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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.3


2.1.3

2.1.3
【学习要求】
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函数的单调性

1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念. 2.掌握增(减)函数的证明和判别,学会运用函数图象理解和研 究函数的性质,能利用函数图象划分函数的单调区间. 【学法指导】 考察函数的单调性,可以从函数的图象、函数值

的变化情况, 增(减)函数的定义等多方面进行,但函数单调性的证明必须根 据增(减)函数的定义加以证明.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.3

1.增函数与减函数的概念:一般地,设函数 f(x)的定义域为 A,
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区间 M?A.如果取区间 M 中的任意两个值 x1,x2,改变量 Δx =x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0 时,就称函数 y=f(x)在 区间 M 上是 增函数 ,当 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y =f(x)在区间 M 上是 减函数 . 2.如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是 减函数,就说这 个函数在这个区间 M 上具有单调性. (区间 M 称为单调区间 ).

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2.1.3

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[问题情境]

函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果

了解了函数的变化规律, 那么也就把握了相应事物的变化规 律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中,我们 有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯 教室后向前走,逐步下降.很多函数也具有类似性质,这就 是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性.

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探究点一 问题 1

函数单调性的有关概念

观察下列函数的图象,回答当自变量 x 的值增大时,

函数值 f(x)是如何变化的?
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答 当自变量在实数集内由小变大时,函数 y=2x 的值也 随着逐渐增大,函数 y=-2x 的值反而减小;
而函数 y=x2+1,在区间(-∞,0]上,函数值逐渐减小, 在区间[0,+∞)上又逐渐增大.

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问题 2

如何用 x 与 f(x)来描述当 x 在给定区间从小到大取值

时,函数值依次增大?

答 在给定区间上任取 x1,x2,x1<x2,f(x1)<f(x2).
本 问题 3 在函数 y=f(x)的图象上任取两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 课 记 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1,如何用 Δx 与 Δy 时 栏 来描述:“当 x 在给定区间从小到大取值时,函数值依次增 目 开 关 大”?“当 x 在给定区间从小到大取值时,函数值依次减

小”?
答 分别表示为:当 Δx>0 时,Δy>0;当 Δx>0 时,Δy<0.

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问题 4

对于函数 f(x),当 Δx>0 时,有 Δy>0,我们说 f(x)是

增函数;当 Δx>0 时,有 Δy<0. 我们说 f(x)是减函数.如果 给出函数 y=f(x),x∈A,你能给增函数和减函数下个定义
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吗? 答 一般地,设函数 f(x)的定义域为 A,区间 M?A.
如果取区间 M 中的任意两个值 x1,2, x 改变量 Δx=x2-x1>0, 则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0 时,就称函数 y=f(x)在区间 M 上是 增函数,如下图(1);

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2.1.3

当 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时, 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函 数,如下图(2).
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如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说这 个函数在这个区间上具有单调性.(区间 M 称为单调区间)

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2.1.3

例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x), 根据图象说 出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还 是减函数?
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解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].
其中 y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,

在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

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2.1.3

小结
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函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 单

调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时, 单调区间之间可用“, ”分开, 不能用“∪”, 可以用“和” 来表示;在单调区间 D 上函数要么是增函数,要么是减函 数,不能二者兼有.

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跟踪训练 1 根据下图说出函数在每一个单调区间上, 是增函 数还是减函数.

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解 函数在[-1,0]上是减函数,
在[0,2]上是增函数,

在[2,4]上是减函数,

在[4,5]上是增函数.

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2.1.3

探究点二 问题 1

增函数、减函数的证明或判断

判断函数单调性的方法有哪些?

答 定义法,图象法.

问题 2 证明函数单调性的方法有哪些?
本 答 只有定义法. 课 时 问题 3 根据增函数或减函数的定义,你认为证明函数 f(x)在 栏 区间 D 上单调性的一般步骤有哪些? 目 开 答 (1)取值:任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 关

(2)作差:f(x1)-f(x2);

(3)变形:通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为 积或商的形式;
(4)定号:判断差 f(x1)-f(x2)的正负;

(5)小结:指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性.

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2.1.3

例2

证明函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.

证明 设 x1,x2 是任意两个不相等的实数,且 x1<x2,则
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Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=2x2+1-(2x1+1)=2(x2-x1)=2Δx>0.

所以函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.
小结 运用定义判断或证明函数的单调性时,要注意 x1、x2 的三大特征:①属于同一区间;②任意性;③有大小:通常 规定 x1<x2.要牢记证明函数单调性的五大步骤:取值→作差 →变形→定号→小结.

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2.1.3

1 跟踪训练 2 证明函数 f(x)=x在区间(0,+∞)上是减函数.
证明
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设 x1,x2 是(0,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,

则 Δx=x1-x2<0,

1 1 x2-x1 Δy=f(x1)-f(x2)=x -x = x x . 1 2 1 2

由 x1,x2∈(0,+∞),得 x1x2>0,
且 x2-x1=-Δx>0,于是 Δy>0.

1 所以,f(x)=x在(0,+∞)上是减函数.

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2.1.3

探究点三 问题 1

函数单调性的应用

如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小?

答 先判断函数 f(x)在区间 D 上的单调性,
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如果函数 f(x)在 D 上是增函数,则当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),

如果 f(x)在 D 上是减函数,结论则相反.

问题 2


已知函数的单调性,能利用函数值的大小关系得出对
能.利用函数单调性,将函数值的大小关系转化为自变

应自变量的大小关系吗?
量的大小关系,即脱去 f 符号,转化为自变量的大小关系.

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2.1.3

例3

已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意的正数 d,都

有 f(x+d)<f(x),求满足 f(1-a)<f(2a-1)的 a 的取值范围.

解 令 x1=x+d,x2=x,
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∵d>0,∴x1>x2,
由 f(x+d)<f(x)知,f(x1)<f(x2).
∴y=f(x)在定义域 R 上是减函数.

∵f(1-a)<f(2a-1),
2 ∴1-a>2a-1,即 a<3.
∴a
? 2? 的取值范围为?-∞,3?. ? ?

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2.1.3

小结
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如果由函数 y=f(x)在区间 M 上的任意两个数 x1<x2 推

出 f(x1)<f(x2),则函数 y=f(x)是增函数;反之,如果已知函数 y=f(x)在区间 M 上是增函数,若 f(x1)<f(x2)成立,则 x1<x2 也 成立.已知函数的单调性求参数的取值范围,要注意数形结 合,采用逆向思维.

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跟踪训练 3 已知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,判断 ?3? 2 f(a -a+1)与 f?4?的大小关系. ? ?
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解 由于 a

2

? 1?2 3 3 -a+1=?a-2? +4≥4, ? ?

又因函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,
所以 f(a
2

?3? -a+1)≤f?4?. ? ?

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2.1.3

1.若函数 f(x)=4x2-mx+5-m 在[-2,+∞)上是增函数,在
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(-∞,-2]上是减函数,则实数 m 的值为________. -16
解析 m 由题意, 函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x= 8 =-2,

所以 m=-16.
2.函数 f(x)是定义域上的单调递减函数,且过点(-3,2)和(1,
(-3,1) -2),则|f(x)|<2 的自变量 x 的取值范围是__________.

解析 由题意可知:当 x∈(-3,1)时,-2<f(x)<2,
即|f(x)|<2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处 2.1.3 k 3.物理学中的玻意耳定律 p=V(k 为正常数)告诉我们,对于一 定量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将增大.试用函 数的单调性证明之.

证明 根据单调性的定义,设 V1,V2 是定义域(0,+∞)上
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的任意两个实数,且 V1<V2, V2-V1 k k 则 p(V1)-p(V2)=V -V =k V V . 1 2 1 2

由 V1,V2∈(0,+∞),得 V1V2>0.
由 V1<V2,得 V2-V1>0.又 k>0,

于是 p(V1)-p(V2)>0,即 p(V1)>p(V2). k 所以,函数 p= 在(0,+∞)上是减函数,也就是说,当体 V
积 V 减小时,压强 p 将增大.

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2.1.3

1.若 f(x)的定义域为 D,A?D,B?D,f(x)在 A 和 B 上都单调
本 递减,未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减. 课 时 2.对增函数的判断,当 x <x 时,都有 f(x )<f(x ),也可以用一 1 2 1 2 栏 f?x1?-f?x2? 目 个不等式来替代:(x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或 >0. 开 x1-x2 关

对减函数的判断,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),相应地也 可 用 一 个 不 等 式 来 替 代 : (x1 - x2)· 1) - f(x2)]<0 或 [f(x f?x1?-f?x2? <0. x1-x2

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2.1.3

3.若 f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则:①在定义域的
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交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增, 1 ②-f(x)单调递减,③ 单调递减(f(x)≠0). f?x? 4.对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x),证明单调性时,也可 f?x1? 以作商 与 1 比较. f?x2?


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(二)

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