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2.3 幂函数


2.3 幂函数

【学习目标】 1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质.

2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简
单的应用.

1.幂函数的定义 y=xα(α∈R) 的函数称为幂函数,其中______ x 是 形如________________

α 为常数. 自变量

,______
①⑥ 练习 1:下列函数中是幂函数的是__________.

①y=x 1;


②y=x +x3; ⑤y=1;

1 5

③y=(x-1)2; ⑥y=xπ.

④y=3x2;

2.幂函数的图象

在同一直角坐标系中,幂函数 y=x;y=x2;y=x3;y=x ; 1 y=x 的图象如图 231.

1 2

图 2-3-1

(0,0),(1,1) 练习2:当α>0时,幂函数y=xα的图象都过定点__________.

3.幂函数的性
y=x 定义域 值域 奇偶性 y=x2 y=x3

R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞)时,增 单调性 增 x∈(-∞,0]时,减 (1,1) 定点 (1,1)

R R 奇

R R 奇


y=x [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶


1 2

y=x-1 {x|x≠0,x∈R} {y|y≠0,y∈R} 奇 x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减 (1,1)

(1,1)

(1,1)

练习3:当α<0时,当x∈(0,+∞)时,y=xa的函数值随x的

减小 无限接近 增大而______ ,向右图象与x轴____________.

【问题探究】 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)是指数函数,函数 y=xα是幂函数,

两种函数最大的区别是什么?
答案:指数函数的指数是变量,而幂函数是底数为变量.

题型 1 幂函数的定义及应用
x 【例 1】 已知 m∈N ,函数 f(x)=(2m-m )·
* 2
2 m 2 ?3 m ? 2



(0, +∞)上是增函数,判断函数 f(x)的奇偶性. 思维突破:根据幂函数的特点、函数奇偶性的定义进行解 题.

解:由函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,
2 ? ?2m +3m-2>0, 得? 2 ? ?2m-m >0 2 ? ?2m +3m-2<0, 或? 2 ? ?2m-m <0,

1 1 ? ? ?-2<m< , ?m> 或m<-2, 2 即? 2 或? ? ? ?0<m<2 ?m>2或m<0. 1 ∴2<m<2 或-2<m<0. ∵m∈N*,∴m=1.此时 f(x)=x3,x∈R. ∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), 故函数 f(x)为奇函数.

(1)幂函数 y=xα的特点:
①系数必须为 1;②指数必须为常数. (2)幂函数的单调性:①α>0 时,y=xα在(0,+∞)上为增函 数;②α<0 时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.

【变式与拓展】
x 1.已知函数 f(x)=(m +2m)·
2
m 2 ? m ?1

,当 m 为何值时,f(x)是

(1)幂函数?

(2)正比例函数?
(3)反比例函数? (4)二次函数?

解:(1)若 f(x)为幂函数, 则 m2+2m=1,∴m=-1± 2. (2)若
2 ? ?m +m-1=1, f(x)为正比例函数,则? 2 ? ?m +2m≠0

?m=1.

(3)若

2 ? ?m +m-1=-1, f(x)为反比例函数,则? 2 ? ?m +2m≠0

?m=-1.

(4)若 f(x)为二次函数,
2 ? ?m +m-1=2, 则? 2 ? ?m +2m≠0

-1± 13 ?m= . 2

题型 2 幂函数的图象

【例 2】 函数 y=x 的图象是(

1 3

)

解析:因为 y=x ,由幂函数的性质,过点(0,0),(1,1),则 1 只剩 B, C.因为 y=x 中 α=3, 当 x>1 时, 图象在 y=x 下方. 故
α

1 3

选 B.
答案:B

【变式与拓展】 2.(2013 年四川乐山一模)下面给出 4 个幂函数的图象,则 图象与函数的大致对应是( B )

A.①y=x ;②y=x2;③y=x ;④y=x
1 2 1 2

1 3

1 2

-1

B.①y=x3;②y=x2;③y=x ;④y=x-1 C.①y=x2;②y=x3;③y=x ;④y=x-1 D.①y=x ;②y=x ;③y=x2;④y=x-1
1 3 1 2

题型 3 函数值的大小比较

1 ?1?b ?1?a 【例 3】 如果2<?2? <?2? <1,那么( ? ? ? ?
A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa

)

?1? 1 ?1?b ?1?a 解析:根据2<?2? <?2? <1 且函数 y=?2?x 是 R 上的减函数, ? ? ? ? ? ?

∴0<a<b<1.由指数函数 y=ax 的单调性,得 ab<aa;由幂函 数 y=xa 的单调性,得 aa<ba.故选 C.
答案:C

比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同 (即底数为变量),此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果

底数相同而指数不同(即指数为变量),此时利用指数函数的单
调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引

入中间变量,常用的中间变量有 0,1 或由一个幂的底数和另一
个幂的指数组成的幂.注意:指数函数当 a>1 时单调递增,当 0<a<1 时单调递减;而幂函数当α>0 时在第一象限单调递增, 当α<0 时在第一象限单调递减.

【变式与拓展】 3.下列各不等式中正确的是( D )
?1? 2 ?1? 2 ?1? 1 A.?2? 3 <?5? 3 <?2? 3 ? ? ? ? ? ? ?1? 2 ?1? 1 ?1? 2 C.?5? 3 <?2? 3 <?2? 3 ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ?1? 2 ?1? 2 B.?2? 3 <?2? 3 <?5? 3 ? ? ? ? ? ? ?1? 2 ?1? 2 ?1? 1 D.?5? 3 <?2? 3 <?2? 3 ? ? ? ? ? ?

解析:由 =x
2 3

?1? ?1? 2 ?1? 1 y=?2?x 在(-∞,+∞)上递减知:?2? 3 <?2? 3 ;由 ? ? ? ? ? ?

y

?1? 2 ?1? 2 在(0,+∞)递增知:?5? 3 <?2? 3 . ? ? ? ?

【例 4】 已知幂函数 f(x)= x

m 2 ? 2 m ?3

(m∈Z)的图象与 x 轴、y

轴都无交点,且关于 y 轴对称,试确定 f(x)的解析式. 易错分析:对幂函数 y=xα的理解不透彻.

?m2-2m-3≤0, ? 2 解:由题意,得?m -2m-3是偶数, ?m∈Z, ? 当 m=-1 和 3 时,解析式为 f(x)=x0; 当 m=1 时,解析式为 f(x)=x-4.

解得 m=-1,1,3.

[方法· 规律· 小结] 1.幂函数的概念. 形如y =xα 的函数叫幂函数,这里需有:①系数为1,②指 数为常数,③后面不加任何项 . 例如:y = 3x , y = xx + 1 ,y = x2 +1均不是幂函数,再者注意与指数函数的区别,如y=x2是幂 函数,y=2x是指数函数.

2.幂函数y=xα的性质是分α>0和α<0两种情况来讨论的.

3.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在 第四象限,至于是否出现在第二、三象限,要看函数的奇偶性, 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性

等,只要作出幂函数在第一象限的图象,然后根据它的奇偶性
就可作出幂函数在定义域内完整的图象.


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