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高考数学第一轮总复习同步练习---函数的奇偶性和周期性


函数的奇偶性和周期性 1、若 f (x) ( x ? R) 是奇函数,则下列各点中,在曲线 y ? f (x) 上的点是 1 (A) (a, f (?a)) (B) (? sin ?,? f (? sin ?)) (C) (? lg a,? f (lg )) a

(D) (?a,? f (a))

2、已知 f (x) 是定义在 R 上的

奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (?

T )? 2

T T (C) T (D) ? 2 2 3、已知 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 对任意实数 x, y 都成立,则函数 f (x) 是
(A)0 (B) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)可以是奇函数也可以是偶函数 (D)不能判定奇偶性 4、 f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f (x) =0 在区间(0,6)内解的个 数的最小值是 A.5

B.4

C.3

D.2

5、 下列函数既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是 (A) f ( x) ? sin x (B) f ( x) ? ? x ? 1 (C) f ( x) ? 6、已知函数 f ( x) ? lg A.b

1? x .若f (a) ? b.则f (?a) ? 1? x 1 1 B.-b C. D.- b b

1 x 2? ? a ? a? x ? (D) f ( x) ? ln 2 ? x 2 x

7、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 (A)f(sin

? ? 2? 2? )<f(cos )(B)f(sin1)>f(cos1)(C)f(cos )<f(sin )(D)f(cos2)>f(sin2) 6 6 3 3

8.已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范 围是 .
2

9 函数 y ? f (x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? 2 x ,则 x ? 0 时, f (x) 的解析式为________ 10、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

11.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称;②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图 象关于直线 x=1 对称;③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 12.已知定义域为 R 的函数 f(x)= -2x+b 是奇函数.(1)求 a、b 的值; + 2x 1+a

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

同步练习函数的奇偶性和周期性 1—7、DAABD BD 11.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 解析: f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到, f(x)是奇函数, 又 其图象关于原点对称, 所以 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; 由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)的周期为 2,无法判断其对称轴,故②错误; f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数,③正确; y=f(1+x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由 y=f(x)的图象关于 y 轴 对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于 y 轴对称,故④错误. 答案:①③ -2x+b 12.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值;(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 分析:(1)由 f(0)=0 可求得 b,再由特殊值或奇函数定义求得 a;(2)先分析函数 f(x)的单调性,根据单 调性去掉函数符号 f,然后用判别式解决恒成立问题. b-1 1-2x 解:(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0?b=1,所以 f(x)= + , a+2 a+2x 1 1 1- 2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2 1 1 (2)由(1)知 f(x)= , + =- + x 2 2 +1 2+2x 1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因 f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2,即对 t∈R 有:3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0?k<- 1 . 3
x


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