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河南省实验中学2014届高三二测模拟卷文科1


河南省实验中学 2014 届高三二测模拟卷 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 P={3,4,5},Q={6,7},定义 P * Q ? {( a, b) | a ? P, b ? Q} ,则 P * Q 的子集个 数为 A.7 2.已知复数 B.12 C.32

D.64

a ? 2i ,则 a ? 2b ? ? b ? i ( a , b ? R , i 为虚数单位) i A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. “ p 或 q ”为真命题是“ p 且 q ”为真命题的
A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.6
? ? 11 ? 5.已知数阵 ? ? 21 ? ? ? ? 31

B.8

C.10

D.12

a a a

a12 a13 ? ? ? a22 a23 ? ? 中,每行的 3 个数依次成等差数列,每列的 3 个数也依 ? ? a32 a33 ? ?

次成等差数列,若 a22 ? 8 ,则这 9 个数的和为 A.16 B.32 C.36 D.72

6.如图所示的程序框图,它的输出结果是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

x2 y 2 7.已知三个数 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 ? ? 1的 m 2
离心率为 A.

开始

k ?0

2 2

B.

3

C.

2 或 2

3

D.

2 6 或 2 2

? ? 45?
sin ? ? cos ? ? 是

?x ? 0 ? 8.若 a ? 0 , b ? 0 ,且当 ? y ? 0 时,恒有 ax ? by ? 1,则以 a, b 为 ?x ? y ? 1 ?
坐标的点 P ( a, b) 所形成的平面区域的面积是



否 输出 k 结束

? ? ? ? 45?

k ? k ?1
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A.

1 2

B.

?
4

C.1

D.

?
2 ???? ??? ? 1 , 2

9.在平行四边形 ABCD 中, AD ? 1, ?BAD ? 60? ,E 为 CD 的中点.若 AD ? BE ? 则 AB 的长为 A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

10.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,斜率为

4 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 3

AF ? ? FB(? ? 1) ,则 ? 的值为
4 5 D. 3 2 11.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时,其导函数 f ?( x) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则有 A. f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a ) B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2a )
A.5 B.4 C.

C.

f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2a )

D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

?1 ? x ? 1 , x ? ? 0, 2? ? 12.函数 f ( x) ? ? 1 ,则下列说法中正确命题的个数是 f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
①函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ②若 x ? 0 时,函数 f ( x) ?

k ?3 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? ; x ?2 ?

③函数 f ( x) 的极大值中一定存在最小值, ④ f ( x) ? 2 f ( x ? 2k ), (k ? N ) ,对于一切 x ? ? 0, ?? ? 恒成立.
k

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题纸的相应位置. 13.若非零向量 a, b 满足 | a |?| b | , (2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为______. 14 . 函 数 f ( x) ? sin x ? cos x , 在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 中 对 任 意 的 n ? N * 都 有

f (an ? x) ? f (an ? x ) 成立,则数列 ?an ? 的通项公式可以为(写一个你认为正确的)______
15.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 有公共点的概率为_______. ,则直线 与圆

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16.已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABCD,且 AA1 ? 2 ,底面 ABCD 的边长均大于 2,且 ?DAB ? 45? ,点 P 在底面 ABCD 内运动,且在 AB,AD 上的射影分别 为 M,N,若|PA|=2,则三棱锥 P ? D1 MN 体积的最大值为______. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17 . (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知角 A 、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c,直线

l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : ? b 2 ? c 2 ? bc ? x ? ay ? 4 ? 0 互相平行(其中 a ? 4 ).
(I)求角 A 的值, (II)若 B ? ?

? ? 2? , ?2 3

? 2 A?C ? cos 2 B 的取值范围. ? , 求 sin 2 ?

18 . (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高 全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第二 组[ 160 , 165 ),…,第八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一 部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人.
(Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽 取 两 名 男 生 , 记 他 们 的 身 高 分 别 为 x, y , 事 件
频率/组 距

E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E ? F ) .





19. (本题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB =2,E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使得平面 ABEF ? 平面 EFDC. (Ⅰ) 当 BE ? 1 , 是否在折叠后的 AD 上存在一点 P , 且 AP ? ? PD , 使得 CP∥平面 ABEF? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由; (Ⅱ) 设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A ? CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.
A
A F

(cm)

??? ?

??? ?

D
B

F

D

B

E

C

E

C

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20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ,若函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的下 界函数.(1)若函数 g ( x) ? kx 是 f ( x) 的下界函数,求实数 k 的取值范围; (2)证明:对任意的 m ? 2 ,函数 h( x) ? m ? ln x 都是 f ( x) 的下界函数.

x2 y 2 21. (本小题满分 12 分)已知 F1、F2是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,点 a b

???? ? ????? ? 2? 在椭圆上,线段 PF 2 与 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 ; P? ? 1, ? ? 2 ? ? ?
(I)求椭圆的标准方程; (II)? O 是以 F1 F2 为直径的圆, 一直线 l : y ? kx ? m与 ? 相切, 并与椭圆交于不同的两点 A、 B.当 OA ? OB ? ? , 且满足

??? ? ??? ?

2 3 ? ? ? 时,求?AOB 面积 S 的取值范围. 3 4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲 如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交 过 A 点的切线于 D,BC∥OD . (Ⅰ)求证:DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)如果 AD =AB = 2,求 EB 的长。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,以 极点为原点,极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角 坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ?

?5 x ? 1 ? 4t ( t 为参数). ?5 y ? 18 ? 3t

(Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C 2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C 2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,求这两条切线所成角 余弦的最小值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲 设函数 (1)解不等式 ; (2)求函数 的最小值。

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河南省实验中学 2014 届高三二测模拟卷 数学(文科)参考答案
一、 1. D 2. C 3.C 4. D 5. D 6. C 14. an ? (n ? )? , 有(1,1), 有公共点, 7. C 8. C 9. D 10. B 11. C 12.B 二、13. 120? 15.

3 4

【解析】 依题意, 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组 与圆

(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 种,其中满足直线 即 , 的数组

有 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1 ,4) , …… , (6,6) , 共

种,因此所求的概率等于



16. 弦定 理得

2 ?1 【解析】由条件可得,A、M、P、N 四点在以 PA 为直径的圆上,所以由正 3
MN ? 2 ,所以 MN ? 2 、在△PMN 中,由余弦定理可得 sin 45?

MN 2 ? PM 2 ? PN 2 ? 2 PM ? PN cos135? ? (2 ? 2 ) PM ? PN ,当且仅当 PM= PN 时
取等号,所以 PM ? PN ?

2 ? 2 ? 2 ,所以底面△PMN 的面积 2? 2

1 2 2 ?1 1 ? ,当且仅当 PM= PN 时取最大值,故三 PM ? PN sin 135? ? ? (2 ? k ) ? 2 2 2 2
棱锥 P ? D1 MN 的体积 S ?PMN ? AA1 ?

1 3

1 2 ?1 2 ?1 ? ?2 ? . 3 2 3

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4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50 1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ……………………………4 分 (Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? ( m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 …………………………6 分 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ………………8 分 (Ⅲ) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, 因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本 7 事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P ( E ) ? . ……………………10 分 15
18. 【解析】 (Ⅰ)第六组的频率为 由于 x ? y max ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P ( F ) ? 0 , 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P ( E ? F ) ? P ( E ) ? P ( F ) ?

7 ………12 分 15 3 19. 【解析】(Ⅰ)存在 P 使得满足条件 CP∥平面 ABEF,且此时 ? ? .…………… 2 分 2 ??? ? ??? ? 3 3 AP 3 下面证明:当 ? ? 时,即此时 AP ? PD ,可知 ? ,过点 P 作 MP∥FD,与 AF 2 2 AD 5 MP 3 交于点 M ,则有 ? ,又 FD= 5 ,故 MP=3,又因为 EC=3,MP∥FD∥EC,故有 FD 5
// EC, MP ? 故四边形 MPCE 为平行四边形, 所以 PC∥ME, 又 CP ? 平面 ABEF, ME ? 平

面 ABEF,故有 CP∥平面 ABEF 成立.……………………… 6 分
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(Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC,平面 ABEF ? 平面 EFDC=EF,又 AF ? EF,所 以 AF ⊥ 平 面 EFDC . 由 已 知 BE = x , , 所 以 AF = x(0 ? x ? 4) , FD = 6 ? x . 故

1 1 1 1 1 VA?CDF ? ? ? 2 ? (6 ? x) ? x ? (6 x ? x 2 ) ? [ ?( x ? 3)2 ? 9] ? ? ( x ? 3)2 ? 3 .所以,当 x 3 2 3 3 3
=3 时, VA?CDF 有最大值,最大值为 3. 20. 【解析】(1)若 g ( x) ? kx 为 f ( x) ? e x 的下界函数,易知 k ? 0 不成立,而 k ? 0 必然成 立.
x 当 k ? 0 时, 若 g ( x) ? kx 为 f ( x) ? e 的下界函数, 则 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即 e x ? kx ? 0

恒成立. (2 分) 令 ? ( x) ? e ? kx , 则 ? ?( x) ? e ? k . 易知函数 ? ( x) 在 (??, ln k ) 单调递减, 在 (ln k ,??)
x x

上单调递增. (4 分) 由 ? ( x) ? 0 恒 成 立 得 ? ( x) min ? ? (ln k ) ? k ? k ln k ? 0 , 解 得 0 ? k ? e . 综 上 知

0 ? k ? e. (6 分)
(2)解法一 由(1)知函数 G ( x) ? ex 是 f ( x) ? e 的下界函数,即 f ( x) ? G ( x) 恒成立,
x

若 m ? 2 ,构造函数 F ( x) ? ex ? ln x ? m( x ? 0) , (8 分) 则 F ( x) ? e ?

1 ex ? 1 1 ,易知 F ( x) min ? F ( ) ? 2 ? m ? 0 , ? x x e

即 h( x) ? m ? ln x 是 G ( x) ? ex 的下界函数,即 G ( x) ? h( x) 恒成立. (11 分) 所以 f ( x) ? G ( x) ? h( x) 恒成立,即 m ? 2 时, h( x) ? m ? ln x 是 f ( x) ? e x 的下界函 数. (13 分) 解法二 构造函数 H ( x) ? f ( x) ? h( x) ? e ? ln x ? m , (m ? 2) ,
x

1 1 x (8 分) H ?( x) ? e x ? .易知必有 x0 ? 0 满足 H ?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? . x0 x
又因为 H ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,??) 上单调递增, 故 H ( x) min ? H ( x0 ) ? e
x0

? ln x0 ? m ?

1 1 ? ln e ? x0 ? m ? ? x0 ? m ? 2 ? m ? 0 ,所 x0 x0

以 f ( x) ? h( x) 恒成立. (11 分)

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即对任意的 m ? 2 , h( x) ? m ? ln x 是 f ( x) ? e x 的下界函数. (12 分) 21. 【解析】

(22) (Ⅰ)证:连接 AC,AB 是直径,则 BC⊥AC 由 BC∥OD ?OD⊥AC 则 OD 是 AC 的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC , ∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

D

C

?OC⊥DE,

所以 DE 是圆 O 的切线

. ……5 分

(Ⅱ)BC∥OD?∠CBA = ∠DOA,∠BCA = ∠DAO

E

B

O

A

?△ABC∽△AOD?

BC AB ? BC = OA ? AB = 1 ? 2 = 2 5 ? 5 OA OD OD 5

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?

BC 2 BE 2 BE 2 2 ? ? ? ? ? ? BE = OD 5 OE 5 OB 3 3
2 2 2

……10 分

(23)解: (Ⅰ)对于曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 , 可化为直角坐标方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ;
2

?5 x ? 1 ? 4t 对于曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?5 y ? 18 ? 3t 可化为普通方程 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 .

……5 分

(Ⅱ)过圆心 (1, ?2) 点作直线 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 的垂线,此时两切线成角 ? 最大, 即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知,

1 ? 7 ,因此 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? , 2 4 2 8 3 ?4 7 因此两条切线所成角的余弦值的最小值是 . ……10 分 8

d?

| 3 ?1 ? 4 ? (?2) ? 15 |
2 2

? 4 ,则 sin

?

?

(24)

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