nbhkdz.com冰点文库

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质


第五节

直线、平面垂直的判定与 性质

[主干知识梳理] 一、直线与平面垂直

1.直线和平面垂直的定义
直线l与平面α 内的任意一条 直线都垂直,就说直线l与 平面α 互相垂直.

2.直线与平面垂直的判定定理及推论

3.直线与平面垂直的性质定理
<

br /> 二、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的判定定理

2.平面与平面垂直的性质定理

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,


( A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l )

D.垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直

D [A中平面可与α平行或相交,不正确.

B中直线可与α垂直或斜交,不正确.
C中平面可与直线l平行或相交,不正确.]

2.如图,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是 ( A.A1D C.A1D1 B.AA1 D.A1C1 )

D [易知 A1C1⊥平面 BB1D1D.

又 B1O?平面 BB1D1D,∴A1C1⊥B1O.]

3.(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m,直线a

在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是
“a⊥b”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A [由 α⊥β 和 b⊥m,知 b⊥α,又 a?α,∴a⊥b, “α⊥β”可以

推出“a⊥b” ,反过来,不一定能推出,即“α⊥β”是“a⊥b”的 充分不必要条件.]

4.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC, 则图中直角三角形的个数为________. 解析 由线面垂直知,图中直角三角

形为4个.
答案 4

5.(教材习题改编)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是 正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB.则下列命题正确的

有________.
①PA⊥AD; ②平面ABC⊥平面PBC; ③直线BC∥平面PAE;④直线PD与 平面ABC所成角为30°.

解析 由 PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AD, 故①正确; ②中两平面不垂直; ③中 AD 与平面 PAE 相交,BC∥AD,故不正确; ④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案 ①

[关键要点点拨] 1.在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成

立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,
即:

2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面 的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线

来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理.
3.几个常用的结论: (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

平行、垂直关系的基本问题 [典题导入] 若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的

平面,给出下列命题:①若m,n都平行于平面α,则m,n一
定不是相交直线;②若m、n都垂直于平面α,则m,n一定是 平行直线;③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,

则n⊥β;④m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂
直.其中的假命题的序号是________.

[听课记录]

显然错误,因为平面α∥平面β,平面α内的所

有直线都平行β,所以β内的两条相交直线可同时平行于α;
②正确;如图1所示,若α∩β=l,且n∥l,当m⊥α时,m⊥n, 但n∥β,所以③错误;如图2显然当m′⊥n′时,m不垂直于n, 所以④错误.

答案 ①③④

[规律方法] 解决此类问题常用的方法有:①依据定理条件才能得出结论

的,可结合符合题意的图形作出判断;②否定命题时只需举
一个反例.③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛 选.

[跟踪训练]

1.(2014·长春模拟)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个
不同的平面,则下列四个命题: ①若a⊥b,a⊥α,b?α,则b∥α; ②若a∥α,a⊥β,则α⊥β; ③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a?α;

④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的个数为 ( )

A.1
C.3

B.2
D.4

D [对于①,由 b 不在平面 α 内知,直线 b 或者平行于平面 α, 或者与平面 α 相交,若直线 b 与平面 α 相交,则直线 b 与直线 a 不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正确.对于②, 由 a∥α 知,在平面 α 内必存在直线 a1∥a,又 a⊥β,所以有 a1 ⊥β,所以 α⊥β,②正确.对于③,若直线 a 与平面 α 相交于点 A,过点 A 作平面 α、β 的交线的垂线 m,则 m⊥β,又 α⊥β,则 有 a∥m,这与“直线 a、m 有公共点 A”相矛盾,因此③正 确.对于④,过空间一点 O 分别向平面 α、β 引垂线 a1、b1,则有 a∥a1, b∥b1, 又 a⊥b, 所以 a1⊥b1, 所以α⊥β, 因此④正确. 综 上所述,其中正确命题的个数为 4.]

直线与平面垂直的判定与性质 [典题导入] 如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N分别

是AB,PC的中点,若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

[听课记录] 证法一:取 CD 的中点 E,连接 NE,ME,MC、PM. PA⊥平面 ABCD?PA⊥AD,

∠PDA=45°?PA=AD=BC, 又 M 是 AB 的中点,

证法二:如图,取 PD 的中点 F,连接 AF,NF. ∵F,N 分别为 PD,PC 的中点, 1 ∴FN 綊 CD. 2 又∵CD 綊 AB, 1 ∴FN 綊 AB,即 FN 綊 AM, 2

∴四边形 AFNM 为平行四边形, ∴MN∥AF. ∵PA⊥平面 ABCD 且∠PDA=45°, ∴△PAD 为等腰直角三角形, ∴AF⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD.

又 AF?平面 PAD,

∴CD⊥AF. 又 PD∩CD=D, ∴AF⊥平面 PCD. 又∵AF∥MN, ∴MN⊥平面 PCD.

[互动探究]
若将本例条件改为“△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面 ABCD,四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点”, 试问直线MN与平面PCD是否仍然垂直?

解析 如图,取 PD 的中点为 F,连接 AF,NF. ∵F,N 分别 PD,PC 的中点, 1 ∴FN 綊 CD. 2 1 又∵CD 綊 AB,∴FN 綊 AB, 2

即 FN 綊 AM,

∴四边形 AFNM 为平行四边形, ∴MN∥AF. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD.

∵AF?平面 PAD,∴CD⊥AF.

又∵△PAD为正三角形,且F为PD的中点, ∴AF⊥PD.

又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD,
即直线MN与平面PCD仍然垂直.

[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理. (2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α?b⊥α).

(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β).

(4)利用面面垂直的性质. 当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于

另一个平面

[跟踪训练] 2.(2013· 江西高考)如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥ CD,AD⊥AB,AB=2,AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点, DE=1,EC=3.

(1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. 解析 (1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F, 则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC=2. 在 Rt△BFE 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6. 在△BEC 中,因为 BE2+BC2=9=EC2, 故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1, 所以 BE⊥平面 BB1C1C.

1 (2)三棱锥 E-A1B1C1 的体积 V= AA1·S△A1B1C1 3 = 2.
2 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1D1 +D1C2 1=3 2.

同理,EC1= EC2+CC2 1=3 2, A1E= A1A2+AD2+DE2=2 3. 故 S△A1C1E=3 5. 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1-A1C1E 的体积 V 1 = ·d·S△A1C1E= 5d, 3 10 从而 5d= 2,d= . 5

面面垂直的判定与性质 [典题导入] (2013·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中, AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,

PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点.
求证:(1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD.

[听课记录] (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这 两个平面的交线AD,

所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED为平行四边形. 所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF.

所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.

[规律方法]

1.判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定义. (2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β). 2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化 为线面垂直或线线垂直.

转化方法:在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂
直,然后进一步转化为线线垂直.

[跟踪训练] 3.(2014· 潍坊二模)如图,在几何体 ABCDE 中,平面 ABC⊥平面

BCD, AE∥BD, △ABC 为边长等于 2 的正三角形, CD=2 3, BD=4,AE=2,M 为 CD 的中点. (1)证明:平面 ECD⊥平面 ABC; (2)证明:EM∥平面 ABC.

证明 (1)在△BCD 中,BC=2,CD=2 3,BD=4, 所以 BC2+CD2=BD2,故 BC⊥CD. 又因平面 ABC⊥平面 BCD, 平面 ABC∩平面 BCD=BC,所以 DC⊥平面 ABC. 又因为 DC?平面 ECD, 所以平面 ECD⊥平面 ABC.

(2)取 BC 的中点 F,连接 FM. 1 在△BCD 中,CF=FB,CM=MD,所以 FM 綊 BD. 2 1 因为 AE=2,BD=4,所以 AE= BD. 2

又 AE∥BD,所以 FM 綊 AE, 所以四边形 AEMF 为平行四边形,故 AF∥EM. 又因为 AF?平面 ABC,EM?平面 ABC, 所以 EM∥平面 ABC.

【创新探究】 立体几何中综合问题的解法 (2012· 高考天津卷)如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3, PD=CD=2. (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

【思路导析】 (1)利用“平移法”求解;(2)要证面面垂直可先证 线面垂直;(3)作出线面角,在三角形中求解. 【解析】 (1)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩 形,所以 AD=BC 且 AD∥BC.故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. 又因为 AD⊥PD, PD 在 Rt△PDA 中,tan∠PAD= =2, AD 所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.

(2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD⊥CD. 又因为 AD⊥PD,CD∩PD=D,所以 AD⊥平面 PDC. 而 AD?平面 ABCD,所以平面 PDC⊥平面 ABCD. (3)在平面 PDC 内,过点 P 作 PE⊥CD 交直线 CD 于点 E,连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD, 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线,故 PE⊥平面 ABCD.

由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在△PDC 中,由于 PD=CD=2,PC=2 3, 可得∠PCD=30°. 在 Rt△PEC 中,PE=PCsin 30°= 3. 由 AD∥BC,AD⊥平面 PDC,得 BC⊥平面 PDC, 因此 BC⊥PC.

在 Rt△PCB 中,PB= PC2+BC2= 13. PE 39 在 Rt△PEB 中,sin∠PBE= = . PB 13 39 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 . 13

【高手支招】

本题主要考查异面直线所成的角、平面与平

面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能

力、运算求解能力和推理论证能力.证明线面关系不能仅仅
考虑线面关系的判定和性质,更要注意对几何体的几何特征 的灵活应用.求空间角时要根据几何体的特点转化为平面角, 同时要注意对几何体中数据的正确利用.

[体验高考] (2013· 浙江高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7, PA= 3,∠ABC=120°.G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥平面 APC; (2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值; PG (3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求 的值. GC

解析 (1)证明:设点O为AC,BD的交点. 由AB=BC,AD=CD, 得BD是线段AC的中垂线.

所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD, BD?平面ABCD, 所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.

(2)连接 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC, 则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG, 所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角. 1 3 由题意得 OG= PA= . 2 2 在△ ABC 中, AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC=2 3, 1 所以 OC= AC= 3. 2

在直角△ OCD 中,OD= CD2-OC2=2. OD 4 3 在直角△ OGD 中,tan∠OGD= = . OG 3 4 3 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 . 3

(3)连接 OG.因为 PC⊥平面 BGD,OG?平面 BGD,

所以 PC⊥OG.在直角△PAC 中,得 PC= 15. AC·OC 2 15 所以 GC= = . PC 5 3 15 PG 3 从而 PG= ,所以 = . 5 GC 2

课时作业


2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第5节 直线平面垂直的判定与性质_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第4节 直线、平面平行的判定及性质

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第4节 直线平面平行的判定及性质_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第5节 数列的综合应用

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第5节 数列的综合应用_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第5节 椭圆

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第5节 椭圆_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 ...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第7节 空间向量与空间角]

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第7节 空间...·AC=0; ②平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直; ③异面直线 BC ...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第3节 空间点、直线、平面间的位置关系]

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第3节 空间点、直线平面间的位置关系]_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第5节 函数的图象

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第5节 函数的图象_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第7节 数学归纳法

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第7节 数学归纳法_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第5节 合情推理与演绎推理

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第5节 合情推理...n+2 答案 f(2n)≥ 2 7.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角...

相关文档

更多相关标签