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学案9函数的奇偶性


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学案 9§3.3 函数的奇偶性及周期性 基础回顾 1.奇偶性的定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有_______________,那么函数 f(x) 就叫做偶函数 .一般地,如果对于函数 f(x)的定义

域内任意一个 x,都有_______________,那么函数 f(x) 就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于______对称; (2)考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x) : 若 f(-x)=_______,则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=________,则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)=_______且 f(-x)=________,则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x) ,则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非 偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ______,偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性______(填“相同” 、 “相反” ). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是_________; ③一个奇函数,一个偶函数的积是_________. 4.函数的周期性 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都 成立,那么 f(x)是周期函数, 也是函数的周期 一、课前小试 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x 3 ? 2x (2) f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 (3) f ( x) ? x 2 ? x ? 5 是它的周期,若 T 是函数的一个周期,则 nT(n ? N , n ? 0 ) (4) f ( x) ? x 2 , x ? (0,??) (5) f ( x) ?

x3 ? x2 x ?1

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: 1 ; (1)f(x)= (2) f ( x) ? x x ?1 (3)f(x)= 3 ? x 2 ? x 2 ? 3 (4) f ( x) ? lg
1? x ; 1? x

[思路点拨] 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较 f(x)与 f(-x)之间是否相等 或相反.

【例 2】已知函数 f(x)对一切 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)试判断 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12). [思路点拨]

智能迁移 1、已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).求证:f(x)是奇函数;

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例 3 已知 f(x)是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ,求 f(x)的表达式

A.f(x)f(-x)是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数

B.f(x)|f(-x)|是奇函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 . )

4.已知函数 y=f(x)为奇函数,若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)- f(-3)= 5.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( A.y=-x3,x∈R 三、高考印证
1 ? x 的图象关于( ) x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 2.(2009 · 陕 西 文 , 10) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) , 对 任 意 x1,x2 ∈ [0,+ ∞ )(x1 ≠ x2), 有

智能迁移 3 已知 f(x)是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x x ? 2 ,求当 x ? 0 时,f(x)的表达式

) D.y=(
1 x ) ,x∈R 2

B.y=sinx,x∈R

C.y=x,x∈R

1.(2008·全国Ⅱ理)函数 f ( x) ?

7.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是( ) 1 x 2? x A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. f ( x) ? (a ? a ? x ) D. f ( x) ? ln 2 2? x 8 已知 A.-26

f ( x) ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) 等于(
B.-18 C.-10 D.10



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则 x2 ? x1

( B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3)

) 9.设函数 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,且 f(x)为奇函数, f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0, 求实数 D.f(3)<f(1)<f(-2)

A.f(3)<f(-2)<f(1)

3.下列函数中,既是偶函数、又在 (A) y ? x
3

?0, ??? 单调递增的函数是
2 (C) y ? ? x ? 1

m 的取值范围

(B)

y ? x ?1

(D) y ? 2

?x

作业练习 1. 函数 y ? ax ? bx ? c 是偶函数的充要条件是___________
2

2.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是 ( A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x 3.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是

) D.y=-|x|cos x ( )


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