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山东高考一轮模拟试题


高考仿真模拟冲刺考试(二)数学(理)试题 满分 150 分
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)· P (B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 概 率: Pn (k ) ? Cn
k


考试用时 120 分钟

p k (1 ? p) n?k (k ? 0,1,2,?, n).

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? R , 集合 A ? {x | ( ) ? 2} 和 B ? { y |
x

1 2

则 (CU A) ? B ? ( y ? lg( x2 ? 1)} ,



A. {x | x ? ?1 或 x ? 0} C. {x | x ? 0} 2.下面是关于复数 z ?

B. {( x, y) | x ? ?1, y ? 0} D. {x | x ? ?1}

2 的四个命题:其中的真命题为 ?1 ? i





p1 : z ? 2
A.

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
B. p1 , p2
D.
2

p4 : z 的虚部为 ?1

p2 , p3

C. p? , p?
3.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

p? , p?


? y 2 ? 1相交”的(

4.已知数列

?an?中,a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项,
( )

则判断框内的条件是

A. n ? 8? B. n ? 9 ? C. n ? 10? D. n ? 11?
5.已知向量 a、 b ,其中 向量 a 和 b 的夹角是

(a ? b) ? a ,则 a ? 2 , b ? 2 ,且
( )

A.

?
4

B.

?
2

C.

3? 4

D. ?

? x?2 ? 6.已知实数 x , y 满足的约束条件 ? y ? 2 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
A.20 B.24 C.16 D.12





7.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f '( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为 A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-l) ( D. (-∞,+∞) ) )

8. 若函数 y ? cos 2 x 与函数 y ? sin( x ? ? ) 在 [0, A.

?
2

] 上的单调性相同,则 ? 的一个值为(
C.

? 6
2 2 2

B.

? 4

? 3

D.

? 2
( )

9. 圆O : x ? y ? ? 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 D,随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 D 内的概率是 A.

4

?

2

B.

4

?

3

C.

2

?

2

D.

2

?3

10 .已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ),当 0 ? x ? 1 时,

1 1 x ,则满足 f ( x) ? ? 的 x 的值是 2 2 A. 2n(n ? Z) B. 2n ? 1(n ? Z) f ( x) ?
C. 4n ? 1(n ? Z) D. 4n ? 1(n ? Z)





第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.方程

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为_________________; 3 ?1 3
x

12.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an?1
2

? 3sn (n ? 1) ,则 a6 =________.

x2 2 13.已知抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线 2 ? y ? 1的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为 a
______________; 14.设二项式 ( x ?
3

1 5 ) 的展开式中常数项为 A ,则 A ? ________. x

15.具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:

1 x

? ? x, (0 ? x ? 1) 1 1 ? ① y ? x ? ; ② y ? x ? ; ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中 满 足 “ 倒 负 ” 变 换 的 函 数 x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且
2 cos 2 A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

17. (本小题满分 12 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

18. (本小题满分 12 分)

BC 在如图 1 所示的等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD , 且 AB ?AD ?

1 ? CD a ? ,E 为 2 CD 中点.若沿 AE 将三角形 DAE 折起,使平面 DAE ? 平面 ABCE ,连结 DB, DC ,

得到如图 2 所示的几何体 D ? ABCE ,在图 2 中解答以下问题: (Ⅰ)设 F 为 AB 中点,求证: DF ? AC ; (Ⅱ)求二面角 A ? BD ? C 的正弦值.

19. (本小题满分 12 分) 设 S n 是数列 {an }( n ? N ) 的前 n 项和, 已知 a1
*

n 设 bn ? S n ? 3 . ? 4 ,an ?1 ? Sn ? 3n ,

(Ⅰ)证明:数列 {bn } 是等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)令 c n

? 2 log2 bn ?

n ? 2 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

ln x 。 x

ln x 的单调区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0,??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F ,其左、右顶点为 A 、 C ,椭圆与 y b2 轴正半轴的交点为 B , ?FBC 的外接圆的圆心 P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上.
已知椭圆 D : x
2

?

(Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ)已知直线 l : x ? ?

2 , N 是椭圆 D 上的动点, NM ? l ,垂足为 M ,是否存在点

N ,使得 ?FMN 为等腰三角形?若存在,求出点 N 的坐标,若不存在,请说明理
由.

理科数学(二)
二、填空题:11. x ? log3 4 三、解答题: 12.3×4
4

13.

2 3 3

14. ?10

15.①③

17.解:设

Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”( i =1,2,,13). 1 根据题意, P ( Ai ) ? ,且 Ai Aj ? ?(i ? j ) . 13 (I)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B ? A5 A8 , 2 所以 P ( B ) ? P ( A5 A8 ) ? P ( A5 ) ? P ( A8 ) ? . 13
(II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且

4 , 13 4 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 13
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 所以 X 的分布列为:

X P

0 1 2 5 4 4 13 13 13

故 X 的期望 EX ? 0 ?

5 4 4 12 ? 1? ? 2 ? ? . 13 13 13 13

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 18.证明: (Ⅰ)取 AE 中点 H ,连结 HF ,连结 EB , 因为 ?DAE 为等边三角形,所以 DH ? AE ,因为平面 DAE ? 平面 ABCE , 所以 DH ? 平面 ABCE , AC ? 平面 ABCE , 所以 AC ? DH ,因为 ABCE 为平行四边形, CE ? BC ? a , 所以, ABCE 为菱形, AC ? BE , 因为 H 、F 分别为 AE 、 AB 中点,所以 HF // BE , 所以 AC ? HF ;因为 HF ? 平面 DHF , DH ? 平面 DHF ,且 HF DH ? H , 所以 AC ? 平面 DHF ,又 DF ? 平面 DHF ,所以 DF ? AC 。

(Ⅱ) 连结 BH , EB 由题意得三角形 ABE 为等边三角形, 所以,BH ? AE , 由 (Ⅰ) 知 DH ? 底面 ABCE ,以 H 为原点,分别以 HA, HB, HD 所在直线为 x, y , z 轴 建立空间直角坐标系,如图所示:

a 3 3 3 , 0, 0), B(0, a, 0), D(0, 0, a), C (?a, a, 0) , 2 2 2 2 3 3 所以, BD ? (0, ? a, a) , BC ? (?a,0,0) ,设面 DCB 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 2 2 ?ax ? 0 ? ? 则? ,不妨设 m ? (0,1,1) ,设面 DAB 的法向量 n ? ( x?, y?, z?) ,又 3 3 ? ay ? az ? 0 ? ? 2 2 ? x? ? 3 z ? ? 0 a 3 3 3 ? , 则 ? , 取 n ? (1, DA ? ( , 0, ? a) , ) , 所 以 2 2 3 3 ? ? y? ? z? ? 0
则 A(

15 m?n 10 ,所以二面角 A ? BD ? C 的正弦值为 。 ? 5 5 | m|?| n| n n 19.解: (Ⅰ)因为 an ?1 ? Sn ? 3 ,所以 S n?1?S n ? S n ? 3 ,

cos ? m, n ??

? 3n ,则 S n?1?3n?1 ? 2S n ? 3n ? 3n?1 ? 2(S n ? 3n ) , 所以 b n?1 ? 2bn ,又 b1 ? S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 1 ,所以 ? bn ? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列。
即 S n?1? 2S n 故数列

?bn ?的通项公式为 bn ? 2 n?1 。
? 2 log2 bn ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: c n

n n ? 2 ? 2n ? n?1 , bn 2 2 3 4 n ?1 n 设 M ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ………………① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 n ?1 n 则 M ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ……………② 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 n 1 n M ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n 2?n n?2 所以 M ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 ,所以 Tn ? n( n ? 1) ? n ?1 ? 4 。 2 2 2 2 ln x 20、解: (Ⅰ)? g ( x) ? ,故其定义域为 (0,??) , x 1 - ln x ? g? ‘ ? x) ( x2
①-②得:

( x) >0,得 0 ? x ? e 令 g? ‘

x) ( <0,得 x ? e 令 g? ‘
ln x 的单调递增区间为 (0, e) 单调递减区间为 (e,??) 。 x 1-2 ln x ln x ln x ln x , ? k ? 2 ,令 h( x) ? 2 ,又 h' ( x) ? (Ⅱ)? x ? 0, kx ? , x x3 x x ' ' 令 h ( x) ? 0 解得 x ? e , 当 x 在 (0,??) 内变化时, h , h( x) 变化如下表
故函数 g ( x) ? x

(0, e )
+ ↗

e
0

( e ,??)
— ↘

h' ( x) )
h( x )
由表知,当 x ? 所以, k ?

1 2e

e 时函数 h( x) 有最大值,且最大值为

1 2e

1 2e

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: F

2 ,0) ,椭圆上的点横坐标满足 ?1 ? x ? 1 , 2 设 N ( x, y ) ,由题意得 M (? 2 , y) , (?



MN ? x ? 2 , FN ? ( x ?

2

1 2 2 ? y2 。 ) ? y 2 , MF ? 2 2

① 与x ②

MN ? FN ,即 ( x ? 2 ) 2 ? ( x ?

2 2 ) ? y2 , 2

? 2 y 2 ? 1联立,解得 x ? ? 2 ? ?1 ,显然不符合条件。
1 ? y2 , 2

MN ? MF ,即 ( x ? 2)2 ?
2

2 (显然不符合条件,舍去) , x ? ? 2 ? ?1 。 3 2 14 所以满足条件的点 N 的坐标为 (? ,? )。 3 6
与x

? 2 y 2 ? 1联立,解得: x ? ?


山东省临沂市2016高考一轮模拟题m

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