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人教版数学必修一


一、复习指数函数、对数函数和幂函数图形性质
函数 底数

y =a
a >1
y y=1 (0,1) 0 x R

x

y =loga x
0<a <1
y (0,1) 0 R y=1 x
y

a >1

>0
(1,0) x

0<a <1
y

图像

(1,0)

0

x

定义域 值域 定义域对值 域 共同点 图 形 性 质 单调性 奇偶性 极值

(0, ??) (0, ??)
当x>0时,y>1, 当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1, 过定点(0,1) 在区间R上为增 函数 在区间R上为减 区间

(0, ??)
R 当0<x<1时,y<0, 当x>1时,y>0, 在(0,+∞)上 为增函数

(0, ??)
R 当0<x<1时,y>1, 当x>1时,y<0 在(0,+∞)上 为减函数

过定点(1,0)

不具有奇偶性 无最大值和最小值

不具有奇偶性 极值

y=a 和y=loga x互为反函数
x

y =a

x

y?a

x

底数ɑ:ɑ?0且ɑ?1 定义域:R

y=x

y=loga x 值域:(0,+∞)

y ? loga x

底数ɑ: ɑ?0且ɑ?1 定义域: (0,+∞) 值域:R

共同点: a <0,f (x)过定点( ,1)。 1

a >0,f (x)过定点( )、(0,0), 1,1

单调性: a >0,f (x)在区间(0,+?)为增函数,
奇偶性:

a <0,f (x)在区间(0,+?)为减函数。

?a为偶数,f (x)偶函数; ? ?a为奇数,f (x)奇函数 a为分数,若分母为偶数,f (x)不具有奇偶性
在第一象限,沿箭头方向,指数越小.

二、应用示例

【例1】计算 5 0 log3 2 2 -0.01 -(- )+3 +(lg 2) + lg 5? 2+ lg 5 lg 8 1 ? 1 ?2 解:原式= ? ? -1+2+ lg 2( lg 2+ lg 5)+ lg 5 ? 100 ?
1 2

= ?10

1 -2 2

?

+1+lg2+lg5
log 4 1 16

=10+1+1=12 【练习 】计算 1

?1? log 3 9+ log 9 27+ ? ? ?4?

【练习2】已知log54 27=a,54b =3,如何用a,b表示log108 81 ?
解: 54 =3, ? log 54 3=b ?
b

log 54 81 log 54 27+ log 54 3 ? log108 81= = log 54 108 log 54 54+ log 54 2 a +b a +b = = 1+ log 54 54- log 54 27 2-a
(1)已知lg2=a, lg 3=b,如何用a,b表示 log12 5? (2)已知log 2 3=a, log 3 7=b,如何用a,b表示 log14 56?

【练习3】课本P82

【例2】求定义域 ?1? ( )f (x)= ? ? -1 1 ?2? 1 (2)f (x)= log1 (x-1) +3 (3)f (x)= log 2 x +1 3 x-2
x

解: ?1? ?1? ?1? () ? ? -1 ? 0即? ? ? ? ? 1? ?2? ?2? ?2?
x x x 0

?1? 又y = ? ? 在区间R上为减函数 ?2? ? x ? 0即f (x)的定义域为[0,+?)

【练习4】求定义域P82

1 ( )f (x)= 1 log 3 (3x-2)
2

(2)f (x)= log a (2-x)

(3)f (x)= log a (1-x)

? x-1>o ? x >1 (2) ? ? ?? ? ?log 2 (x-1)+3 ? 0 ?log 2 (x-1) ? -3 ? x >1 ? x >1 ? ? ?? 1 9 ? log 2 (x-1) ? log 2 x? ? 8 ? 8 ? ? 9 9 ? f (x)的定义域为( , ) ? ( ,+?) 1 8 8 1 ? ? x> 2 2x +1>0 ? ? ? (3) ?2x +1 ? 1 ? ? x ? 0 ? ?3x-2>0 ? 2 ? ? x> ? 3 2 ? f (x)的定义域为( ,+?) 3

【例4】已知f (x)在R上为偶函数,f (x)在区间(-?, 上为减函数, 0] 1 若f ( )=0,求不等式f (log 4 x)>0的解集. 2 解: f (x)在R为偶函数,(-?, 为f (x)减区间 ? 0]
?[0,+?)为f (x)的增区间,即f (x)图像开口向上, 1 1 又f ( )=0,故f (- )=0,由右图 2 2
y

f (x)

? f (log 4 x)>0则有
-

? x >0 ? x >0 ? x >0 ? x >0 ? ? ? 或? ? 1?? 1? 1 ?log 4 x > 2 ?log 4 x>log 4 2 ?log 4 x <- 2 ?log 4 x <log 4 2 ? ? ? 1 1 解得x>2或0<x< ,即f (log 4 x)>0的解集为(0,)(2,?) ? + 2 2

1 2

1 2

x

10 x -10- x 【例3】已知f (x)= x ,判断f (x)的奇偶性和单调性. -x 10 +10
解:f (x)在R上为奇函数且为增函数. 奇偶性: x ? R, ? 10- x -10 x -(10 x -10- x ) ? f (-x)= - x = -x =-f (x) x x 10 +10 10 +10 ? f (x)为奇函数. 单调性:任取x1 ,x2 ? R,且x1 <x2,则

10 x1 -10- x1 10 x2 -10- x2 (10 x1 -10- x1 )(10- x2 +10 x2 )-(10 x2 -10- x2 )(10- x1 +10 x1 ) f (x1)f x2) - x1 -( = - - x2 = x1 x2 10 +10 10 +10 (10- x1 +10 x1 )(10- x2 +10 x2 ) 2(10 x1 -x2 -10 x2 -x1 ) = - x1 (10 +10 x1 )(10- x2 +10 x2 ) ? x1 <x2且y=10 x 在区间R上为增函数 ? x1 -x2 <0,x2 -x1 >0 ? f (x1 )-f (x2 )<0即f (x1 )<f (x2 ) ? f (x)在R上为为增函数.

x +b 【练习5】函数f (x)=log a (a >0,b>0且a ? 1) x-b (1)求f (x)的定义域; (2)讨论f (x)的奇偶性和单调性. (P75 4)

x +b 解:(1) ? >0即(x+b)(x-b)>0 x-b ? x 2 -b2 >0解得:x >b或x <-b ? f (x)的定义域为(-?, ? (b,+?) -b)

- x+b x-b (2) f (-x)=log a ? =log a - x-b x +b x +b ? x +b ? =log a ? =f (x) ? =-log a x-b ? x-b ? 则由(1)知f (x)为奇函数.
-1

【例5】已知f (x)=3x,求证:(课本P82 7-8) (1) f (x)f (y)=f (x+y) (2) f (x) ? f (y )=f (x-y )


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