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北京市西城区2016届高三上学期期末数学(理)试题(含解析)


2015-2016 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A={x|x>1},集合 B={a+2},若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,1] C.[﹣1,+∞) D.[1,+∞) 2.下

列函数中,值域为 R 的偶函数是( A.y=x +1
2

) D.

B.y=e ﹣e C.y=lg|x|

x

﹣x

3.设命题 p:“若 A.“p∧q ”为真命题 C.“¬q”为假命题 4.“

,则

”,命题 q:“若 a>b,则

”,则(



B.“p∨q”为假命题 D.以上都不对 ”是“数列{an}为等比数列”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是( )

A.

B.

C.

D.

6. 设 x, y 满足约束条件

, 若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7, 则实数 m= (



A.

B.

C.

D.

7.某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米 的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ;当车程超 过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x(单位:千米)为行驶里程,y(单位:元)为 所收费用,用[x]表示不大于 x 的最大整数,则图中①处应填( )

A.

B.

C.

D.

8. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 6, 点 E, F 分别在边 AD, BC 上, 且 DE=2AE, CF=2BF. 如 果对于常数 λ,在正方形 ABCD 的四条边上,有且只有 6 个不同的点 P 使得 立,那么 λ 的取值范围是( ) 成

A. (0,7) B. (4,7) C. (0,4) D. (﹣5,16)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知复数 z 满足 z(1+i)=2﹣4i,那么 z= . 10. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 A=B, a=3, c=2, 则 cosC=
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11.双曲线 C:

的渐近线方程为

;设 F1,F2 为双曲线 C 的左、右 .

焦点,P 为 C 上一点,且|PF1|=4,则|PF2|=

12.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点 O 为 BC 的中点,以 BC 为直径的 半圆与 AC,AO 分别相交于点 M,N,则 AN= ; = .

13.现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有 种. (用数 字作答) 14.某食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 且该食品在 4℃的保鲜时间是 16 小时. 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化 如图所示.给出以下四个结论: ①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时; ②当 x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少; ③到了此日 13 时,甲所购买的食品还在保鲜时间内; ④到了此日 14 时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中,所有正确结论的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.已知函数 ,x∈R.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)设 α>0,若函数 g(x)=f(x+α)为奇函数,求 α 的最小值. 16.甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命 中目标得 0 分.两人 4 局的得分情况如下: 6 6 9 9 甲 乙 7 9 x y (Ⅰ)若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; (Ⅱ)如果 x=y=7,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分和为 X, 求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所有可 能取值. (结论不要求证明) 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=135°,侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F 分别为 BC,AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 M 为 PD 的中点,求证:ME∥平面 PAB; (Ⅲ) 如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等, 求 值. 的

18.已知函数 f(x)=x ﹣1,函数 g(x)=2tlnx,其中 t≤1. (Ⅰ)如果函数 f(x)与 g(x)在 x=1 处的切线均为 l,求切线 l 的方程及 t 的值; (Ⅱ)如果曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点,求 t 的取值范围.

2

19.已知椭圆 C:

的离心率为

,点

在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满 足此 圆与 l 相交两点 P1,P2(两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP1,OP2 的斜率之积为 定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 20.在数字 1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列 A:a1,a2,…,an 中,如果对于 i,j∈N , i<j,有 ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列 A 中逆序对的个数为 S(A) .
*

如 n=4 时,在排列 B:3,2,4,1 中,逆序对有(3,2) , (3,1) , (2,1) , (4,1) ,则 S (B)=4. (Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出 S(C)的值; (Ⅱ)对于数字 1,2,…,n 的一切排列 A,求所有 S(A)的算术平均值; (Ⅲ)如果把排列 A:a1,a2,…,an 中两个数字 ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位 置保持不变,那么就得到一个新的排列 A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.

2015-2016 学年北京市西城区高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A={x|x>1},集合 B={a+2},若 A∩B=?,则实 数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,1] C.[﹣1,+∞) D.[1,+∞) 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】由 A 与 B,以及两集合的交集为空集,确定出 a 的范围即可. 【解答】解:∵A={x|x>1},集合 B={a+2},若 A∩B=?, ∴a+2≤1,即 a≤﹣1, 则实数 a 的范围为(﹣∞,﹣1], 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,值域为 R 的偶函数是( A.y=x +1
2

) D.

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B.y=e ﹣e C.y=lg|x|

x

﹣x

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域,推出结果即可. 2 【解答】解:y=x +1 是偶函数,值域为:[1,+∞) . ﹣x x y=e ﹣e 是奇函数. y=lg|x|是偶函数,值域为:R. 的值域:[0,+∞) . 故选:C 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域,是基础题.

3.设命题 p:“若

,则

”,命题 q:“若 a>b,则

”,则(



[来源:学.科.网]

A.“p∧q”为真命题 B.“p∨q”为假命题 C.“¬q”为假命题 D.以上都不对 【考点】复合命题的真假. 【专题】对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别判断出 p,q 的真假,从而判断出复合命题的真假即可. 【解答】解:命题 p:“若 ,则 ”是假命题,

命题 q:“若 a>b,则

”如:a=1,b=﹣1,

故命题 q 是假命题, 故 p∨q 是假命题, 故选:B. 【点评】本题考察了复合命题的判断,是一道基础题. 4.“ ”是“数列{an}为等比数列”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等比数列的性质,对于数列{an},“数列{an}为等比数列”可以推出 ““ ”,对于反面,我们可以利用特殊值法进行判断;

【解答】解:若数列{an}是等比数列,根据等比数列的性质得: , 反之,若“ ∴“ ”,当 an=0,此式也成立,但数列{an}不是等比数列, ”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件,

故选 B. 【点评】此题主要考查等比数列的性质及必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基 础题. 5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是( )

A. B. C. D. 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.

【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱,结合柱体表面 积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱, 其底面面积为: ×(1+2)×2=3, 底面周长为:2+2+1+ =5+ ,

高为:2, 故四棱柱的表面积 S=2×3+(5+ )×2= , 故选:B 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体 的形状是解答的关键.

6. 设 x, y 满足约束条件

, 若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7, 则实数 m= (



A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;对应思想;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标, 进一步求出最值, 结合最大值与最小值的差为 7 求得实数 m 的值.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(1,2) ,

联立

,解得 B(m﹣1,m) ,

化 z=x+3y,得 由图可知,当直线 当直线

. 过 A 时,z 有最大值为 7,

过 B 时,z 有最大值为 4m﹣1,

由题意,7﹣(4m﹣1)=7,解得:m= . 故选:C.

【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 7.某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米 的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ;当车程超 过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x(单位:千米)为行驶里程,y(单位:元)为 所收费用,用[x]表示不大于 x 的最大整数,则图中①处应填( )

A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图;分段函数的应用;函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数的性质及应用;算法和程序框图. 【分析】根据已知中的收费标准,求当 x>4 时,所收费用 y 的表达式,化简可得答案. 【解答】解:由已知中,超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分, 若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ; 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 可得:当 x>4 时,所收 费用 y=12+[x﹣4+ ]×2+1= ,

故选:D 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数模型的选择与应用,难度中档.

8. 如图, 正方形 ABCD 的 边长为 6, 点 E, F 分别在边 AD, BC 上, 且 DE=2AE, CF=2BF. 如 果对于常数 λ,在正方形 ABCD 的四条边上,有且只有 6 个不同的点 P 使得 立,那么 λ 的取值范围是( ) 成

A. (0,7) B. (4,7) C. (0,4) D. (﹣5,16) 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】函数思想;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】建立坐标系,逐段分析 的取值范围及对应的解,

【解答】解:以 DC 为 x 轴,以 DA 为 y 轴建立平面直角坐标系,如图,则 E(0,4) ,F(6, 4) . (1)若 P 在 CD 上,设 P(x,0) ,0≤x≤6.∴ ∴ =x ﹣6x+16,∵x∈[0,6],∴7≤
2

=(﹣x,4) , ≤16.

=(6﹣x,4) .

∴当 λ=7 时有一解,当 7<λ≤16 时有两解. (2)若 P 在 AD 上,设 P(0,y) ,0≤y≤6.∴ ∴
2 2

=(0,4﹣y) , ≤16.

=(6,4﹣y) .

=(4﹣y) =y ﹣8y+16,∵0≤y≤6,∴0≤

∴当 λ=0 或 4<λ≤16,有一解,当 0<λ≤4 时有两解. (3)若 P 在 AB 上,设 P(x,6) ,0≤x≤6. ∴ =x ﹣6x+4,∵0≤x≤6.∴﹣7≤
2

=(﹣x,﹣2) , ≤4.

=(6﹣x,﹣2) .

∴当 λ=﹣7 时有一解,当﹣7<λ≤2 时有两解. (4)若 P 在 BC 上,设 P(6,y) ,0≤y≤6,∴ ∴
2 2

=(﹣6,4﹣y) , ≤16.

=(0,4﹣y) .

=(4﹣y) =y ﹣8y+16,∵0≤y≤6,∴0≤

∴当 λ=0 或 4<λ≤16,有一解,当 0<λ≤4 时有两解. 综上,∴0<λ<4. 故选:C.

【点评】本题考查了平面向量的数量积计算,二次函数的根的个数判断.属于中档题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知复数 z 满足 z(1+i)=2﹣4i,那么 z= ﹣1﹣3i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由 z(1+i)=2﹣4i,得 . 故答案为:﹣1﹣3i. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 10. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 A=B, a=3, c=2, 则 cosC= 【考点】余弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由已知可求 b 的值,利用余弦定理即可求值得解. 【解答】解:∵A=B,a=3,c=2,可得:b=3, ∴cosC= 故答案为: . 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,考查了余弦定理的应用,属于基础题. = = .



11.双曲线 C:

的渐近线方程为

;设 F1,F2 为双曲线 C 的左、右

焦点,P 为 C 上一点,且|PF1|=4,则|PF2|= 12 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】双曲线 C:

中 a=4,b=2,可得渐近线方程为

,由题意 P 在双

曲线的左支上,则|PF2|﹣|PF1|=2a=8,即可得出结论. 【解答】解:双曲线 C: 中 a=4,b=2,则渐近线方程为 ,

由题意 P 在双曲线的左支上,则|PF2|﹣|PF1|=2a=8, ∴|PF2|=12 故答案为: ,12.

【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查双曲线的定义,比较基础. 12.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点 O 为 BC 的中点,以 BC 为直径的 半圆与 AC,AO 分别相交于点 M,N,则 AN= ; = .

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】选作题;方程思想;综合法;推理和证明. 【分析】利用勾股定理、切割线定理,即可得出结论. 【解答】解:由题意,AO= = , 由切割线定理可得 9=AN?( +2) , ∴AN= AC= . =5,

由切割线定理可得 9=AM?5,∴AM= , ∴MC= ∴ = , . , .

故答案为:

【点评】本题考查勾股定理、切割线定理,考查学生的计算能力,属于中档题. 13.现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有 54 种. (用数字作答) 【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;整体思想;数学模型法;排列组合. 【分析】第一类,把甲乙看做一个复合元素,和另外的 3 人分配到 3 个小组中,第二类,先 把另外的 3 人分配到 3 个小组,再把甲乙分配到其中 2 个小组,根据分类计数原理可得

【解答】解:第一类,把甲乙看做一个复合元素,和另外的 3 人分配到 3 个小组中(2,1, 1) ,C4 A3 =36 种, 3 2 第二类,先把另外的 3 人分配到 3 个小组,再把甲乙分配到其中 2 个小组,A3 C3 =18 种, 根据分类计数原理可得,共有 36+18=54 种, 故答案为:54. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,特殊元素特殊处理,属于中档题. 14.某食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 且该食品在 4℃的保鲜时间是 16 小时. 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化 如图所示.给出以下四个结论: ①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时; ②当 x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少; ③到了此日 13 时,甲所购买的食品还在保鲜时间内; ④到了此日 14 时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中,所有正确结论的序号是 ①④ .
2 3

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】根据食品在 4℃的保鲜时间是 16 小时.求出 k 值,进而逐一分析四个结论的真假, 可得答案. 【解答】解:∵食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 且该食品在 4℃的保鲜时间是 16 小时.
4k+6

∴2

=16,即 4k+6=4,解得:k=﹣ ,





当 x=6 时,t=8,故①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时,正确; ②当 x∈[﹣6,0]时,保鲜时间恒为 64 小时,当 x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间 t 随看 x 增大而逐渐减少,故错误;

③到了此日 10 时,温度超过 8 度,此时保鲜时间不超过 4 小时,故到 13 时,甲所购买的 食品不在保鲜时间内,故错误; ④到了此日 14 时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确, 故正确的结论的序号为:①④, 故答案为:①④. 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了函数在实际生活中的应用,难度中档. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.已知函数 ,x∈R.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)设 α>0,若函数 g(x)=f(x+α)为奇函数,求 α 的最小值. 【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得 函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)由题意可得 g(0)=0,即 【解答】 (Ⅰ)解: = = 所以函数 f(x)的最小正周期 由 得 , ,k∈Z. , , , . ,k∈Z, = ,由此求得 α 的最小正值.

所以函数 f(x)的单调递增区间为 (Ⅱ)解:由题意,得 因为函数 g(x)为奇函数,且 x∈R,所以 g(0)=0,即 所以 ,k∈Z,解得 .

,k∈Z,验证知其符合题意.

又因为 α>0,所以 α 的最小值为

【点评】 本题主要考查三角恒等变换, 正弦函数的单调性, 正弦函数的奇偶性, 属于基础题. 16.甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命 中目标得 0 分.两人 4 局的得分情况如下:

甲 乙

6 7

6 9

9 x

9 y

(Ⅰ)若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; (Ⅱ)如果 x=y=7,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分和为 X, 求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所有可 能取值. (结论不要求证明) 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,基本事件总数 n= ,这 2 局的得分恰

好相等基本数件个数 m=2,由此能求出从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分 恰好相等的概率. (Ⅱ)X 的所有可能取值为 13,15,16,18,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布 列和数学期望. (Ⅲ)由已知条件能写出 x 的可能取值为 6,7,8. 【解答】 (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:记“从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A,… 由题意,得 ,

所以从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分恰好相等的概率为 .… (Ⅱ)解:由题意,X 的所有可能取值为 13,15,16,18,… 且 , , , ,…

所以 X 的分布列为: X 13 15 P … 所以

16

18

.…

(Ⅲ)解:x 的可能取值为 6,7,8.… 【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 在历年高考中都是必考题型之一. 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=135°,侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F 分别为 BC,AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 M 为 PD 的中点,求证:ME∥平面 PAB;

(Ⅲ) 如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等, 求 值.



【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ)证明 AB⊥AC.EF⊥AC.推出 PA⊥底面 ABCD,即可说明 PA⊥EF,然后 证明 EF⊥平面 PAC. (Ⅱ)证明 MF∥PA,然后证明 MF∥平面 PAB,EF∥平面 PAB.即可阿门平面 MEF∥平 面 PAB,从而证明 ME∥平面 PAB. (Ⅲ)以 AB,AC,AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系,求出相关 点的坐标,平面 ABCD 的法向量,平面 PBC 的法向量,利用直线 ME 与平面 PBC 所成的 角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等,列出方程求解即可 【解答】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB=AC,∠BCD=135°,∠ABC=45°. 所以 AB⊥AC. 由 E,F 分别为 BC,AD 的中点,得 EF∥AB, 所以 EF⊥AC.… 因为侧面 PAB⊥底面 ABCD,且∠BAP=90°, 所以 PA⊥底面 ABCD.… 又因为 EF?底面 ABCD, 所以 PA⊥EF.… 又因为 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 EF⊥平面 PAC.… (Ⅱ)证明:因为 M 为 PD 的中点,F 分别为 AD 的中点, 所以 MF∥PA, 又因为 MF?平面 PAB,PA?平面 PAB, 所以 MF∥平面 PAB.… 同理,得 EF∥平面 PAB. 又因为 MF∩EF=F,MF?平面 MEF,EF?平面 MEF, 所以平面 MEF∥平面 PAB.… 又因为 ME?平面 MEF, 所以 ME∥平面 PAB.… (Ⅲ)解:因为 PA⊥底面 ABCD,AB⊥AC,所以 AP,AB,AC 两两垂直,故以 AB,AC, AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,D(﹣2,2,0) ,E(1,1, 0) ,

所以 设

, ,则

, , ,

,…

所以 M(﹣2λ,2λ,2﹣2λ) , 易得平面 ABCD 的法向量 =(0,0,1) .… 设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) , 由 , ,得

令 x=1,得 =(1,1,1) .… 因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等, 所以 ,即 ,…

所以 解得 ,或

, (舍) .…

【点评】 本题考查直线与平面所成角的求法, 直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应 用, 平面与平面平行的判定定理的应用, 考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应 用. 18.已知函数 f(x)=x ﹣1,函数 g(x)=2tlnx,其中 t≤1. (Ⅰ)如果函数 f(x)与 g(x)在 x=1 处的切线均为 l,求切线 l 的方程及 t 的值; (Ⅱ)如果曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点,求 t 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;分类讨论;分析法;导数的概念及应用. 【分析】 (Ⅰ)分别求得 f(x) ,g(x)的导数,求得切线的斜率,解方程可得 t=1,即可得 到切线的斜率和切点坐标,可得切线的方程;
2

(Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,“曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点”等 价于“函数 y=h(x)有且仅有一个零点”.对 h(x)求导,讨论①当 t≤0 时,②当 t=1 时, ③当 0<t<1 时,求出单调区间,即可得到零点和所求范围. 【解答】解: (Ⅰ)求导,得 f′(x)=2x, , (x>0) .

由题意,得切线 l 的斜率 k=f′(1)=g′(1) , 即 k=2t=2,解得 t=1. 又切点坐标为(1,0) , 所以切线 l 的方程为 2x﹣y﹣2=0; 2 (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣1﹣2tlnx,x∈(0,+∞) . “曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点”等价于 “函数 y=h(x)有且仅有一个零点”. 求导,得 .

①当 t≤0 时,由 x∈(0,+∞) ,得 h'(x)>0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递增. 又因为 h(1)=0,所以 y=h(x)有且仅有一个零点 1,符合题意. ②当 t=1 时,当 x 变化时,h'(x)与 h(x)的变化情况如下表所示: x 1 (0,1) (1,+∞) 0 + h'(x) ﹣ ↘ ↗ h(x) 所以 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当 x=1 时,h(x)min=h(1)=0, 故 y=h(x)有且仅有一个零点 1,符合题意. ③ 当 0<t<1 时,令 h'(x)=0,解得 . 当 x 变化时,h'(x)与 h(x)的变化情况如下表所示: x 0 + h'(x) ﹣ ↘ ↗ h(x) 所以 h(x)在 所以当 时, ,且 h(x)在 . , 上单调递减,在 . 上单调递增, 上单调递增,

因为 h(1)=0, 所以 又因为存在



所以存在 x0∈(0,1)使得 h(x0)=0, 所以函数 y=h(x)存在两个零点 x0,1,与题意不符. 综上,曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点时,t 的范围是{t|t≤0,或 t=1}. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查函数的零点问 题的解法,注意运用构造法,通过导数求得单调性,同时考查分类讨论的思想方法,属于中 档题.

19.已知椭圆 C:

的离心率为

,点

在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满 足此圆与 l 相交两点 P1,P2(两点均不在坐标轴上) ,且使得 直线 OP1,OP2 的斜率之积为 定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 【考点】圆锥曲线的定值问题;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)利用离心率列出方程,通过点在椭圆上列出方程,求出 a,b 然后求出椭圆的 方程. (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,验证直线 OP1,OP2 的斜率之积. 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m 与椭圆联立,利用直线 l 与椭圆 C 有且只有 2 2 一个公共点,推出 m =4k +1,通过直线与圆的方程的方程组,设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) , 结合韦达定理,求解直线的斜率乘积,推出 k1?k2 为定值即可. 【解答】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,得 又因为点 所以 解得 a=2,b=1, 所以椭圆 C 的方程为 ,… , .…
2 2

,a =b +c ,… 在椭圆 C 上,

2

2

2

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x +y =5.… 证明如下: 假 设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x +y =r (r>0) . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m.…
2 2 2 2 2 2

由方程组

得(4k +1)x +8kmx+4m ﹣4=0,…

因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 所以
2 2 2 2

,即 m =4k +1.…

2

2

由方程组

得(k +1)x +2kmx+m ﹣r =0,…





设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,则



,…

设直线 OP1,OP2 的斜率分别为 k1,k2, 所以

=

,…

将 m =4k +1 代入上式,得

2

2



要使得 k1k2 为定值,则
2 2

,即 r =5,验证符合题意.

2

所以当圆的方程为 x +y =5 时,圆与 l 的交点 P1,P2 满足 k1k2 为定值 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x=±2, 此时,圆 x +y =5 与 l 的交点 P1,P2 也满足
2 2 2 2

.…

. .…

综上,当圆的方程为 x +y =5 时,圆与 l 的交点 P1,P2 满足斜率之积 k1k2 为定值

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思 想以及计算能力. 20.在数字 1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列 A:a1,a2,…,an 中,如果对于 i,j∈N , i<j,有 ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列 A 中逆序对的个数为 S(A) . 如 n=4 时,在排列 B:3,2,4,1 中,逆序对有(3,2) , (3,1) , (2,1) , (4,1) ,则 S (B)=4. (Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出 S(C)的值; (Ⅱ)对于数字 1,2,…,n 的一切排列 A,求所有 S(A)的算术平均值; (Ⅲ)如果把排列 A:a1,a2,…,an 中两个数字 ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位 置保持不变,那么就得到一个新的排列 A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数. 【考点】数列与函数的综合. 【专题】新定义;分类讨论;分析法;排列组合. 【分析】 (Ⅰ)由逆序对的定义,列举即可得到所求值为 10; (Ⅱ)考察排列 D:d1,d2,…,dn﹣1,dn,运用组合数可得排列 D 中数对(di,dj)共有 个,即可得到所有 S(A)的算术平均值; (Ⅲ)讨论(1)当 j=i+1,即 ai,aj 相邻时, (2)当 j≠i+1,即 ai,aj 不相邻时,由新定义, 运用调整法,可得 S(A)+S(A')为奇数. 【解答】解: (Ⅰ)逆序对有(3,1) , (3,2) , (5,4) , (5,1) , (5,2) , (4,1) , (4,2) , (6,4) , (6,1) , (6,2)则 S(C)=10; (Ⅱ)考察排列 D:d1,d2,…,dn﹣1,dn 与排列 D1:dn,dn﹣1,…,d2,d1,
*

因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中 1≤i<j≤n) , 且排列 D 中数对(di,dj)共有 所以 .
[来源:学科网 ZXXK]

个,

所以排列 D 与 D1 的逆序对的个数的算术平均值为 而对于数字 1,2,…,n 的任意一个排列 A:a1,a2,…,an, 都可以构造排列 A1:an,an﹣1,…,a2,a1, 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为 所以所有 S(A)的算术平均值为 . .



(Ⅲ)证明: (1)当 j=i+1,即 ai,aj 相邻时, 不妨设 ai<ai+1,则排列 A'为 a1,a2 ,…,ai﹣1,ai+1,ai,ai+2,…,an, 此时排列 A'与排列 A:a1,a2,…,an 相比,仅多了一个逆序对(ai+1,ai) , 所以 S(A')=S(A)+1, 所以 S(A)+S(A')=2S(A)+1 为奇数. (2)当 j≠i+1,即 ai,aj 不相邻时, 假设 ai,aj 之间有 m 个数字,记排列 A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an, 先将 ai 向右移动一个位置,得到排列 A1:a1,a2,…,ai﹣1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an, 由(1)知 S(A1)与 S(A)的奇偶性不同, 再将 ai 向右移动一个位置,得到排列 A2:a1,a2,…,ai﹣1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…, an, 由(1)知 S(A2)与 S(A1)的奇偶性不同, 以此类推,ai 共向右移动 m 次,得到排列 Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an, 再将 aj 向左移动一个位置,得到排列 Am+1:a1,a2,…,ai﹣1,k1,…,km,aj,ai,…,an, 以此类推,aj 共向左移动 m+1 次,得到排列 A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an, 即为排列 A', 由(1)可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化, 而排列 A 经过 2m+1 次的前后两数交换位置,可以得到排列 A', 所以排列 A 与排列 A'的逆序数的奇偶性不同, 所以 S(A)+S(A')为奇数. 综上,得 S(A)+S(A')为奇数. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查列举法和排列组合的运用,运用分类讨论的思 想方法是解题的关键.
[来源:Z+xx+k.Com]


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