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工程数学作业(第二次)(满分100分)


工程数学作业(第二次)(满分 100 分)
第 3 章 线性方程组 (一)单项选择题(每小题 2 分,共 16 分)

? x1 + 2 x 2 ? 4 x 3 = 1 ? x1 ? ? ⒈用消元法得 ? x 2 + x 3 = 0 的解 ? x2 ? 为(C ). ? ? ? ? x3 ? ? x3 = 2 ? ? ? A. [1 , 0 , ?

2]′ B. [ ? 7 , 2 , ? 2 ]′ C. [ ?11 , 2 , ? 2 ]′ D. [ ?11 , ? 2 , ? 2]′ ? x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2 ? ⒉线性方程组 ? x1 ? x 3 = 6 (B ). ? ? 3x + 3x = 4 2 3 ?
A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

?1? ?0? ?0? ?1? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⒊向量组 0 , 1 , 0 , 2 , 0 的秩为( A). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?1? ?1? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

?1? ?0? ? 1? ?1? ?1? ?0? ? 0? ?1? ⒋设向量组为 α 1 = ? ? , α 2 = ? ? , α 3 = ? ? , α 4 = ? ? ,则(B )是极大无关组. ?0? ?1? ? 1? ?1? ? ? ? ? ? ? ?? ?0? ?1? ? 0? ?1? A. α 1 , α 2 B. α 1 , α 2 , α 3 C. α 1 , α 2 , α 4 D. α 1
若这个方程组无解, (D) 则 . ⒌ A 与 A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵, A. 秩 ( A) = 秩 ( A ) C. 秩 ( A) > 秩 ( A ) A. 可能无解 B. 有唯一解 B. 秩 ( A) < 秩 ( A ) D. 秩 ( A) = 秩 ( A ) ? 1 C. 有无穷多解 D. 无解

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). ⒎以下结论正确的是(D ). A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组 α 1 , α 2 , ? , α s 线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性 表出. A. 至少有一个向量 C. 至多有一个向量 则结论( )成立.
1

B. 没有一个向量 D. 任何一个向量

9. A, 设 B为 n 阶矩阵, 既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于 λ 的特征向量, λ

A. λ 是 AB 的特征值 C. λ 是 A-B 的特征值

B. λ 是 A+B 的特征值 D. x 是 A+B 的属于 λ 的特征向量

10.设A,B,P为 n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A. AB = BA B. ( AB ) ′ = AB C. PAP ?1 = B D. PAP ′ = B (二)填空题(每小题 2 分,共 16 分) ⒈当 λ = 1 时,齐次线性方程组 ?

⒉向量组 α 1 = 0 , 0 , 0 , α 2 = 1 , 1 , 1 线性 相关

⒋设齐次线性方程组 α 1 x1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 = 0 的系数行列式 α 1 α 2 α 3 = 0 ,则这个方 程组有 无穷多 ⒌向量组 α 1 = 1 , 0 , α 2 = 0 , 1 , α 3 = 0 , 0 的极大线性无关组是 α 1 , α 2 . ⒍向量组 α 1 , α 2 , ? , α s 的秩与矩阵 α 1 , α 2 , ? , α s 的秩 向量有 2 个.

. ] ⒊向量组 [1 , 2 , 3] , [1 , 2 , 0] , [1 , 0 , 0] , [0 , 0 , 0] 的秩是 3

[

]

[

? x1 + x 2 = 0 有非零解. ?λ x 1 + x 2 = 0


[

解,且系数列向量 α 1 , α 2 , α 3 是线性 相关

的.

]

[

]

[

[

]

]

相同



⒎设线性方程组 AX = 0 中有 5 个未知量,且秩 ( A) = 3 ,则其基础解系中线性无关的解 ⒏设线性方程组 AX = b 有解, X 0 是它的一个特解,且 AX = 0 的基础解系为 X 1 , X 2 , 则 AX = b 的通解为 X 0 + k1 X 1 + k 2 X 2 . 9.若 λ 是A的特征值,则 λ 是方程 λI ? A = 0 10.若矩阵A满足 A ?1 = A′ 的根.

,则称A为正交矩阵.

(三)解答题(第 1 小题 9 分,其余每小题 11 分) 1.用消元法解线性方程组

? x1 ? 3 x 2 ? 2 x 3 ? x 4 ? 3x ? 8 x + x + 5x ? 1 2 3 4 ? ? ? 2 x1 + x 2 ? 4 x 3 + x 4 ? ? x1 + 4 x 2 ? x 3 ? 3x 4 ?

=6 =0 = ?12 =2
0 1 0 19 7 27 23 8 39 ? 48? ? 18? ? ? 90? ? 26 ? ? 124? ? 46 ? ? 4 ? ? ? 33 ?

解: ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 6 ? ?3r + r ?1 ? 3 ? 2 ? 1 6 ? 3r + r ?1 1 2 2 1 ? 3 ?8 1 21 +r 5 0 ? r1r++4r3 ?0 1 7 8 ?18? 5rr2 + r3 ?0 r ?1 4 ? ??? →? ? ???→? A=? ? ?? 2 1 ? 4 1 ? 12? ?0 ? 5 ? 8 ? 1 0 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? 1 4 ?1 ? 3 2 ? ?0 1 ? 3 ? 4 8 ? ?0

0 ?10 ?12

?1 ?0 ???→? ?0 ? ?0 ?1 1 ?0 r4 ?11 → ? ? ? ?0 ? ?0
3r4 + r3 1 ? r4 2

0 19 23 ? 48? ?1 ? ? 1 r ?0 1 7 8 ? 18 ? 3 3 ?? →? ? ?0 0 3 ? 3 12 ? ? ? 0 5 6 ? 13? ?0 0 0 42 ? 124 ? ? 42 r + r ?1 4 1 ? 1 0 15 ? 46 ? r415rr34 + r2 ?0 + ? ?? ? → ? ? ?0 0 1 ?1 4 ? ? ? 0 0 1 ?3 ? ?0

0 19 23 ? 48? ?19r + r ?1 0 0 42 3 1 7 r + r2 1 7 8 ? 18 ? ?5r33 + r4 ?0 1 0 15 ? ? ??? →? ? ?0 0 1 ? 1 0 1 ?1 4 ? ? ? 0 5 6 ? 13? ?0 0 0 11 0 0 0 2? ? x1 = 2 1 0 0 ? 1? ? ? ∴ 方程组解为 ? x 2 = ? 1 ? 0 1 0 1? ? x3 = 1 ? ? x 4 = ?3 0 0 1 ? 3? ?

2.设有线性方程组
2

?λ 1 1 ? ? x ? ? 1 λ 1 ?? y? = ? ?? ? ? ?? ? ? 1 1 λ ?? z ?

?1? ?λ ? ? ? ? 2? ?λ ?
λ2 ? ? λ ? λ2 ? 1 ? λ3 ? ?

λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?
? 1 1 λ λ2 ? ?r + r ?1 1 λ ?λ 1 1 1 ? 2 ? 1 λ 1 λ ? ?r1 ? r3 → ? 1 λ 1 λ ? ??λ1r1? →?0 λ ? 1 1 ? λ + r3 ? ? A=? ? ?? ? ? ? 2 ?λ 1 1 1 ? ?0 1 ? λ 1 ? λ 2 ?1 1 λ λ ? ? ? ? ? ? ?1 ? λ λ2 1 ? ? r2 + r3 λ (1 ? λ ) ? ?? →?0 λ ? 1 ? 1? λ ?0 0 (2 + λ )(1 ? λ ) (1 + λ )(1 ? λ ) 2 ? ? ?
当 λ = 1 时, R( A) = R( A ) = 1 ,方程组有无穷多解 3.判断向量 β 能否由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表出,若能,写出一种表出方式.其中

解:



∴ 当 λ ≠ 1 且 λ ≠ ?2 时, R( A) = R( A ) = 3 ,方程组有唯一解

? ?8 ? ? ?2 ? ?3? ? ?5? ? ?3 ? ?7? ? ? 5? ??6? β = ? ?, α1 = ? ?, α 2 = ? ?, α 3 = ? ? ? 7 ? ?1? ?0? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ??10? ?3? ? ?2 ? ?1? 解:向量 β 能否由向量组 α1,α 2 ,α 3 线性表出,当且仅当方程组 α 1 x1 + α 2 x 2 +α 3 x 3 = β 有解
?? 2 3 ? 5 ? 8 ? ?1 ? 7 ?5 ?6 ?3? ? ? ? ………… ? ?0 这里 A = [α 1 , α 2 , α 3 , β ] = ? ?→ ?→ ?1 ?0 0 3 7 ? ? ? ? ? 3 ? 2 1 ? 10? ?0 R( A ) ≠ R( A)
∴ 方程组无解 ∴ β 不能由向量 α1,α 2 ,α 3 线性表出
4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关

7 ? 1 ?3 41 ? ? 0 10 ? 117 ? ? 0 0 571 ? 0 3

?1? ?3? ? ?1? ? 1? ??1? ?? 7? ??3? ?9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? α 1 = ? 2 ? , α 2 = ? 8 ? , α 3 = ? 0 ? , α 4 = ? 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ?9? ??3? ? 3? ?4? ? 13 ? ??3? ? 6? ? ? ? ? ? ? ? ?
3 ? 1 1? ?1 ?1 ?? 1 ? 7 ? 3 9? ?0 ? ? ? ?→ ?→ 解: [α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] = ? 2 8 0 6? ? ………… ? ?0 ? ? ? 9 ? 3 3? ?3 ?0 ? 4 13 ? 3 6? ?0 ? ? ?
∴该向量组线性相关
5.求齐次线性方程组
3

3 ?1 1 0 0 0 1 0 0 0

1? 2? ? 18? ? 0? 0? ?

? x1 ? 3 x 2 + x 3 ? 2 x 4 = 0 ? ?5 x + x ? 2 x + 3 x = 0 ? 1 2 3 4 ? ? ? x1 ? 11x 2 + 2 x 3 ? 5x 4 = 0 ? 3 x1 + 5 x 2 + 4 x4 = 0 ?
的一个基础解系. 解:

? 1 ? 3 1 ? 2? 5 r + r ?1 ? 3 1 1 ?? 5 1 ? 2 3 ? r1 + r3 2 ? ? ??3r1? →?0 ? 14 3 A=? ? + r4 ? ? ? 1 ? 11 2 ? 5? ?0 ? 14 3 ? ? ? 5 0 4 ? ?3 ?0 14 ? 3
? ?1 ? ? ??→ ? 0 ? ?0 ?0 ?
1 ? r2 14 r3 ? r4

5 ? 2? ? 3 r2 + r1 ?1 0 ? 14 14 ? 7 ? ? r2 + r3 ? ?? r2 + r4?→?0 ? 14 3 ?? ? ? 7? 0 0 ?0 ? ? 10 ? 0 0 ?0
? 1? 1 ? r +r ?1 2 ? 2 13 1 1 ? ? 2 r3 + r2 ? ? ? ? ? → ?0 ? 2 ? ? 1 ? ?0 ? ?0 0 ? ? 0 1 0 0 5 14 3 ? 14 0 0 ? 0? ? 0? ? 1? 0? ?

1? ? ? 2 ? 7? ? 0 ? ? 3 ?

0 1 0 0

5 14 3 ? 14 0 0

?

1? ? ?1 2? 1 1 ? 3 r3 ? ? ? ?→ ? 0 2 ? ? 3 ? ?0 ? ?0 0 ? ?

0 1 0 0

5 14 3 ? 14 0 0

5 ? ? x1 = ? 14 x3 ? 3 ? ∴ 方程组的一般解为 ? x 2 = x3 14 ? ? x4 = 0 ? ?
6.求下列线性方程组的全部解.

令 x 3 = 1 ,得基础解系

? 5? ?? 14 ? ? 3 ? ? ξ =? ? 14 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ?

? x1 ? 5x 2 + 2 x 3 ? ?3x + x ? 4 x ? 1 2 3 ? ? ? x1 ? 9 x 2 ? 5 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 ?
解:

? 3x 4 = 11 + 2 x 4 = ?5 ? 4 x 4 = 17 ? x 4 = ?1
11 ? ? 5 r2 +r1 ?1 0 ? 14 r + r3 ? 7 28 ? ?r22 +r4 2 ? ??? →?0 ?14 ? ? ? 7 28 ? ?0 0 ? ? 14 ? 56? ?0 0 ?3 9 1 ? ? 1? 7 2 2 ? 7 28? ? 0 0 0? ? 0 0 0?

? 1 ? 5 2 ? 3 11 ? 3r +r ?1 ? 5 2 ?? 3 1 ? 4 2 ? 5? r1 1 r3 2 ?0 ?14 2 + ?5r + r4 ? ??1? →? A=? ? ? ?1 ? 9 0 ? 4 17 ? ?0 ?14 2 ? ? ? ? 5 3 6 ?1 ?1? ?0 28 ? 4 ? ?1 1 ? ? r2 14 ?? → ?0 ? ? ?0 ?0 ? 9 7 1 1 ? 7 0 0 0 0 0 ? 1 2 1 2 0 0 ? 1 ? ? ? 2? ? 0 ? 0 ? ?

7 1 ? ? x1 = ? 9 x3 + 2 x 4 + 1 ? ∴ 方程组一般解为 ? ?x = ? 1 x ? 1 x ? 2 3 4 ? 2 7 2 ?

令 x 3 = k1 , x 4 = k 2 ,这里 k1 , k 2 为任意常数,得方程组通解

4

1 ? 7 ? ? 7? ? 1 ? ? x1 ? ? ? k1 + k 2 + 1? ?? 9 ? ? 2 ? ?1 ? 9 2 ?x ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? = ? k1 ? 1 k 2 ? 2 ? = k ? ? + k ? ? 1 ? + ? ? 2 ? 1 2 ? x3 ? ? 7 2 ? ? 7 ? ? 2? ? 0 ? k1 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? x4 ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? k2 ? ? ? ? ? ? ′ 7.试证:任一4维向量 β = [a1 , a 2 , a3 , a 4 ] 都可由向量组 ?1 ? ?1? ?1? ?1? ?0 ? ?1? ?1? ?1? α1 = ? ? , α 2 = ? ? ,α 3 = ? ? , α 4 = ? ? ?0 ? ?0 ? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1?
线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式. ?1 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1? ?0 ? ?0 ? 证明: 证明: α 1 = ? ? α 2 ? α 1 = ? ? α 3 ? α 2 = ? ? α 4 ? α 3 = ? ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? 任一4维向量可唯一表示为 ? a1 ? ?1? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?a ? ?0 ? ?1? ?0 ? ? ? ? 2 ? = a ? ? + a ? ? + a ? ? + a ?0? = a α + a (α ? α ) + a (α ? α ) + a (α ? α ) β= 2 3 4 2 2 1 3 3 2 4 4 3 ? a 3 ? 1 ?0 ? ?0 ? ?1? ?0 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? ?a 4 ?

= ( a1 ? a 2 )α 1 + ( a 2 ? a 3 )α 2 + ( a 3 ? a 4 )α 3 + a 4α 4
⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只 有零解. 证明: 证明:设 AX = B 为含 n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即 R( A ) = R( A) = n 从而 AX = B 有唯一解当且仅当 R( A) = n 而相应齐次线性方程组 AX = 0 只有零解的充分必要条件是 R( A) = n



AX = B 有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组 AX = 0 只有零解 1 9.设 λ 是可逆矩阵A的特征值,且 λ ≠ 0 ,试证: 是矩阵 A ?1 的特征值.

λ

证明: 证明:∵ λ 是可逆矩阵A的特征值 ∴ 存在向量 ξ ,使 Aξ = λξ

Iξ = ( A ?1 A)ξ = A ?1 ( Aξ ) = A ?1 (λξ ) = λA ?1ξ = ξ 1 ∴ A ?1ξ = ξ


λ



1

λ

是矩阵 A ?1 的特征值

2 2 2 10. 用配方法将二次型 f = x12 + x 2 + x 3 + x 4 + 2 x1 x 2 ? 2 x 2 x 4 ? 2 x 2 x3 + 2 x3 x 4 化为标准

型. 解:

5

2 2 2 2 f = (x1 + x2 )2 + x3 + x4 ? 2x2 x4 ? 2x2 x3 + 2x3x4 = (x1 + x2 )2 + x3 + 2x3 (?x2 + x4 ) + x4 ? 2x2 x4 2 = ( x1 + x 2 ) 2 + ( x3 ? x 2 + x 4 ) 2 ? x 2



令 y1 = x1 + x 2 , y 2 = x 3 ? x 2 + x 4 , y 3 = x 2 , x 4 = y 4

? x1 = y1 ? y 3 ? ? x 2 = y3 即? ? x3 = y 2 + y 3 ? y 4 ?x4 = y4 ?
则将二次型化为标准型
2 2 f = y12 + y 2 ? y 3

6


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