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2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷


2015 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题

4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的 答案)
1.设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ?1} ,若 A UB ?R ,则 a 的取值范围为( ▲ ) A. (??, 2) B. (??, 2] C. (2, ??) D. [2, ??)

2.已知直线 l : x ? cos ? ? y ? sin? ? 2(? ? R) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 cos? ? x ? 2 sin? ? y ? 0
(? ? R ) ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是( ▲ )

A.相交 C.相离

B.相切 D.与 ? , ? 的取值有关[

3.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则下列一定成立的是( ▲ ) A. 若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 C. 若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 4.函数 f ( x) ? (a ?1) 是( ▲ )
5?ax

B. 若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 D. 若 a4 ? 0 .则 S2014 ? 0

? a ? 1且a ? 2? 在 ?1,2? 上为单调递减函数,则实数 a 的取值范围
C. (2, ]

5 D. (1,5) 2 ????? ????? a ? A1 A2 ? Ai Aj (i, j ? 1, 2,3, 4, i ? j ) , 5. 在棱长为 1 的正四面体 A 中, 记 则 ai j A A A ij 1 2 3 4
A. (2,??) B. (1,2) 不同取值的个数为( ▲ ) A.6 B.5 C .3 D.2

6.在 VABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 VABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 VABC 的
形状是( ▲ ) B.钝角三角形

uuu r uuu r

A.锐角三角形

C.直角三角 形

D.上述三种情况都有可能
2 2

7.设 a , b ? R ,关于 x , y 的不等式 | x | ? | y |? 1 和 ax ? 2by ? 2 无公共解,则 a ? b 最大值

是( ▲ ) A.3 B.5 C. 7 D. 9

8.如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30 ? 方向的两条街 道,某公园 P 位于商业中心北偏东 ? 角 ? 0 ? ? ?

? ?

?

? , tan? ? 3 3 ? , 2 ?

且与商业中心 O 的距离为 21 公里处,现要经过公园 P 修一条笔 直小路分别与两条街道交汇于 A,B 两处,当商业中心 O 到 A,B 两处的距离之和最小值为( A.7 公里 ▲ ) C.9 公里 D.10 公里

B.8 公里

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分.)
9.若 sin? ? cos? ?
5 , ? ? [0, π] ,则 tan ? ? ______▲_____ 5

10.已知等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 5S 2 ,则

a1 ? a5 = a3 ? a5



.

11.若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 1 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则
x x

1 1 ? 的值为___▲___ a b
x x

? 3? ? 4? ? 3? ? 4? 12.求“方程 ? ? ? ? ? ? 1的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ? ? ? ? ? ,则 f ( x ) ?5? ? 5? ?5? ? 5?
在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路,方程

x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? ( x ? 2) 的解集为





c ? a ? 2b , 13. 已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c 满足 b ? c ? 2a , 则

b 的取值范围是 ▲ a



14.对于实数 x , ?x ? 表示不超过 x 的最大整数。对于某个正整数 k ,若恰好存在 1000 个正 整数 n1 , n2 ,L , n1000 同时满足下列两个条件: (1) k ? ? 3 n1 ? ? ? 3 n2 ? ? L ? ? 3 n1000 ? ,

?

?

?

?

?

?

(2) ni (i ? 1, 2,L ,1000) 均能被 k 整除,则 k =____▲_____.

2015 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
[来源:学科网 ZXXK]

座位号
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写 出必要的解答过程)

15.已知圆 C 与直线 x+y=1+ 2 及 x 轴分别相切,且圆心在 y 轴的正半轴上. (1)求圆 C 的方程; (2)设动直线 l:y=-x+t 与圆 C 相交于不同的两点 A,B,若点 P(0,-1), 求|PA|·|PB|的最小值.

16.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R ) (1)若 a ? ?2, 求证:在 [?1,1] 上至少存在一个 x0 ,使 | f ( x0 ) |? 2 (2)已知函数 y ? f ( x) 的两个零点为 x1 , x2 ,若 | a | ? | b |? 1, 求证: | x1 |? 1 且 | x2 |? 1.

17 . 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 3 , a2 ? 5 , {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 . Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) (1)试求数列 {an } 的通项公式;

1 2n ?1 (2)令 bn ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明: Tn ? ; 6 an ? an ?1

2015 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试题参考答案
[来源:学科网 ZXXK]

一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 C

5 C

6 B

7 B

8 C

二、填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9. ?2 13. ( , ) 10. ?

3 4

11.12

12.{ ?1 ,2}

2 3 3 2

14.332

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写 出必要的解答过程)

15.解: (1)设圆 C 的方程为 x2+(y-m)2=m2,m>0 |m-1- 2| 由条件得, =m, 2 解得:m=1. 2 2 所以,圆 C 的方程是 x +(y-1) =1 (2)设 A(x1,y1),B(x1,y1). ? ?y=-x+t 由? 2 ,消去 x,并整理得: 2 ?x +(y-1) =1 ? 2y2-2(t+1)y+t2=0, 由⊿>0,得 1- 2<t<1+ 2, 而|PA|·|PB|= x12+(y1+1)2· x22+(y2+1)2 = (1+4y1)(1+4y2) = 1+16y1y2+4(y1+y2) = 8t2+4t+5 1 9 3 2 1 = 8(t+ )2+ ≥ .当且仅当 t=- 时,取到等号. 4 2 2 4 所以,|PA|·|PB|的最小值是
16.解: (1)法一:

3 2 2

| f (1) | ? | f (?1) |?|1 ? a ? b | ? |1 ? a ? b |?| (1 ? a ? b) ? (1 ? a ? b) |? 2 | a |? 4

故 | f (1) | 与 | f (?1) | 中至少有一个符合 | f ( x0 ) |? 2

法二:假设 ?x ?[?1,1] ,都有 | f ( x) |? 2 ,即 ?2 ? f ( x) ? 2 恒成立

a ? 1 ,故 f ( x) 在 [?1,1] 上单调递减 2 ? f (1) ? ?2 ?1 ? a ? b ? ?2 ? 1 ? a ? b ? ?2 即? 即? ?? ? f (?1) ? 2 ? 1? a ? b ? 2 ??1 ? a ? b ? ?2 两式相加得 a ? ?2 ,这与条件 a ? ?2 矛盾,假设错误结论成立 ? x1 ? x2 ? ? a (2)法一:由韦达定理 ? 又由 | a | ? | b |? 1, 得 | x1 ? x2 | ? | x1 x2 |? 1, ? x1 x2 ? b

Q f ( x) 的对称轴 x ? ?

即 | x1 | (1? | x2 |) ? 1? | x2 | Q| x1 |? |x2 ? | | x1 ? x2 |? | x1 | ? |x2 |? | x1 x2 ? | 1 ? | x1 |? 1 ,同理 | x2 |? 1 a 1 1 法二: Q f ( x) 的对称轴 x ? ? ? ( ? , ) 2 2 2 又 Q f (1) ? 1 ? a ? b ? 1? | a | ? | b |? 0 f (?1) ? 1 ? a ? b ? 1? | a | ? | b |? 0 故 f ( x ) 的两个零点均在 (?1,1) 内,即 | x1 |? 1 且 | x2 |? 1 | f (1) | ? | f (?1) |?|1 ? a ? b | ? |1 ? a ? b |?| (1 ? a ? b) ? (1 ? a ? b) |? 2 | a |? 4 故与 | f (?1) | 中至少有一个符合 | f ( x0 ) |? 2 17. 解: (1) 由 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1( n ? 3 ) , 得 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 (n ? 3) , 所以 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) , 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) 又 a2 ? a1 ? 2 ,所以 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 3 ?
(2) bn ?

2n ?1 an ? an ?1

2(1 ? 2n ?1 ) ? 3 ? 2n ? 1. 1? 2 n ?1 2 1? 1 1 ? ? n ? ? n ? n ?1 ? , n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? n ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 9 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

1?1 1 ? ? ? ? n ?1 ? . 2 ? 3 2 ?1? 1 所以, Tn ? . 6


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