=2sinAcosA.当 cosA=0 时求出 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的面积; 当 cosA≠0 时,由正弦定理得 b=2a,联立方程 解得 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵c=2,C= ∴a +b ﹣ab=4, 又∵△ABC 的面积等于 ∴ ∴ab=4 联立方程组 ,解得 a=2,b=2 ,
2 2



,c =a +b ﹣2abcosC

2

2

2



(Ⅱ)∵sinC+sin(B﹣A)=sin(B+A)+sin(B﹣A)=2sin2A=4sinAc osA, ∴sinBcosA=2sinAcosA 当 cosA=0 时, , , , ,求得此时

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,

联立方程组

解得





所以△ ABC 的面积 综上知△ ABC 的面积 点评: 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角 函数有关知识的能力. 20. (12 分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 分离出来的. (1)直接写出∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数. (2)求∠A1C1D 的真实度数. (3)设 BC=1m,如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少体积的水?

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数都是 45°; (2)连接 DA1,则△ A1C1D 的三条边都是正方体的面对角线,都是 ,利用等边三角形 的性质即可得出; (3) 如果用图示中的装置来盛水, 那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 C1﹣C B1D1 的体积, 即可得出. 解答: 解: (1)∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数都是 45°; (2)连接 DA1,则△ A1C1D 的三条边都是正方体的面对角线, 都是 , ∴△A1C1D 是等边三角形, ∴∠A1C1D=60°. (3)如果用图示中的装置来盛水,那么最多能盛的水的体积等于 三棱锥 C1﹣C B1D1 的体积, 而 = = = .

点评: 本题考查了正方体的直观图的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式, 考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 21. (12 分) (本题只限文科学生做) 已知△ ABC 的两个顶点 A(﹣10,2) ,B(6,4) ,垂心是 H(5,2) ,求顶点 C 到直线 AB 的距离. 考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线 AC,BC 的方程,可得 C 的坐标,求出直线 AB 的方程,利用点到直线 的距离公式求出顶点 C 到直线 AB 的距离. 解答: 解:∵ ∴直线 AC 的方程为 ∴ 即 x+2y+6=0 (1)

又∵kAH=0, ∴BC 所直线与 x 轴垂直 故直线 BC 的方程为 x=6 (2) 解(1) (2)得点 C 的坐标为 C(6,﹣6)…(8 分) 由已知直线 AB 的方程为:x﹣8y+26=0, ∴点 C 到直线 AB 的距离为: d= = …(12 分)

点评: 本题考查直线方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.

22. (12 分) (本题只限理科学生做) 已知两定点 A(2,5) ,B(﹣2,1) ,M(在第一象限)和 N 是过原点的直线 l 上的两个动 点,且|MN|=2 ,l∥AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标. 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 由点 A、B 的坐标并利用斜率公式得 kAB=1,求出 l 的方程,设 M(a,a) (a>0) , N(b,b) ,利用 求解即可. 解答: (理) 解:由两定点 A(2,5) ,B(﹣2,1) ,得 kAB=1,于是 k1=1,从而 l 的方程为 y=x,…(2 分) 设 M(a,a) (a>0) ,N(b,b) ,由 故|a﹣b|=2…(4 分) 直线 AM 的方程为: 直线 BN 的方程为: 分) 故 ,化简得 a=﹣b,将其代入|a﹣b|=2,并注意到 a>0,得 a=1,b=﹣1 ,令 x=0,则得 C 的坐标为 ,令 x=0,则得 C 的坐标为 …(9 ,得 , ,求出|a﹣b|=2,得 C 的坐标为 与

所以点 C 的坐标为(0,﹣3)…(12 分) 点评: 本题考查直线方程的求法,交点坐标的求法,考查计算能力.
x

23.已知函数 f(x)=a?b 的图象过点 A(0, (I)求函数 f(x)的表达式;
*

) ,B(2, ) .

(II)设 an=log2f(n) ,n∈N ,Sn 是数列{an}的前 n 项和,求 Sn; (III)在(II)的条 件下,若 bn=an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (I)因为 A 和 B 在函数图象上代入求出 a,b 即可得到 f(x)的解析式; (II)求得 an=log2f(n)=n﹣4,得到 an 为首项为﹣3,公差为 1 的等差数列,则 Sn 是数列 的前 n 项和,利用等差数列的求和公式得到即可; (III)在(II)的条件下,若 bn=an =(n﹣4) ,所以得到 Tn,求出其一半,

利用错位相减法得到即可. x 解答: 解: (I)∵函数 f(x)=a?b 的图象过点

A(0,

) ,B(2, )



解得:a=

,b=2,∴f(x)=2

x﹣4

(II)an=log2

f(n)

=

=n﹣4

∴{an}是首项为﹣3,公差为 1 的等差数列 ∴Sn=﹣3n+ n(n﹣1)= n(n﹣7) ; (III)bn=an Tn=﹣3× +(﹣2)× =(n﹣4) +…+(n﹣4)× ①

=﹣3×

+(﹣2)×

+…+(n﹣4)×



①﹣②,得: Tn=﹣3× + ∴Tn=﹣2﹣(n﹣2) .

+

+…+

﹣(n﹣4)×

点评: 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力, 以及等差数列前 n 项和公式的运用 能力,用错位相减法求数列之和的能力. 24. (本题只限理科学生做) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 (Ⅰ)求证:数列{an﹣2n}为等比数列; (Ⅱ)设 bn=an?cosnπ,求数列{bn}的前 n 项和 Pn; (Ⅲ)设 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: . ,n=1,2,3…

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)将 n 换成 n﹣1,两式相减,再由等比数列的定义,即可得证; (Ⅱ)运用等比数列的通项公式,可得数列{an}的通项,讨论 n 为奇数和偶数,运用分组求 和,即可得到所求; (Ⅲ)求得{cn}的通项,由 n=1,n>1,运用放缩法,结合不等式的性质,即可得证. 解答: (Ⅰ)证明:∵ ∴ . ,

∴an+1=2an﹣2n+2,∴an+1﹣2(n+1)=2(an﹣2n) . ∴{an﹣2n}是以 2 为公比的等比数列; (Ⅱ)解:a1=S1=2a1﹣4,∴a1=4,∴a1﹣2×1=4﹣2=2. ∴ ,∴ .

当 n 为偶数时,Pn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn﹣1)+(b2+b4+…+bn) 3 2 4 n =﹣(2+2×1)﹣(2 +2×3)﹣…﹣+(2 +2×2)+(2 +2×4)+…+(2 +2×n) = ;

当 n 为奇数时,Pn=



综上,



(Ⅲ)证明:



当 n=1 时,T1= 当 n≥2 时,



=

=



综上可知:任意 n∈N*,



点评: 本题考查数列的通项和求和之间的关系, 同时考查等比数列的定义和通项公式的运 用,数列的求和:分组求和法,以及不等式的放缩法的运用,属于中档题.


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