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北京2014高三数学文科模考四


北京 2014 高三数学文科模考四 选择题 (共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 在复平面上,复数 z ? 2 ? i 对应的点在 A.第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知全集 U ? R , 集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {x

? R | x ? 2} , 则右图中阴影部分所表示的集合为 A. {1} C. {1, 2} B. {0,1} D. {0,1, 2}

3.函数

f ( x ) ? log 2 x ?

1 x 的零点所在区间为

1 (0, ) 2 A.

1 ( ,1) B. 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

? y ? sin( x ? ) 3 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,则得到 4.若函数
的图象所对应的函数解析式为

1 ? y ? sin( x ? ) 2 6 A. y ? sin(2 x ?
C.

B.

1 ? y ? sin( x ? ) 2 3
? y ? sin(2 x ? ) 3

2? ) 3

D.

5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是 A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6. 圆 x ? y ? ax ? 2 ? 0 与直线相切于点 A(3,1) ,则直线的方程为
2 2

A. 2 x ? y ? 5 ? 0

B. x ? 2 y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 4 ? 0

7. 已知正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 为线段 D1 B1 上的动点,点 N DB1 相交且互相平分的线段 MN 有
B.1 条 D.3 条

为线段 AC 上的动点,则与线段 A.0 条 C. 2 条

x2 a 8. 若椭圆 C1 : 1
( a 2 ? b2 ? 0 )
2

?

y2 b1
2

?1

x2 a ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 : 2
2

?

y2 b2
2

?1

的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 ② a1 ? a 2 ? b1 ? b2
2 2 2 2



a1 b1 ? a2 b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④ D. ①②③

其中,所有正确结论的序号是 A.②③④ B. ①③④

非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

x2 y 2 ? ?1 2 9 .双曲线 C : 2 的渐近线方程为

;若双曲线 C 的右焦点和抛物线 .

y 2 ? 2 px 的焦点相同,则抛物线的准线方程为

10.点 P ( x, y ) 在不等式组

? y ? 2x ? ? y ? ?x ?x ? 2 ?

表示的平面区域内,

则 z ? x ? y 的最大值为_______. 11. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为____________. ? ?A ? 3 ,则 AB ? AC ? _________. 12. 已知 ?ABC 的面积 S ? 3 , 13.已知数列 则

{a n } 满足 a1 ? 1, a ? n( an ?1 ? an ) ( n ? N* ) 且 n ,

a2 ? _____ ; an =________.

14.已知函数 f '( x) 、g '( x) 分别是二次函数 f ( x) 和三次函数 g ( x) 的导函数, 它们在同一坐标 系下的图象如图所示: ①若 f (1) ? 1 ,则 f (?1) ? ;

② 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), 则 h(?1), h(0), h(1) 的 大小关系为 .(用“<”连接)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ? sin x .
2

? f( ) (Ⅰ)求 4 的值; ? x ? [0, ] 2 ,求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 值. (II)若

16. (本小题共 13 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC , BB1 , AA1 的中点. (I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .

17.(本小题共 14 分) 某学校餐厅新推出 A、B、C、D 四款套餐, 某一天四款套餐销售情况 的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价,对每位同学 都进行了问卷调查, 然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进 行统计,统计结果如下面表格所示:

满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40%

一般 25% 0 50% 20%

不满意 25% 20% 0 40%

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中 的概率; (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面谈,求这两人中至少 有一人选择的是 D 款套餐的概率.

18. (本小题共 14 分)

f ( x) ?
已知函数

1 3 x ? ax 2 ? bx. ( a, b ? R ) 3

(I)若 f '(0) ? f '(2) ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式; (II)若 b ? a ? 2 ,且 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 已知椭圆 C : a 两个焦点之间的距离为 2,且其离心率为 2 .
(Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若 F 为椭圆 C 的右焦点,经过椭圆的上顶点 B 的直线与椭圆另一个交点为 A,且满 足 BA ? BF =2 ,求 ?ABF 外接圆的方程.

20. (本小题共 13 分) 对于数列

A:a1,a2, ,an ,若满足 ai ? ?0,1? (i ? 1, 2,3, ???, n) ,则称数列 A 为“0-1 数列”.

定义变换 T ,T 将“0-1 数列” A 中原有的每个 1 都变成 0,1,原有的每个 0 都变成 1,0. 例 如 A :1,0,1,则 T ( A) : 0,1,1, 0, 0,1. 设

A0 是“0-1 数列” A ? T ( Ak ?1 ), ,令 k

k ? 1, 2,3,

.

(Ⅰ) 若数列 (Ⅱ) 若数列 (Ⅲ)若

A2 : 1, 0, 0,1, 0,1,1, 0,1, 0, 0,1. 求数列 A1 , A0 ; A0 共有 10 项,则数列 A2 中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由;

A0 为 0,1,记数列 Ak 中连续两项都是 0 的数对个数为 lk , k ? 1, 2,3, ??? .求 lk 关于 k 的

表达式.

参考答案 选择题 (共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 题号 答案 D A C B D

6 D

7 B

8 C

非选择题 (共 110 分) 二、 填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目, 第一空 3 分, 第二空 2 分) 9. 12.

y ? ? x , x ? ?2
2

10. 13.

6 2, n

11. 14.

? ?1
1 , h (0) ? h (1) ? h ( ?1)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin x cos x ? sin x ,
2

f ( ) ? sin cos ? sin 2 4 4 4 ? 4

?

?

?

?

…………………1 分

? (

2 2 2 2 )? ( ) 2 2

…………………4 分 …………………6 分
2

?1 .
(Ⅱ) f ( x) ? sin x cos x ? sin x

1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2
? 1 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2

…………………8 分

?

2 ? 1 sin( 2 x ? ) ? 2 4 2



…………………9 分

? ? ? 3? x ? [0, ] 2 x ? ? [? , ] 2 得 4 4 4 , 由
2x ?
所以,当 16. (共 13 分) 证明: (Ⅰ)由已知可得

…………………11 分

?
4

?

?

2 ?1 3 x? ? f ( x ) 2 ,即 8 时, 取到最大值为 2 .

……………13 分

AF / / B1E , AF ? B1E ,

? 四边形 AFB1E 是平行四边形, ? AE // FB1 ,
……………1 分

AE ? 平面 B1FC , FB1 ? 平面 B1FC , ? AE / / 平面 B1FC ;
又 D, E 分别是 BC , BB1 的中点, ……………2 分

? DE // B1C ,

……………3 分

ED ? 平面 B1FC , B1C ? 平面 B1FC , ? ED / / 平面 B1FC ;
AE
……………4 分

DE ? E , AE ? 平面 EAD , ED ? 平面 EAD , ……………5 分
? 平面 B1FC ∥平面 EAD .
……………6 分

(Ⅱ) ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

? C1C ? 面 ABC ,又 ? C1C ? AD .


AD ? 面 ABC ,
……………7 分

直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等, D 是 BC 边中点, ……………8 分

? ?ABC 是正三角形,? BC ? AD ,


C1C

BC ? C , CC1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,

? AD ? 面 BCC1B1 ,


……………9 分 ……………10 分 ……………11 分 ……………12 分

AD ? BC1 .
四边形

BCC1 B1 是菱形,? BC1 ? B1C , DE ? BC1 ,

而 DE // B1C ,故

由 AD ? DE ? D ,AD ? 面 EAD , ED ? 面 EAD , 得

BC1 ? 面 EAD .

……………13 分

17. (共 13 分) 解: (Ⅰ)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生共有 200 人, ……………1 分 其中选 A 款套餐的学生为 40 人, ……………2 分

20 ?
由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 设事件 M =“同学甲被选中进行问卷调查”,

40 ?4 200 份.

……………4 分 ……………5 分

P( M ) ?


4 ? 0.1 40 .

……………6 分

答:若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 . (II) 由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5. 其中不 满意的人数分别为 1,1,0,2 个 . ……………7 分 记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b;对 D 款套餐不满意的学生是 c,d. ……………8 分 设事件 N=“从填写不满意的学生中选出 2 人,至少有一人选择的是 D 款套餐” ……………9 分 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件,……10 分 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, ……………11 分

P( N ) ?


5 6.

……………13 分

5 答:这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率是 6 .
18. (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f '( x ) ? x ? 2ax ? b ,
2

…………………2 分

?b ? 1 ?a ? 1 ? ? 4 ? 4a ? b ? 1 得 ?b ? 1 , 由 f '(0) ? f '(2) ? 1 即 ?

…………………4 分

所以 f ( x) 的解析式为

1 f ( x) ? x3 ? x2 ? x 3 .
2 2

…………………5 分 …………………6 分

(Ⅱ)若 b ? a ? 2 ,则 f '( x ) ? x ? 2ax ? a ? 2 , ? ? 4a ? 4( a ? 2) ,

(1)当 ? ? 0 ,即 ?1 ? a ? 2 时, f '( x ) ? 0 恒成立,那么 f ( x ) 在 R 上单调递增, 所以,当 ?1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增; (2)解法 1:当 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ?1 时,
2 x ? a ? a ? a ? 2 , x2 ? a ? a ? a ? 2 令 f '( x ) ? x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 解得 1
2 2

…………………8 分

…………………9 分 列表分析函数 f ( x ) 的单调性如下:

x
f '( x)

( ??, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

?

?

?

f ( x)
…………………10 分 要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,

只需

?a ? 2或a ? ?1 ? ?a ? 0 ? f '(0) ? 0 ?



?a ? 2或a ? ?1 ? ?a ? 1 ? f '(1) ? 0 ?

, …………………13 分

解得 ?2 ? a ? ?1 或 2 ? a ? 3 .

解法 2:当 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ?1 时, 因为 f '( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 的对称轴方程为 x ? a
2

…………………9 分

要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,

?a ? ?1 ?a ? 2 ? ? f '(0) ? 0 或 ? f '(1) ? 0 需?
解得 ?2 ? a ? ?1 或 2 ? a ? 3 . 综上:当 a ? [ ?2,3] 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. …………………13 分 …………………14 分

19. (共 14 分)

? 2c ? 2, e ?
解:(Ⅰ)

c 2 ? a 2



……………1 分

? c ? 1, a ? 2 ,

?b ? a2 ? c2 ? 1 ,
x2 ? y2 ? 1 C 椭圆 的标准方程是 2 .
(Ⅱ)由已知可得 B (0,1), F (1,0) , 设

…………4 分

………………5 分 …………………6 分

A( x0 , y0 ) ,则 BA ? ( x0 , y0 ? 1), BF ? (1,?1) ,

? BA ? BF ? 2 ,

? x0 ? ( y0 ? 1) ? 2 ,即 x0 ? 1 ? y0 ,
4 ? x0 ? ? ? 3 ? 2 x ? 0 ? 0 x0 2 ?y ? 1 ? ? y0 ? 1 ? 0 3 y ? ? 1 代入 2 ,得: ? 0 或? ,
4 1 A( , ) 即 A(0,?1) 或 3 3 .
当 A 为 (0,?1) 时,

…………………8 分

………………10 分

OA ? OB ? OF ? 1 ?ABF , 的外接圆是以 O 为圆心,以 1 为半径的圆,
2 2

该外接圆的方程为 x ? y ? 1 ;

………………12 分

4 1 ( , ) 当 A 为 3 3 时, k BF ? ?1, k AF ? 1 ,所以 ?ABF 是直角三角形,其外接圆是以线段 BA 为

2 5 2 2 BA ? ( , ) 3 可 得 ?ABF 的 外 接 圆 的 方 程 为 直 径 的 圆 . 由 线 段 BA 的 中 点 3 3 以 及
2 2 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 3 3 9.

………………14 分

2 2 综上所述, ?ABF 的外接圆的方程为 x ? y ? 1 或

2 2 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 3 3 9.

20. (共 13 分) 解:(Ⅰ)由变换 T 的定义可得

A1 : 0,1,1, 0, 0,1

………………2 分 ………………4 分

A0 :1, 0,1
(Ⅱ) 数列

A0 中连续两项相等的数对至少有 10 对

………………5 分

证明:对于任意一个“0-1 数列”

A0 , A0 中每一个 1 在 A2 中对应连续四项 1,0,0,1,在 A0 中每一

个 0 在 A2 中对应的连续四项为 0,1,1,0, 因此,共有 10 项的“0-1 数列” 所以

A0 中的每一个项在 A2 中都会对应一个连续相等的数对,
………………8 分

A2 中至少有 10 对连续相等的数对. Ak 中有 bk 个 01 数对,

(Ⅲ) 设

Ak ?1 中的 00 数对只能由 Ak 中的 01 数对得到,所以 lk ?1 ? bk , Ak ?1 中的 01 数对有两个产生途径:①由 Ak 中的 1 得到; ②由 Ak 中 00 得到,
由变换 T 的定义及 所以 所以 由

A0 : 0,1 可得 Ak 中 0 和 1 的个数总相等,且共有 2k ?1 个,

bk ?1 ? lk ? 2k , lk ? 2 ? lk ? 2 k ,

A0 : 0,1 可得 A1 :1, 0, 0,1 , A2 : 0,1,1, 0,1, 0, 0,1 l1 ? 1, l2 ? 1 ,

所以

当 k ? 3 时, 若 k 为偶数,

lk ? lk ? 2 ? 2 k ? 2 , lk ? 2 ? lk ? 4 ? 2 k ? 4
,

l4 ? l2 ? 2 2

.

上述各式相加可得

lk ? 1 ? 2 2 ? 2 4 ?

? 2k ?2

1(1 ? 4 2 ) 1 k ? ? (2 ? 1) 1? 4 3 ,

k ?1

1 lk ? (2k ? 1) 3 经检验, k ? 2 时,也满足 .

若 k 为奇数,

lk ? lk ? 2 ? 2 k ? 2 lk ? 2 ? lk ? 4 ? 2 k ? 4

l3 ? l1 ? 2 .

上述各式相加可得

lk ? 1 ? 2 ? 2 3 ?

? 2k ?2

2(1 ? 4 2 ) 1 k ? 1? ? (2 ? 1) 1? 4 3 ,

k ?1

1 lk ? (2k ? 1) 3 经检验, k ? 1 时,也满足 .

?1 k (2 ? 1), k为奇数 ? ?3 lk ? ? ? 1 (2k ? 1), k为偶数 ? ?3 所以

.

…………13 分


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