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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 3.2.1 实际问题中导数的意义


§2 导数在实际问题中的应用

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2.1 实际问题中导数的意义

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1.利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数求解有关实际问题. 3.了解数学来源于现实生活又服务于现实生活.

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生活中的变化率问题 (1)在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特. (2)在气象学中,通常把在单位时间(如 1 时、1 天等)内的降雨量称作降 雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本 y 关于产量 x 的函数 y=f(x)的导函数 称为边际成本,f'(x0)指的是当产量为 x0 时,生产成本的增加速度,也就是当产 量为 x0 时,每增加一个单位的产量,需要增加 f'(x0)个单位的成本.

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理解导数在实际问题中的意义 剖析:要理解导数在实际问题中的意义,第一要正确理解导数的定义,按 导数的定义去思考实际问题.第二要看函数的改变量 Δy 及自变量的改变量 Δx 的实际意义.第三再看 Δx 趋于 0 时, 趋于一个固定的值的实际意义.
Δ Δ

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题型

导数在实际问题中的应用
1 2

【例 1】 自由落体运动的运动方程为 s= gt2(s 的单位为 m,t 的单位为 s). (1)求 t 从 3 s 变到 3.1 s 时,s 关于时间 t 的平均变化率,并解释它的实际 意义; (2)求 s'(3). 分析:(1)求 s 关于 t 的平均变化率,即求 ; (2)先求出 s'(t),再计算 s'(3). 故
Δ Δ Δ Δ

解:(1)Δs=s(3.1)-s(3)= g×3.12- g×32=0.305g(m),Δt=3.1-3=0.1(s), = 它表示在 t=3 s 到 t=3.1 s 这段时间内,自由落体运动的物体的平均速度 为 3.05g(m/s). (2)∵s'=gt,∴s'(3)=3g(m/s).它表示自由落体运动的物体在 t=3 s 时的瞬 时速度为 3g m/s. 反思路程对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度.
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0.305 =3.05g(m/s). 0. 1

1 2

1 2

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【变式训练 1】 假设某国家在 20 年间通货膨胀率为 5%,物价 p(单位: 元)与时间 t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中 p0 为 t=0 时的物 价.假定某种商品的 p0=1,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度 大约是多少?(精确到 0.01 元/年). 解:因为 p0=1,所以 p(t)=(1+5%)t=1.05t, 根据基本初等函数的导数公式,得 p'(t)=(1.05t)'=1.05t×ln 1.05, 所以 p'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年). 故在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度约为 0.08 元/年.

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【例 2】 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品,需要对原油进行冷却 和加热.如果在第 x h 时,原油的温度(单位:℃)为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8). 计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 分析:用导数的定义求解,并说明实际意义. 解:在第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f'(2)和 f'(6).根据导 数的定义,得
(2+Δ)-(2) (2+Δ) -7(2+Δ)+15-(22 -7×2+15) 4Δ+Δ2-7Δ = = = =Δx-3, Δ Δ Δ y 所以 f'(2)= lim = (Δx-3)=-3. Δ →0 x x →0 Δ Δ
2

同理可得 f'(6)=5. 所以在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为-3 和 5,它说明 在第 2 h 附近,原油温度大约以 3 ℃/h 的速度下降;在第 6 h 附近,原油温度 大约以 5 ℃/h 的速度上升.f'(x0)反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 反思要弄清实际问题中导数的意义,一定要正确计算 Δy 和 Δx,并知道它 们的实际意义,再看 ,当 Δx 趋于 0 时, 趋于定值的实际意义.
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Δ Δ

Δ Δ

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【变式训练 2】 某工厂设计一个密闭容器,下部是圆柱体形,上部是半 球形,容积为常数 V,当圆柱的底面半径 r 与高 h 为何值时,制造这个容器的 用料最省? 解:由题意知,该容器的表面积 S=2πr2+πr2+2πrh =3πr2+2πrh. 2 ∵V= πr3+πr2h, ①
3 4 2 2 ∴3πr +2πrh= , 5 2 ∴S=3πr2+ . 10 2 ∴S'= 3 πr- 2 .

令 S'=0,解得 r=

3

3V . 5
3

代入①式,得 h=r= 故当 h=r=
3

3 . 5π

3V 时,用料最省. 5

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2

3

4

( B. C. D.

1 物体运动的规律是 s=s(t),物体在 t 到 t+Δt 这段时间内的平均速度为 )
Δ (+Δ)-() = Δ Δ (Δ) = Δ s (+Δ)-() = lim = Δ Δ →0 t t →0 () =

A. =

答案:A

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2 如果质点 A 按规律 s=3t2 运动,那么在 t=3 时的瞬时速度为( A.6 B.18 C.54 D.81 解析:瞬时速度
Δ →0

)

= lim 3(6+Δt)=18. 答案:B

s v= lim Δ →0 t

=

3(3+Δ) -3×32 Δ t →0

2

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3 某一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的 初速度是 . 解析:s'=3-2t,s'(0)=3,即物体的初速度是 3. 答案:3

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4 竖直向上弹射一个小球,小球的初速度为 100 m/s,试求小球何时的瞬 时速度为 0?(g≈9.8 m/s2) 解:小球的运动方程为 h(t)=100t- gt2, 则 h'(t)=100-gt. 令 h'(t)=0,得 t=
100 1 2



100 ≈10.2(s). 9.8

即小球被弹射 10.2 s 后,瞬时速度变为 0.

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