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解三角形专题(高考题)练习【附答案】


B ? ? 1、在 b、c,向量 m ? 2 sin B, ? 3 , n ? ? cos 2 B, 2 cos 2 ? 1? ,且 m // n 。 2 ? ?

?

?

(I)求锐角 B 的大小; (1)解:m∥n

(II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值。<

br />
B ? 2sinB(2cos2 2 -1)=- 3cos2B ? tan2B=- 3 ……4 分

?2sinBcosB=- 3cos2B

2π π ∵0<2B<π ,∴2B= 3 ,∴锐角 B= 3 ……2 分 π 5π (2)由 tan2B=- 3 ? B= 或 3 6 π ①当 B= 3 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB= 4 ac≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1 分 ……3 分

5π ②当 B= 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ……1 分

1 1 ∵△ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB=4ac≤2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 ……1 分

5、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b cosC ? 3a cos B ? c cos B. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c b 的值.

解: (I)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ,
则2 R sin B cosC ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cosC ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cosC ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0,

1 cos B ? . 3 …………6 分 因此

(II)解:由 BA ? BC ? 2, 可得a cos B ? 2 ,
1 又 cos B ? , 故ac ? 6, 3 2 2 由b ? a ? c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0,即a ? c,

所以 a=c= 6 6、在 ?ABC 中, cos A ? (Ⅰ)求角 C ;
cos A ? 5 10 , cos B ? . 5 10

(Ⅱ)设 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积.
? ?? 5 10 A、B ? ? 0, ? cos B ? ? 2 ? ,所以 5 , 10 ,得

(Ⅰ)解:由
sin A ?

2 3 , sin B ? . 5 10

…… 3 分
2 2 …6 分

因为

cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?

且0?C ?? 故 (Ⅱ)解:

C?

?
4

.

………… 7 分

根据正弦定理得
AB AC AB ? sin B 6 ? ? AC ? ? sin C sin B sin C 10 ,

………….. 10 分

1 6 AB ? AC ? sin A ? . 5 所以 ?ABC 的面积为 2
?? 7、在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量 m ? (1, 2sin A) ,

? ?? ? ? n ? (sin A,1 ? cos A), 满足m // n, b ? c ? 3a. (I)求 A 的大小; (II)求 sin(B ? 6 ) 的值.

2 解: (1)由 m//n 得 2 sin A ? 1 ? cos A ? 0

……2 分

2 即 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0

?c o s A?

? A是?ABC的内角, cos A ? ?1 舍去

1 或c o s A ? ?1 2 ………………4 分 ?
?A? 3

………………6 分

(2)? b ? c ? 3a 由正弦定理,
2 ?B ?C ? ? 3
?
sin B ? sin C ? 3 sin A ? 3 2

………………8 分 ………………10 分

2? 3 ?s i n B ? s i n ( ? B) ? 3 2

3 3 3 ? 3 cos B ? sin B ? 即sin(B ? ) ? 2 2 2 6 2

8、△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且有 sin2C+ 3 cos(A+B)=0,. 当 a ? 4, c ? 13 ,求△ABC 的面积。 解:由 sin 2C ? 3 cos(A ? B) ? 0且A ? B ? C ? ?
2 sin C cosC ? 3 cosC ? 0所以, cosC ? 0或 sin C ? 3 2



……6 分



a ? 4, c ? 13 , 有c ? a, 所以只能 sin C ?

3 ? , 则C ? 2 3 , ……8 分

2 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab ? cosC有b ? 4b ? 3 ? 0, 解得b ? 1或b ? 3



b ? 3时, S ?

1 ab ? sin C ? 3 3 2

当b ? 1时, S ?

1 ab ? sin C ? 3. 2
1 2 1 3

9、在△ ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 tan A ? , tan B ? ,且最长 边的边长为 l.求: (I)角 C 的大小; (II)△ ABC 最短边的长.

1 1 ? tan A ? tan B ?? ? ? 2 3 ? ?1 1 1 1 ? tan A tan B 1? ? 2 3 9、解: (I)tanC=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B)

∵ 0?C ?? , ∴

C?

3? 4

……………………5 分

(II)∵0<tanB<tanA,∴A、B 均为锐角, 则 B<A,又 C 为钝角, ∴最短边为 b
tan B ?

,最长边长为 c……………………7 分



1 10 sin B ? 3 ,解得 10

……………………9 分
1? 10 10 ? 5 5 2 2

b c ? 由 sin B sin C

c ? sin B b? ? sin C

,∴

………………12 分

10、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c = 7 ,且
4 sin 2 A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小;

(2)求△ABC 的面积.

10、解:(1) ∵A+B+C=180°
4 sin 2 A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos2 ? cos 2C ? 2 2 2 2



…………1 分



4?

1 ? cosC 7 ? (2 cos2 C ? 1) ? 2 2

………………3 分 …………4 分

2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0

解 得:

cosC ?

1 2

……5 分 ∴C=60° ………………6 分 …………7 分

∵ 0? ? C ? 180 ?

(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab
2 ∴ 7 ? (a ? b) ? 3ab

………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分



S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

12、 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , m ? (2b ? c, a) , n ? (cos A, ? cos C) , 且m ?n。 ⑴求角 A 的大小; ⑵当 y ? 2sin 2 B ? sin(2 B ? ) 取最大值时,求角 B 的大小 6

?

、解:⑴由 m ? n ,得 m?n ? 0 ,从而 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0
2sin B cos A ? sin( A ? C) ? 0, 2sin B cos A ? sin B ? 0

? A, B ? (0, ? ) ,?
分)

sin B ? 0, cos A ?

1 ? A? 3 2 ,?

(6

y ? 2sin 2 B ? sin(2 B ? ) ? (1 ? cos 2 B) ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 6 6 6 ⑵
? 1? 3 1 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) 2 2 6

?

?

?

由 (1) 得,
B?

0? B?

2? ? ? 7? ? ? , ? ? 2B ? ? ,??? ? ? 3 6 6 6 6 2 时,

?
3 时, y 取最大值 2



13、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC ? BA ? BC ? k (k ? R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 c ? 2 , 求k 的值.

解: (I)? AB ? AC ? cb cos A, BA ? BC ? ca cos B …………1 分
又 AB ? AC ? BA ? BC ? bc cos A ? ac cos B

?sin B cos A ? sin A cos B

…………3 分

即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0
? sin(A ? B) ? 0 …………5 分

? ?? ? A ? B ? ? ?A? B

? ?ABC 为等腰三角形. …………7 分

(II)由(I)知 a ? b
? AB ? AC ? bc cos A ? bc ?
?c ? 2

b2 ? c2 ? a2 c2 ? 2bc 2

…………10 分

? k ? 1 …………12 分

14、在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

c o sB b ?? . c o sC 2 a?c

(I)求角 B 的大小;

(II)若 b ,求△ ABC 的面积. ?1 3 , a ? c ? 4

a b c ? ? ? 2 R i n A s i n B s i n C 解: (I)解法一:由正弦定理 s 得

aR ? 2 s i n A , b ? 2 R s i n B , cR ? 2 s i n C
c o s B b c o s B s i n B ? ? 得? ? o s C2 a ? cc o s C2 s i n A ? s i n C 将上式代入已知 c
s i n A c o s B ? s i n C c o s B ? c o s C s i n B ? 0 即2

s i n A c o s B ? s i n ( B ?? C )0 即2

∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C ) ? sin A,∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0
1 s i n A ≠ 0 , ∴ c o s B ? ?, 2 ∵ B? 2 ? 3 .

∵B 为三角形的内角,∴

2 2 2 2 2 2 a ?? c b a ?? b c c o s B ? , c o s C ? 2 a c 2 a b 解法二:由余弦定理得
2 2 2 c o s B b a ? cb ? 2 a b b ? ? 得 × ? ? 2 2 2 o s C 2 a ? c 2 a c a ? c a ? b ? c 2 将上式代入 c

? c ? b ? ? a c 整理得 a
2 2 2

2 2 2 a ? c ? b ? a c 1 c o s B ? ? ? ? 2 a c 2 a c 2 ∴

∵B 为三角形内角,∴

B?

2 ? 3

2 b ?1 3 , a ? c ? 4 , B ?? 2 2 2 3 代入余弦定理 b ??? a c2 a c c o s B (II)将 得
2 2 b ?? ( ac ) ? 2 a c ? 2 a c c o s B ,

1 1 3 ? 1 6 ? 2 a c ( 1 ?) , ∴ a c ? 3 2 ∴ 1 3 S c s i n B ? 3 △ A B C? a 2 4 . ∴

17、 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积 公式等基础知识,主要考查基本运算能力.
B?

?
3

(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且
C? 2? 3 ? A,sin A ? 3 5,

, cos A ?

4 5,



3 1 3? 4 3 ? 2? ? sin C ? sin ? ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 . ? 3 ? 2 ∴

3 3? 4 3 sin A ? ,sin C ? 5 10 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

又∵

B?

?
3

,b ? 3

,∴在△ABC 中,由正弦定理,得



a?

b sin A 6 ? sin B 5 .
S? 1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50 .

∴△ABC 的面积

18、解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三
3 ? 角函数值的制约,并利用正弦定理得到 sinB= 2 (负值舍掉),从而求出 B= 3 。

解:由

3 cos(A ? C)+cosB= 2 及 B=π ? (A+C)得
3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= 2 , 3 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= 2 ,

3 sinAsinC= 4 .

又由 b =ac 及正弦定理得 21 世纪教育网
2 sin B ? s iA n

2

sC in

,



2 sin B?

3 4,
sin B?? 3 2 (舍去) ,

sin B?

3 2



于是 又由

π 2 π B= 3 或 B= 3 .
b2 ? a c 知b ? a或b ? c

π 所以 B= 3 。

19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解 能力。本小题满分 12 分

解: (Ⅰ)由

C?A?

? B 2 ? ? B sin A ?sin( ? ) ? (cos A? ? 4 2 2 2 ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ 4 2 ,∴
C

B B sin ? ) 2 2 ,

3 1 1 sin A ? sin 2 A ? (1 ? sin B) ? 3 2 3 ,又 sin A ? 0 ,∴ ∴

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A
6? 1 3 3 3 ?3 2

A

B

AC sin A BC ? ? sin B


?

,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3



S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3
b 1 3 sin B ? ? ? 得 c 2 2 sin C

20、解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 cot C ? ? ? 2 2 2 sin C =2

得 cot C ? 1 即
??? ? ??? ? CB ? CA ? 1? 3 (2) 由

C?

?
4. C?

?
4,

推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而

2 ab ? 1 ? 3 即得 2 ,

则有

? 2 ab ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

?a ? 2 ? ? ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? 解得 ?

21、解:(1) 因为

tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? cos A ? cos B ,即 cos C cos A ? cos B ,

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 即 2C ? A ? B , 得
C?

所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).
B? A? 2? 3

?
3 ,所以.

又因为
A?

sin( B ? A) ? cos C ? 5? 12

1 ? 5? B? A? B? A? 2 ,则 6 ,或 6 (舍去)

?
4



,B ?

(2)

S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 2 8 ,

a

a c ? 又 sin A sin C , 即

2 2

?

c 3 2 ,21 世纪教育网

得 a ? 2 2, c ? 2 3.
AB BC ? 22、 【解析】 (1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理, sin C sin A ,于是

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A
cos A ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得
5 于是 sin A ? 1 ? cos A = 5 ,
2

从而

sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

4 3 , cos 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? 5 5

sin(2 A ?

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?

2 10

23、 【解析】由 sinC=2 3 sinB 结合正弦定理得: c ? 2 3b ,所以由于余弦定理得:
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? (b 2 ? 3bc) c 2 ? 3bc ? cos A ? ? ? 2bc 2bc 2bc

(2 3b) 2 ? 3b ? 2 3b ? 3 2b ? 2 3b 2 ,所以 A=30°,选 A。

15、 (2009 全国卷Ⅰ理)

在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

已知 a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 15、解法一:在 ?ABC 中?sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 a? ?3 ?c, 2 2 2 2ab 2bc 有: 化简并整理得: 2(a ? c ) ? b .又由已知
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
cos A 2 5 A 3 4 ??? ? ???? ? ? cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ,sin A ? 2 5 , 2 5 5 ,又由 AB ? AC ? 3 ,

16、解析: (I)因为

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 2 得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 , 21 世纪教育网

(II)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 21 世纪教育网

16、 (2009 浙江)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos
??? ? ???? AB ? AC ? 3 .

A 2 5 ? , 2 5

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

17、 6. (2009 北京理) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?

4 , cos A ? , b ? 3 。 3 5

18、 (2009 全国卷Ⅱ文)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,
cos(A ? C ) ? cos B ? 3 2 , b ? ac ,求 B. 2

1 19、 (2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= . 3

(I)求 sinA 的值 , (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 20、 (2009 江西卷文)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ?
(1 ? 3)c ? 2b .

?
6



(1)求 C ;

??? ? ??? ? (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

21、 (2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
tan C ? sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ;

(2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c . 21 世纪教育网

22、 (2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin(2 A ? ) 的值。 4

?

23、(2010 年高考天津卷理科 7)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若 a 2 ? b2 ? 3bc ,sinC=2 3 sinB,则 A= (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

24.(2010 年高考全国 2 卷理数 17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 13 5

25. (2010 年高考浙江卷理科 18)在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 cos2C= 1 。 4

(Ⅰ)求 sinC 的值;

(Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC,求 b 及 c 的长。

26、 (2010 年高考广东卷理科 16) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 求 f ( x) 的解析式; (3) 若 f (
2 ? 12 α + )= ,求 sinα. 3 12 5

?
12

时取得最大值 4.

27、 (2010 年高考安徽卷理科 16) (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且
sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 ??? ? ???? (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

?

?

5、 6、 7、 8、

11、解:依题意,
A?

S? ABC ?

1 1 3 AB ? AC sin A ? ? 4 ? 2sin A ? 2 3,sin A ? 2 2 2 ,

?
3或

所以

A?

2? 3 ; ……………………………………………………………….. (1 分)

(1)当

A?

?
3 时,BC=2 3 ,△ABC 是直角三角形,其外接圆半径为 2,

2 面积为 2 ? ? 4? ; ……………………………………………………………………. (3 分)



A?

2? 2? BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB?AC cos ? 16 ? 4 ? 8 ? 28 3 时,由余弦定理得 3 ,

BC 2 21 ? 3 , BC=2 7 ,△ABC 外接圆半径为 R= 2sin A

28? 面积为 3 ;……………………………………………………………………………….(5

分)
A?

?
3或

(2)由(1)知
A?

A?

2? 3 , B?

?
3 时, △ABC 是直角三角形,∴

?



? 2? 1 ?? 6 , cos(2B+ 3 )=cos 3 2 ;………..7 分

2 7 2 21 ? ,? sin B ? 14 2? 3 sin B A? 3 时,由正弦定理得, 2 当 ,

? ? ? cos(2B+ 3 )=cos2Bcos 3 -sin2Bsin 3
2 ? 21 1 21 5 7 3 1 ? ? (1 ? )? ? 2? ? ? ?? 2 14 2 14 14 2 7 (10 分) =(1-2sin2B)cos 3 -2sinBcosBsin 3 =

12 13、
14、


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解三角形高考题 (1)

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