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北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(理)试题


北京市东城区普通高中示范校 2015 届上学期高三年级综合能力测试 数学试卷(理科)

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分。考试时长 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题。(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 1. 设

U=R,集合 A ? ?x | x ? 0? , B ? x ? Z | x 2 ? 4 ? 0 ,则下列结论正确的是 A. ?CU A? ? B ? ?? 2, ? 1, 0? C. ?CU A? ? B ? ? 1, 2? B. ?CU A? ? B ? (??, 0] D. A ? B ? ?0, ? ??

?

?

x2 y2 ? ? 1?0 ? m ? 3? 的焦距为 2. 双曲线 36 ? m 2 m 2
A. 6 B. 12
4

C. 36

D. 2 36 ? 2m

2

? 1 ? 3. 设二项式 ? ?x? 3 ? ? 的展开式中常数项为 A,则 A= x? ?
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6

4. 如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ? 17 ”之值,则判断框内不能填入

A. k ? 17 ? 5. 已知 f ?x? ? 4
x

B. k ? 23

C. k ? 28 ?

D. k ? 33 ?

? x 2 ? a 有唯一的零点,则实数 a 的值为

-1-

A. 0

B. -1

C. -2

D. -3

6. 设 a, b, c, A, B, C 为非零常数,则“ ax2 ? bx ? c ? 0 与 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 解集相 同”是“

a b c ? ? ”的 A B C
B. 充分必要条件 D. 充分而不必要条件

A. 既不充分也不必要条件 C. 必要而不充分条件

? ?2 x ? y ? 1 ? 0,? ? ? ? 7. 设集合 P ? ?? x, y ? ? x ? m ? 0, 集合 Q ? ??x, y ? | x ? 2 y ? 2? , 若P ? Q, ? ? ?, ? ?y ? m ? 0 ? ? ? ?
则实数 m 的取值范围是 A. ? ? ?,

? ?

1? ? 3?

B. ? ?

? 2 ? , ? ?? ? 3 ?

C. [ ?

2 1 , ) 3 3

D. [?

2 , ? ?) 3

8. 已知 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 不等式 f ?x ? a ? ? f ?2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立, 2 ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? 0 ?

则实数 a 的取值范围是 A.

?? 2, 0?

B.

?? ?, 0?

C. ?0, 2?

D. ?? ?, ? 2?

第 II 卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题。(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 复数

1 ? 2i 的虚部为__________。 2?i

10. 已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆), 根据图中标出的尺寸(单位:

cm ),可得这个几何体的体积是__________ cm3 。

-2-

11. 如图,△ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 与⊙O 相切,割线 DM 与⊙O 相交于点 M,N,若∠B=30°,AC=1,则 DM ? DN=____________。

12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表:假定每月初可以和电信部门约定上网方案。 方案 甲 乙 丙 类别 包月制 有限包月制(限 60 小时) 有限包月制(限 30 小时) 基本费用 70 元 50 元 30 元 0.05 元/分钟(无上限) 0.05 元/分钟(无上限) 超时费用

若某用户每月上网时间为 66 小时,应选择__________方案最合算。 13. 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,若 a1 ? 的通项公式为 an ? _______________。 14. 圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图装置的边长为 1 的正方形(实线所示,正 方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位 置,则点 A 走过的路径的长度为____________。

1 , 2a n ?1 ? S n ? 0 ,n ? 1, 2, ...,则数列 ?an ? 2

-3-

三、解答题。(本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 c ? 1 , 且 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 。 (I)求 C 的大小; (II)求 a 2 ? b 2 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值。 16. (本小题满分 13 分) 如 图 , 四 棱 锥 P? ABCD 中 , PA ⊥ 平 面 ABCD , ∠ ABC= ∠ BAD=90 ° , AD=2PA=2AB=2BC=2。

(I)求三棱锥 P ? ACD 的外接球的体积; (II)求二面角 B ? PC ? A 与二面角 A ? PC ? D 的正弦值之比。 17. (本小题满分 13 分)

1, 2, 3, 4, 5?,从 S 的所有非空子集中,等可能地取出一个。 设集合 S ? ?
(I)设 A ? S ,若 x ? A ,则 6 ? x ? A ,就称子集 A 满足性质 p ,求所取出的非空子 集满足性质 p 的概率; (II)所取出的非空子集的最大元素为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ?? ? 。

-4-

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 W :

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F( m ,0),过点 M(-3,0)作 2m ? 10 m ? 2

一条斜率大于 0 的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A、B,延长 BF 交椭圆 W 于点 C。

(I)求椭圆 W 的离心率; (II)若∠MAC=60°,求直线 l 的斜率。 19. (本小题满分 13 分) 已知定义在 ?1, ? ?? 上的函数 f ?x ? ? x ? ln x ? 2 , g ?x ? ? x ln x ? x 。 (I)求证: f ?x ? 存在唯一的零点,且零点属于(3,4); (II)若 k ? Z 且 g ?x ? ? k ?x ? 1?对任意的 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 20. (本小题满分 14 分) 给定正奇数 n?n ? 5? ,数列 ?an ? : a1 , a2 , ..., an 是 1,2,?, n 的一个排列,定义 E ( a1 , a 2 ,?, an ) ?| a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? n | 为数列 ?an ? : a1 , a2 ,?, an 的 位差和。 (I)当 n ? 5 时,求数列 ?an ? :1,3,4,2,5 的位差和; (II)若位差和 E( a1 , a2 ,?, an )=4,求满足条件的数列 ?an ? : a1 , a2 ,?, an 的个数; (III) 若位差和 E ?a1 , a 2 , ..., a n ? ? 个数。

n2 ?1 , 求满足条件的数列 ?an ? :a1 , a2 , ..., an 的 2

-5-

参考答案: 一、选择题。(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D

7. 提 示 : 由 图 可 知 ,不 等 式 组 所 表 示 的 区 域 非 空 当 且 仅 当 点 ( ? m, m ) 位 于 直 线

2 x ? y ? 1 ? 0 的下方,即 m ? 2?? m? ? 1,由此解得 m ?

1 。 3 2 。 3

原题等价于函数 x ? 2 y 的最大值小于 2, ?? m? ? 2m ? 2, 即 m ? ?

8. 提示: f ?x ? 为 R 上的减函数, 故 f ?x ? a ? ? f ?2a ? x ? ? x ? a ? 2a ? x , 从而 2 x ? a , 所以 2?a ? 1? ? a ,得 a ? ?2 。

二、填空题。(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. -1 10. 8 ? ? 11. 3 12. 乙

?1 , n ? 1, ? ?2 13. a n ? ? ?? 1n , n ? 2 ? ? 2
14.

?2 ? 2 ??
2

提示:A 走过的路径由 9 段圆心角均为

? 的劣弧组成,其中 6 个劣弧所在 6

圆的半径为 1,3 个劣弧所在圆的半径为 2 ,所以点 A 走过的路径的长度为

?

?1 ? 6

2 ?1?1? 2 ?1?1? 2 ?1 ?

? ?2 ? 2 2 ?? 。

三、解答题。(共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(I)由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 , 可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 , 即 sin A ? a cos C ,又 c ? 1 ,所以 c sin A ? a cos C , 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C ,(4 分)

-6-

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? cos C ,即 C ?
2 2

?
4

。(6 分)

(II)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? c 2 ,得 a ? b ? 2ab ? 1 ,

? a2 ? b2 2? 2 ??a ? b 2 ? ? 1,于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 ,(11 分) 又 ab ? ,所以 ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?
当A? B?

3 ? 时, a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 。(13 分) 8

16. (本小题满分 13 分) 解:(I)连接 AC,则 AC⊥CD, 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∴CD⊥平面 PAC, 又 PC ? 平面 PAC, ∴∠PCD=90°,(2 分) 而∠PAD=90°, 从而三棱锥 P-ACD 外接球的球心为 PD 中点 E。(4 分) 直径 PD ? 1 ? 2 ? 5 ,
2 2

所以三棱锥 P-ACD 外接球的体积

5 4 ? 5? ? ? V ? ?? 5? 。(6 分) ? ? 3 ? 2 ? 6

3

(II)建立坐标系,以点 A 为坐标原点,

AB, AD, AP 分别为 x、y、z 轴正方向,
则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)

BC ? ?0, 1, 0?, PB ? ?1, 0, ? 1? 。

-7-

设平面 PBC 的法向量 n ? ?x, y, z ? ,则 ? ∴ n =(1,0,1)

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? PB ? 0

即?

? y ? 0, ?x ? z ? 0

由(I)知 CD⊥平面 PAC,故平面 PAC 的一个法向量为 CD =(-1,1,0),(8 分) 所以 cos ? n, CD ??

1 ?? 。 2 12 ? 0 2 ? 12 ? 12 ? 12 ? 0 2

?1,

0, 1? ? ?? 1, 1, 0?

二面角 B-PC-A 的大小为

? 3 ,其正弦值为 ,(10 分) 3 2

由 CD⊥平面 PAC, 得平面 PCD⊥平面 PAC, 二面角 A-PC-D 为直二面角, 其正弦值为 1, (12 分) 综上,二面角 B—PC—A 与二面角 A—PC—D 的正弦值之比为 17. (本小题满分 13 分) 解:可列举出集合 S 的非空子集的个数为: 2 5 ? 1 ? 31个。(2 分)

3 。(13 分) 2

1, 5? , ?2, 4? , ? 1, 3, 5? , ?2, 3, 4? , ( I ) 满 足 性 质 p 的 非 空 子 集 为 : ?3? , ?

?1,

2, 4, 5?, ? 1, 2, 3, 4, 5?共 7 个,所以所取出的非空子集满足性质 p 的概率为:
p? 7 。(6 分) 31

(II) ? 的可能值为 1,2,3,4,5。

?
P

1

2

3

4

5

1 31

2 31

4 31

8 31

16 31
(11 分)

E ?? ? ? 1 ?

1 2 4 8 16 129 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 。(13 分) 31 31 31 31 31 31

18. (本小题满分 14 分) 解:(I)由题设 ?2m ? 10? ? m ? 2 ? m ?m ? 0? ,
2 2

?

?

解得 m ? ?2 ,(3 分)

-8-

所以椭圆 W:

x2 y2 ? ? 1, 6 2

离心率 e ?

c 2 6 。(5 分) ? ? a 3 6

(II)设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 3? 。

? y ? k ?x ? 3?, ? 联立 ? x 2 y2 ? ?1 ? 2 ?6
得 1 ? 3k 2 x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 , 由直线 l 与椭圆 W 交于 A、B 两点,可知 △ ? 18k 2

?

?

?

?

2

? 4 1 ? 3k 2 27k 2 ? 6 ? 0 ,解得 k 2 ?

?

??

?

2 , 3

设点 A,B 的坐标分别为 ?x1 , y1 ?,

?x2 , y 2 ? ,

? 18k 2 27k 2 ? 6 , y1 ? k ?x1 ? 3?, y 2 ? k ?x2 ? 3? ,(8 分) 则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
因为 F(-2,0),设点 A 关于 x 轴的对称点为 C′,则 C′( x1 , ? y1 ), 所以 FC ? ?x1 ? 2, ? y1 ?, FB ? ?x2 ? 2, y2 ? , 又因为 ?x1 ? 2?y2 ? ?x2 ? 2??? y1 ? ? ?x1 ? 2?k ?x2 ? 3? ? ?x2 ? 2?k ?x1 ? 3?

? k ?2 x1 x2 ? 5?x1 ? x2 ? ? 12?

? 54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? ? k? ? ? 12? 2 2 1 ? 3k ? 1 ? 3k ?
? k 54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ? 0, 1 ? 3k 2

?

?

-9-

所以 B,F,C′共线,从而 C 与 C′重合, 连接 MC,则 | MA |?| MC | ,(12 分)

则△MAC 为等边三角形,所以直线 l 的斜率 k ? tan30? ?

2 3 2 ,符合 k ? , 3 3

综上,直线 l 的斜率为 19. (本小题满分 13 分)

3 。(14 分) 3

解:(I) f ?x ? ? x ? ln x ? 2 , x ? ?1, ? ?? ,则 f ?? x ? ? 1 ? 故 f ?x ? 在 ?1, ? ?? 上单调递增,(3 分) 而 f ?3? ? 1 ? ln 3 ? 0, f ?4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 f ?x ? 存在唯一的零点 x0 ? ?3, 4?。(6 分)

1 ?0, x

(II)由(I) f ?x ? 存在唯一的零点 x0 显然满足: x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 , 且当 x ? ?1, x0 ? 时, f ?x? ? f ?x0 ? ? 0 ;当 x ? ?x0 , ? ?? 时, f ?x? ? f ?x0 ? ? 0 , 当 x ? 1 时, g ?x ? ? k ?x ? 1?等价于 设 h? x ? ? 则 h??x ? ?

x ln x ? x ?k, x ?1

x ln x ? x 。 x ?1

x ? ln x ? 2

?x ? 1?

2

?

?x ? 1?2

f ?x ?

,故 h??x ? 与 f ?x ? 同号,因此当 x ? ?1, x0 ? 时,

h??x ? ? 0 ;
当 x ? ?x0 , ? ?? 时, h??x ? ? 0 ,所以 h?x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ?x0 , ? ?? 上单调 递增,(10 分) 故 h?x ?min ? h?x0 ? ?

x0 ?ln x0 ? 1? x0 ?x0 ? 1? ? ? x0 , x0 ? 1 x0 ? 1

由题意有 k ? h?x ?min ? x0 ,又 k ? Z ,而 x0 ? ?3, 4?,故 k 的最大值是 3。(13 分) 20. (本小题满分 14 分) 解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3 分)

- 10 -

(II)若数列 ?an ? : a1 , a2 ,…, an 的位差和 E( a1 , a2 ,?, an )=4,有如下两种 情况: 情况一:当 ai ? i ? 1,ai ?1 ? i ,a j ? j ? 1 ,a j ?1 ? j ,且 ?ai , ai ?1 ?? a j , a j ?1 ? ? , 其他项 ak ? k (其中 k ? ?i, i ? 1, j, j ? 1? )时,有

?

?

?n ? 3? ? ?n ? 4? ? ? ? 2 ? 1 ? ?n ? 2??n ? 3? 种可能;(5 分)
2
情况二:当 ai , ai ?1 , ai ?2 分别等于 i ? 2 , i ? 1 , i 或 i ? 1 , i ? 2 , i 或 i ? 2 , i ? 1 ,其 他项 ak ? k (其中 k ? ?i, i ? 1, i ? 2?)时,有 3?n ? 2? 种可能;(7 分) 综上,满足条件的数列 ?an ? : a1 , a2 , ..., an 的个数为

?n ? 2??n ? 3? ? 3?n ? 2? ? ?n ? 2??n ? 3? 。(8 分)
2 2
例如: n ? 5 时, 情况一:形如 2,1,4,3,5,共有 2+1=3 种:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3, 2,5,4; 情况二:形如 3,2,1,4,5,共有 5-2=3 种:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2, 5,4,3; 形如 2,3,1,4,5,共有 5-2=3 种:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3; 形如 3,1,2,4,5,共有 5-2=3 种:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。 (III)将 | a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? n | 去绝对值符号后,所得结果为

?1?1?2?2?3?3?…? n ? n
的形式,其中恰好有 n 个数前面为减号,这表明

E ?a1 , a2 , ?, an ? ? ? | ai ? i |
i ?1

n

n ? 3 ? n ?1 n ?1 ? n ?1 ? ? ? 2? n ? ?n ? 1? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? 1? ?? 2 ? 2 2 ? ? 2 ?
2 ?? n ?1? ? n ? 3? ? n ? 3 ?? n ?1 ,(10 分) ? 2? n ? ? n ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ?? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?? ??

此不等式成立是因为前面为减号的 n 个数最小为: 2 个 1, 2 个 2, …, 2个

n ?1 n ?1 和1个 。 2 2

- 11 -

(11 分) 上面的讨论表明,题中所求的数列 ?an ?: a1 , a2 , ?, an 是使得 E( a1 , a2 , ?, an ) 最大的数列,这样的数列在 n ? 2k ? 1 时,要求从 1,2,…, n 中任选一个数作为 a k ?1 ,将剩 余数中较大的 k 个数的排列作为 a1 , a 2 , …, ak 的对应值,较小的 k 个数的排列作为 ak ?2 ,

ak ?3 ,…, a2k ?1 的对应值,于是所求数列的个数为 ?2k ? 1??k!?2 。
?? n ?1? ? 综上,满足条件的数列的个数为 n? ? ? 2 ?!? ? (14 分) ?? ??
例如: n ? 5 时, E( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) ?
2

?| a
i ?1

5

i

? i |。

? 2?5 ? 4? ? 3 ? 3 ? 2?2 ? 1? ? 2??5 ? 2? ? ?4 ? 1??
5 ?1? ? 5 ?1? ? ? 2 ? ?5 ? ??? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ???
每组之差 组数

? 5 ? 1 ?? 5 ? 1 ? ? 2? ?? ? ? 2 ?? 2 ?

52 ? 1 ? ? 12 2
此不等式成立是因为前面为减号的 5 个数最小为:2 个 1,2 个 2 和 1 个 3。 若 E( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )=12, n ? 2k ? 1 ? 5 ,此时 k ? 2 时,要求从 1,2,3,4, 5 中任选一个数作为 a3 ,将剩余数中较大的 2 个数的排列作为 a1 , a2 的对应值,较小的 2 个 数的排列作为 a4 , a5 的对应值,于是所求数列的个数为 5 ? ?2!? ? 20。
2

4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2; 4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1; 4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1; 3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1;

- 12 -

3,4,5,1,2;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。 题目背景:假设现在有 n 种物品,已经按照某种标准排列,并依次确定编号为 1,2,…,

n ,鉴别师事先不知道物品的标准排列编号,而是根据自己的判断,对这 n 种物品进行排列依
次编号为 a1 , a2 , ?, an ,其中 a1 , a2 , ?, an 是 1,2,…, n 的一个排列,那么可以用数 列 ?an ? : a1 , a2 , ?, an 的位差和 E( a1 , a2 , ?, an )= | a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ??? | an ? n | , 来评判鉴别师的能力。 当 E( a1 , a2 , ?, an )越小,说明鉴别师能力越强;反之越大,说明鉴别师能力越弱; 当 E( a1 , a2 , ?, an )=0,说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致,判断完 全正确; 第二问,位差和 E( a1 , a2 , ?, an )=4 时,给出数列 ?an ? : a1 , a2 , ?, an 的情况;

n2 ?1 第三问,说明位差和 E( a1 , a2 , ?, an )最大值为 ,且给出取得最大值时,数 2
列 ?an ? : a1 , a2 , ?, an 的情况。

- 13 -


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