nbhkdz.com冰点文库

高一数学培优教材(1-6)教案新人教版


高一数学培优教材第一讲
一、 基本性质:

函数的性质

1. 函数图像的对称性 (1) 奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; 偶函数的图像关于 y 轴对称,对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? f ( x) 成立。 (2) (3) 原函

数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线 y ? x 对称。 示同一函数时,那么此函数的图像就关于直线 y ? x 对称。 若 函 数 满 足 f ( x) ? f (2a ? x) , 则 f ( x) 的 图 像 就 关 于 直 线 x ? a 对 称 ; 若 函 数 满 足 若某一函数与其反函数表

f ( x) ? ? f (2a ? x) ,则 f ( x) 的图像就关于点 (a, 0) 对称。
(4) 互对称知识:函数 y ? f ( x ? a)与y ? f (a ? x) 的图像关于直线 x ? a 对称。

2.函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性) 特别提示:函数 y ? x ? 3.函数的周期性 对 于 函 数 y ? f ( x) , 若 存 在 一 个 非 零 常 数 T , 使 得 当 x 为 定 义 域 中 的 每 一 个 值 时 , 都 有

a (a ? 0) 的图像和单调区间。 x

f ( x ? T) ? f ( x)成立,则称 y ? f ( x) 是周期函数,T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中
存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。 (1) (2) (3) (4) 若 T 是 y ? f ( x) 的周期,那么 nT (n ? Z ) 也是它的周期。

T 的周期函数。 a 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 和 x ? b 对称,则 y ? f ( x) 是周期为 2(a ? b) 的函数。
若 y ? f ( x) 是周期为 T 的函数,则 y ? f (ax ? b) (a ? 0) 是周期为 若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) (a ? 0) ,则 y ? f ( x) 是周期为 2a 的函数。 对于任意实数 x ,我们记不超过 x 的最大整数为 [ x ] ,通常称函数 y ? [ x] 为取整函数。又称高斯 函数。又记 {x} ? x ? [ x] ,则函数 y ? {x} 称为小数部分函数,它表示的是 x 的小数部分。

4.高斯函数

高斯函数的常用性质: (1) (3) (4) (5) 对任意 x ? R, 均有 x ? 1 ? [ x] ? x ? [ x] ? 1 (2) 对任意 x ? R ,函数 y ? {x} 的值域为 [0,1)

高斯函数是一个不减函数,即对于任意 x1 , x2 ? R, 若 x1 ? x2 , 则 [ x1 ] ? [ x2 ] 若 n ? Z , x ? R, 则有[ x ? n] ? n ? [ x] , {n ? x} ? {x} ,后一个式子表明 y ? {x} 是周期为 1 的函数。 若 x, y ? R, 则 [ x] ? [ y] ? [ x ? y] ? [ x] ? [ y] ? 1
* (6) 若 n ? N , x ? R, 则 [nx] ? n[ x]

二、综合应用 例 1:设 f ( x) 是 R 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x),当 0 ? x ? 1时,f ( x) ? x, 求 f (7.5) 的值。

x) ,g (x ) 例 2: 设 f(

都是定义在 R 上的奇函数,F ( x) ? a f ( x) ? b g ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上的最大值为 5,

求 F ( x)在 (??,0) 上的最小值。

? x3 ? sin x ? 2a ? 0 ? ? ? ?? 例 3:已知 x, y ? ?? , ? , a ? R, 且 ? , 则 cos( x ? 2 y) ? ______________ 1 3 ? 4 4? ?4 y ? sin 2 y ? a ? 0 ? 2
例 4:设 a ? 1, a,? 均为实数,试求当 ? 变化时,函数 y ? 例 5:解方程: (1) x ? log 2 (2 x ? 31) ? 5

(a ? sin ? )(4 ? sin ? ) 的最小值。 1 ? sin ?

(2) ( x2 ? 20 x ? 38)3 ? 4 x 2 ? 152 ? x3 ? 84 x

例 6:已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,当 x ? 0 时f ( x) ? 0 , f (1) ? 2 ; (1) 求 证 : f ( x) 为 奇 函 数 ; ( 2 ) 求 f ( x) 在 [ ?3, 3] 上 的 最 值 ; ( 3 ) 当 t ? 2 时, 不 等 式

f ( k log ? f (log 2 t ) 2 t?

2 log 2 t?

k 的取值范围。 2) ? 恒成立,求实数 0

例 7:证明:对于一切大于 1 的自然数 n ,恒有 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ?

1 3

1 5

1 )? 2n ? 1

2n ? 1 2

例 8:设 f ( x) 是定义在 Z 上的一个实值函数, f ( x) 满足 ?

? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) ? f (1) ? 0

① ,求证: ②

f ( x) 是周期为 4 的周期函数。
例 9:给定实数 x ,定义 [ x ] 为不大于 x 的最大整数,则下列结论中不正确的序号是 ( )

① x ? [ x ] ? 0 ② x ? [ x] ? 1

③ f ( x) ? x ? [ x]是周期函数

④ f ( x) ? x ? [ x]是偶函数

例 10:求方程 lg 2 x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根个数。 三、强化训练: 1. 已知 f ( x) ? a sin x ? b 3 x ? 4 (a、b 为实数) ,且 f (lg log 3 10) ? 5 ,求 f (lg lg 3) 的值。
2 2 2. 若方程 x ? 2a sin(cos x) ? a ? 0 有唯一解,求 a 的所有取值。

3. 已知函数 f ( x) 定义在非负整数集上,且对任意正整数 x ,都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 。若

f (0) ? 1992,求 f (1992) 的值。
4. 函数 f ( x) 定义在实数集 R 上, 且对一切实数 x 满足等式 f ( x ? 2) ? f (2 ? x), f ( x ? 7) ? f (7 ? x). 设 f ( x) ? 0 的一个根是 x ? 0 ,记 f ( x) ? 0在区间? ?1000, 1000? 中的根的个数是 N,求 N 的最小值。 5. 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称,且关于点 M (b, c) 对称,求证 f ( x) 是周期函数。
2 6. 求数列 ?an ? 的最小项,其中 an ? 2n ? 24n ? 69 ?

a (n ? 1, 2, ???) (3n ? 22) 2 ? 3

7. 已知 f (cos x) ? 0 的解集为 [0,

?
2

] ,解不等式 f (sin x) ? 0.

8. 设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,对任意 x, y ? (0, ??) ,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 。

f ( x) ? 0 (1)求证:①当 x ? (1, ??)时,

x ② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y

(2)若 f (5) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ? 2.
x 2 2 9. 已知 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,求满足 f (3x ? 4 x ? 5) ? f (2 x ? 3x ? 1) 的 x 的值。

1024

10. 求和:

?[log
N ?1

2

N]

参考答案: 例 1:周期为 4, f (7.5) ? ?0.5 例 2:记 G ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ,则 G ( x) 为奇函数。 F ( x) 在 (??, 0) 上的最小值为-1. 例 3: f (t ) ? t 3 ? sin t 在 [? 例 4: y ? (1 ? sin ? ) ? 当1 ? a ?

? ?

, ] 上为增函数, cos( x ? 2 y) ? ?1 4 4

3(a ? 1) 3(a ?1) ? a ? 2 ,换元后研究函数 f ( x) ? x ? ? a ? 2 的单调性 1 ? sin ? x
( x ? 3(a ?1) ) ;当 a ?

7 时 ymin ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 3

5 7 时 ymin ? (a ? 1) ( x ? 2) 2 3

例 5: (1)构造 f ( x) ? x ? log 2 (2x ? 31) ,利用单调性得: x ? 5 (2) 构造递增函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ,利用 f ( x 2 ? 20 x ? 38) ? f ( x) 解得: 2 ? x ? 9

例 6: (2) f ( x)max ? 6 ;

f ( x) min ? ?6 (3) k ? 2 2 ? 1

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) 3 5 2n ? 1 ,证明 f (n) 是递增数列,故 f (n) ? f (2) ? 1 例 7:构造 f (n) ? 2 2n ? 1
例 8:令 y ? 1 得 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? T ? 4 例 9:④

?g l ? x 0 lg 2 x ? 2 ? [lg x] ? lg x ? ?1 ? lg x ? 2 (1) 例 10: 当 ?1
( 2 ) 当 0 ? l xg?

时 [lg x] ? ?1 , 代入原方程解得 x ?

1 10
2 时

1 [lg x] ? 0 ? lg x ? ? 2 ( 矛 盾 ) 时
3

? ( 3 ) 当 1 ? l xg

[lg x] ? 1 ? lg x ? 3 ? x ? 10
强化训练: 1. 3 2. a ? 0, a ? 2sin1

(4)当 lg x ? 2 时 [lg x] ? 2 ? x ? 1000

3. f (1992) ? f (0) ? 1992 4. 401 5. 略

9 19 7. 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z
6. 最小项为 a6 ? ?3 8. x ? (0,

1 ) 49

9. a ? 1 时 x ? ?2, x ? 3 ; 0 ? a ? 1 时 ?2 ? x ? 3
1024

10. N ?1

?[log

2

N ] ? 0 ? 1(22 ? 2) ? 2(23 ? 22 ) ? 3(24 ? 23 ) ? ??? ? 9(210 ? 29 ) ? 10 ? 8204

高一年段数学培优教材第二讲
二、 基础知识: 1. 二次函数的解析式 (1)一般式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) (2)顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ,顶点为 (h, k ) (3)两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (4)三点式: f ( x) ?

二次函数

( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x2 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( x3 ? x1 )( x3 ? x2 ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x3 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x3 )

2.二次函数的图像和性质 ( 1 ) f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图像是一条抛物线,顶点坐标是 (?

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴方程为 2a 4a

x??

b ,开口与 a 有关。 2a

b b ] 上为减函数,在 [? , ??) 上为增函数; a ? 0 时相反。 2a 2a b ? 0 (3)奇偶性:当 时, f ( x) 为偶函数;若 f (a ? x) ? f (a ? x) 对 x ? R 恒成立,则 x ? a 为 f ( x) 的
(2)单调性:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? 对称轴。 ( 4 )最值:当 x ? R 时, f ( x) 的最值为

b 4ac ? b2 ,当 x ? [ m, n],? ? [m , n ]时, f ( x) 的最值可从 2a 4a

f ( m), f (n ), f ( ?

b b )中选取;当 x ? [m, n], ? ? [m, n] 时, f ( x) 的最值可从 f (m), f (n) 中选取。常依 2a 2a

轴与区间 [ m, n] 的位置分类讨论。 3.三个二次之间的关联及根的分布理论:
2 二次方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端

点函数值的符号;对称轴与区间端点的关系。 三、 综合应用: 例 1:已知二次函数 f ( x) 的图像经过三点 A(1, ?6) , B(?1,0) , C (2.5,0) ,求 f ( x) 的解析式。
2 例 2:已知 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [ ?2, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2 例 3:集合 A ? {( x, y) | y ? x ? mx ? 2} , B ? {( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, 且 0 ? x ? 2} ,若 A B ? ? ,求实

数 m 的取值范围。
2 例 4:设 f (x) ? ax ?bx ?c (a ? 0) 满足条件: (1)当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x)且f ( x) ? x , (2)当

? x ?1? x ? (0,2) 时 , f ( x) ? ? ①求 f ( x) 的解析式; ②求最大的 m(m ? 1) ? ,(3) f ( x) 在 R 上的最小值为 0。 ? 2 ? 使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] 就有 f ( x ? t ) ? x 。
例 5 : 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 于 任 意 实 数 x 和 任 意 实 数 ? ?[ 0 ,

2

?
2

, ] 恒有

1 2 (x ? 3 ? 2 s ?i n ? c2 o ? s( x ? ) a s i?n? a ? co s ? )。 8

例 6: 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) , 方程 f ( x) ? x 的两根是 x1 , x2 , 且x2 ? x1 ? 试比较 f (t )与x1 的大小。

1 , 又若 0 ? t ? x1 , a

2 ? bx? c( a? 0), 方 程 f ( x) ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足 0 ? x1 ? x2 ? 例 7 : 设 f ( x) ? ax

1 , (1)当 a

x ? (0,x1 )时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; (2)设 f ( x) 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ?

x1 2

四、 强化训练: 1. 二次函数 y ? f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且 f ( x) ? 0 又两个实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 等于( ) A . 0 B 3 C. 6 D. 12 2.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 (a ? b) ,并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b,? , ? 的大小关 系可能是( )

A. ? ? a ? b ? ?

B. a ?? ? ? ? b

C. a ? ? ? b ? ?

D. ? ? a ? ? ? b

3.已知函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( )

A . [1, ??)

B.

[0, 2]

C.

[1, 2]

D. (??, 2]

4.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a (a ? 0) ,若 f (m) ? 0, 则 f ( m ? 1) 的值的符号是________________ 5. 已知 f ( x) ? x 2 ? (lg m ? 2) x ? lg n, 且 f (?1) ? ?2, f ( x) ? 2 x 对于一切实数 x 都成立, 则 m ? n ? ______ 6.已知 f ( x) ? lg(ax 2 ? 2 x ? 1) 的值域是 R,则实数 a 的取值范围是______________________
2 7.函数 f ( x) ? log 0.3 ( x ? ax ? a) 的递增区间为 (??,1 ? 3) ,则实数 a 的值是______________

8.设实数 a , b, c 满足 ?

? a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ,则实数 a ? _____________________ 2 2 ?b ? c ? bc ? 6a ? 6 ? 0

9.若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 [a, b] 上的最大值为 2b ,最小值为 2a ,求区间 [a, b] 。 2 2

2 10.设 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 ,若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设 y ? f ( x) 的

对称轴为 x ? x0 ,求证 x0 ? ?1 11.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ?

a , x ?[0,1] , a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值 g (a) 的表达式,并求 g (a) 的最大值。 2 1 (1 ? x 2 ) ? 2

12. 是否存在二次函数 f ( x) , 同时满足: (1)f (?1) ? 0 ; (2) 对于一切 x ? R 都有 x ? f ( x) ? 若存在,写出满足条件的函数的解析式;若不存在,说明理由。

2 13.设 f (x) ? ax ?bx ?c (a ? 0) ,当 x ? [0,1] 时, | f ( x) |? 1 ,求证:适合 b ? A 的最小实数 A 的值为 8。

14.若 a ? 0 ,求证:方程 大于 ?

1 1 1 2a (1)有两个异号实根; (2)正根必小于 ? ,负根必 ? ? ?0, x x ? a x ? a2 3

2a 2 3

参考答案: 例 1: f ( x) ? 2( x ? 1)( x ? 2.5)

例 2: f ( x)min

7 ? 3a (a ? 4) ? ? a2 ? ? g (a) ? 0 ? ?7 ? a ? 2 ; 其中 g (a) ? ?3 ? a ? (?4 ? a ? 4) 4 ? 7 ? a (a ? ?4) ? ?
? ??0 ? ? m ? ?1 m-1 0<?2 ? ? 2

例 3: x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 , x ? [0, 2] , ? f (2) ? 0 或 ?

例 4: (1)由①②得: 1 ? f (1) ? 1 ? f (1) ? 1 ; f ( x) ? (2)结合图像可以知道: m 为方程

1 ( x ? 1)2 4

1 ( x ? t ? 1)2 ? x 的两根,从而 t ? ?1, m ? 9 4

例 5:设 t ? sin ? ? cos? , t ? [1, 2] ,原不等式化为: ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at )2 ? 记 f ( x) ? ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at ) 2 ,则

1 恒成立 8

1 ? f ( x)min , 8

a 2 ? b2 ?

(a ? b)2 (2 ? t 2 ? at )2 , ? f ( x) ? 2 2 3 5 或a ? t ? 2t 2t

1 (2 ? t 2 ? at )2 ? ? ? 2t 2 ? 2at ? 3 ? 0或2t 2 ? 2at ? 5 ? 0 , 8 2
1 ? t ? 2 , ? (t ? 3 5 7 ) min ? 6 ; (t ? ) max ? 2t 2t 2

?a ? t ?
7 2

? a ? 6或a ?

2 2 例 6:提示: f (t ) ? x1 ? f (t ) ? f ( x1 ) ? at ? bt ? c ? ax1 ? bx1 ? c ? a(t ? x1 )[a(t ? x1 ) ? b]

f (t ) ? x1
例 7:方法同例 6,本题使 97 年全国高考理可题。 强化训练: 1.C 2. A 3. C 4. 正 5.

110

6.

[0,1]

7. a ? 2

8. [1,9]

9.分析对称轴: (1 ) b ? a ? 0 ? ?

? f (a ) ? 2b ? f ( a ) ? 2a ? a ? 1, b ? 3 , (2) a ? b ? 0 ? ? ? 无解 ? f (b) ? 2a ? f (b) ? 2b

(3) a ? 0 ? b ? ?

13 ? ? 2b ? 2 ? f ( a ) ? 2a ?

13 ? 13 ? 2b ? 2 ? a ? ?2 ? 17, b ? ? 4 ? ? f (b) ? 2a
? g (2) ? 0 可以推出结论。 ? g (4) ? 0

2 10.构造 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1, ?

11.同例 2 解法 12. f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

1 1 1 1 ? f (1) ? a ? b ? c ? f (1) ? a ? b ? c 4 4 4 4 ? 1 1 b 3 13. ? f (0) ? c ? ? f ( ) ? f (1) ? ? f (0) 2 4 4 4 ? 1 1 b 1 1 b ?f ( ) ? a? ?c f ( ) ? a? ?c ? 2 4 2 2 4 2

1 1 ? b ? 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) ?| b |? 4 | f ( ) | ? | f (1) | ?3 | f (0) |? 8 ,所以 A 的最小值为 8 2 2
14.略

高一年段数学培优教材第三讲
一、基础知识:

三角恒等变换

1. 三角的恒等变化:要注意公式间的内在联系和特点,审题时要善于观察差异,寻找联系,实现转化; 要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类,采用 “配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数,并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 2. 常见的变形公式: sin ? cos? ?

1 sin 2? 2

1 ? cos? ? 2cos2 1 ? sin ? ? (sin

?
2

1 ? cos ? ? 2sin 2

?
2

1 ? sin ? ? (sin

?

? cos )2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 2 4

?

? ?

?

? cos ) 2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 2 4

?

? ?

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )[1 tan ? tan ? ]

a sin ? x ? b cos ? x ? a2 ? b2 sin(? x ? ? )

3. 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ?


???
2

?

? ??
2

, ? ? (? ? ) ? , ? ? ? ? (? ? ) 6 6 4 2 4

?

? ?

?

?

二、综合应用: 例 1:已知角 ? 的终边上一点 P(2sin 3 , ? 2cos3) ,则 ? 的弧度数为_____________ 已知

3? ? 3? 2 ,则 cot ? cot ? _________________ ? ? ? 2? , cot ? ? ? 2 2 2 2
3 2 sin x ( x ? R) 的最大值是____________________ 3

函数 y ? sin x cos x ?

1 2 ? ____________________________ 化简 ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
例 2:已知 sin ? cos ? ?

1 ,求 cos ? sin ? 的取值范围。 4

2 2 例 3:求 sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos 50 的值。

2 2 2 例 4: 已知 f (? ) ? sin ? ? sin (? ? ? ) ? sin (? ? ? ), 其中 ? , ? 是适合 0 ? ? ? ? ? ? 的常数, 试问 ? , ? 取

何值时, f (? ) 的值恒为定值?

例 5:求值: cot15 cot 25 cot 35 cot 85

例 6:已知 ? , ? ? (0,

?
2

(1)求证: tan ? ? ),sin ? ? csc? ? cos(? ? ? ) ;

sin ? cos ? ; 1 ? sin 2 ?

(2)求 tan ? 的最大值,并求当 tan ? 取得最大值时 tan(? ? ? ) 的值。 例 7:已知 0 ? ? , ? ?

?
2

,且 sin(? ? ? ) ? 2sin ? ,求证: ? ? ?

例 8:已知当 x ? [0,1] 时,不等式 x 2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? ? 0 恒成立,求 ? 的取值范围。

三、强化练习: 1.若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0 , cos? ? sin? ? 0 ,则 ? 在( ) A 第一象限 2.以下命题正确的是( ) (A) ?,? 都是第一象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (B) ?,? 都是第二象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? (C) ?,? 都是第三象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (D) ?,? 都是第四象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? 3.若 3? ? x ? 4? ,则 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

1 ? cos x 1 ? cos x 等于 ? 2 2
(C) 2 sin(

? x ? x (A) 2 cos( ? ) (B) ? 2 cos( ? ) 4 2 4 2
? 3? , ) 4 4
5? 3? , ) 4 2

?
4

x ? ) 2

(D) ? 2 sin(

?
4

x ? ) 2

4.在(0, 2? )内,使 cosx ? sin x ? tan x 成立的 x 的取值范围是 (A) ( (B) ( (C) (
3? , 2? ) 2

(D) (

3? 7? , ) 2 4

5.设 ?,? 是一个钝角三角形的两个锐角,则下列四个不等式中不正确的是 (A) tan? tan ? ? 1 (B) sin ? ? sin ? ? 2
1 ? ?? (C) cos? ? cos ? ? 1 (D) tan(? ? ? ) ? tan 2 2

2 2 6.已知 cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? sin ? ,则 sin(2? ? ? ) ? sin ? 的值为(

)

A.0

B.1

C. 2 sin ?

D.以上都不对

7.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan

A 2

? tan

C 2

? 3 tan

A 2

tan

C 2

? __________

8.已知点 P( sin? ? cos? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? )内 ? 的取值范围是____________ 9. cot10 ? 4 cos10 的值为 10.已知 sin 2 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1, ? ? (0,

?
2

) ,求 sin ? , tan ? 的值。

11.已知 cos(α 12.求值: cos

?
2

)= ?

1 9

,sin(

?
2

-β )=

2 3

,

?
2

<α <π ,0<β <

?
2

,求 cos(α +β )之值.

?
11

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos 11 11 11 11

13.是否存在锐角 ? , ? ,使得① ? ? 2? ? 值;若不存在,说明理由。 参考答案: 例 1: ? ? 3 ?

? 2? ;② tan tan ? ? 2 ? 3 同时成立?若存在,求出 ? , ? 的 2 3

?
2

? 2k? , k ? ? ;

6( 3 ?1) ;

3 ; 6

1 cos 2 x 2

1 ? ?1 ? ? cos ? sin ? ? 1 ? 3 3 ? 4 例 2:法 1: ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1, ? 1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? 4 4 ??1 ? 1 ? cos ? sin ? ? 1 ? ? 4
法 2:

cos2 ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? )(1 ? cos2 ? ) ? 1 ? ?

1 17 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? ? [(sin ? ? cos ? )2 ? 2sin ? cos ? ] 16 16

9 9 3 3 ? (sin ? ? cos ? )2 ? , ?? ? sin ? cos ? ? 16 16 4 4
?a ? sin 2 20 ? cos 2 50 ? sin 20 cos50 ? a ? b ? 2 ? sin 70 2 2 ?b ? cos 20 ? sin 50 ? cos 20 sin 50

例 3:多种方法。 (构造对偶式)设 ?

a ? b ? ? cos 40 ? cos100 ? sin(?30 ) ? ?2sin 70 sin 30 ?
例 4: f (? ) ?

1 1 1 3 ? ? sin 70 ? ,? 2a ? 2 ? ? a ? 2 2 2 4

3 1 ? [1 ? 2cos(? ? ? )cos(? ? ? )]cos 2? ? [sin(? ? ? )sin(? ? ? )]sin 2? 2 2 ?1 ? 2 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 0 ? sin(? ? ? ) ? 0 ,考虑到 0 ? ? ? ? ? ? f (? ) 恒为定值,? ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ?

?? ? ? ? 2? ? cos(? ? ? ) ?

1 , 2

?? ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? ? ?

?
3

, ?? ?

?
3

,? ?

2? 3

(提示:本题也可以用赋值法:令 ? ? 0, 例 5:1

?
2

, ?? , ? ? , ? f (0) ? f ( ) ? f (?? ) ? f (? ? ) ) 2

?

(本题要总结公式 sin 3? ? 4sin ? sin(60 ? ? )sin(60 ? ? )

cos3? ? 4cos? cos(60 ? ? ) cos(60 ? ? )
例 6: (2) tan ? ?

tan 3? ? tan ? tan(60 ? ? ) tan(60 ? ? )

1 2 ? (tan ? ? ) 1 2 2 2 tan ? 例 7: 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ?
例 8:令 x ? 0 则 sin ? ? 0 ,令 x ? 1 则 cos? ? 0 故原不等式化为

tan ? 1 ? 2 tan 2 ? ? 1 2 tan ? ?

(1 ? sin ? ? cos ? ) x ? (2sin ? ? 1) x ? sin ? ? 0 ,
2

? sin ? ? 0 2sin ? ? 1 ? ? (0,1) , ? ?cos ? ? 0 ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ??0 ?

? ? sin ? ? 0 ? ? 5? ? cos? ? 0 ? ? ? (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 12 12 ? 1 ?sin 2? ? ? 2
强化练习: 7. 1. B 2. D 3. 8. ( C 4. C 9. 5. D 6. A 10.

3

? ?
4 2 ,

) (? ,

5? ) 4

3

sin ? ?

1 3 , tan ? ? 2 3

11. cos 12.

? +?
2

?

7 5 239 , cos(? ? ? ) ? ? 27 729

1 32

13. 存在 ? ?

?
6

, ??

?
4

高一年段数学培优教材第四讲
四、基础知识: 1. 函数 y ? sin x ( x ? R) 的对称轴方程为 x ? k? ?

三角函数

?
2

, k ? Z ,对称中心坐标是 (k? , 0) , k ? Z ;

y ? cos x ( x ? R) 的对称轴方程为 x ? k? , k ? Z ,对称中心坐标是 (k? ?

?
2

,0) , k ? Z

y ? tan x ( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 的对称中心坐标是 (k? , 0) , k ? Z ,它不是轴对称图形。

2. 求三角函数最值的常用方法: ① 通过适当的三角变换,把所求的三角式化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的形式,再利用正弦函数的有 界性求其最值。 ② ③ 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题(如 y ? 来求。 ④ 利用函数的单调性求。 五、综合应用: 1. 已知函数 y ? f ( x) 是以 5 为最小正周期的奇函数,且 f (?3) ? 1 ,则对锐角 ? ,当 sin? ?
f (16 2 tan? )? _________________
2 2 2. 已知 a ? b ? 2, 则 a sin ? ? b cos ? 的最大值是___________

a sin x ? b )可利用正弦函数的有界性 c cos x ? d

1 3

时,

2 2 3. 函数 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x 取最小值的 x 的集合为______________

5? ? , ? ] 的最大值和最小值的和为______________. 6 3 5. 函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cosx , x ? R 的最大值为_____________
4. 函数 y ? cos 2 x ? 3sin x , x ? [? 6. 函数 y ?

sin x (0 ? x ? ? ) 的最大值是_________________ 2 ? cos x

7. 函数 f ( x) ? (a cos x ? b sin x) cos x 有最大值 2,最小值 ?1 ,求 y ? a sin(bx ? 8. 已知函数 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 的定义域是 [0, 9. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
4

) 的最小正周期。

?
2

] ,值域是 [ ?5,1] ,求 a , b 的值。

?
8

对称,求 a 的值。

10.已知 f ( x) ? A sin ? x ? B cos ? x ( A, B, ? 是常数, 且 ? ? 0) 的最小正周期为 2, 并且当 x ? 取最大值为 2。 (1)求 f ( x) 表达式; (2)在区间 [ 存在,求出其方程;若不存在,说明理由。

1 时,f ( x) 3

21 23 , ] 上是否存在 f ( x) 的图象的对称轴?若 4 4

11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 在区间 [0,

3? ,0) 对称,且 4

?
2

] 上是单调函数,求 ?,? 的值。
2 3

12.已知定义在区间 [ ? ? ,

? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?
?
2 ?? ?

?
6

对称,当 x ? [ ?

?
6

,

2 3

? ]

时,函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 其图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x ) 在 [ ? ? ,

?
2

),
1

y

2 3

? ] 的表达式;

?


x??? 6

?

o

? 6

2? 3

?

x

(2)求方程 f ( x) ? 三、强化训练:

2 2

的解.

1. 有四个函数 ①y ? sin 2 x ②y ? sin x ③y ? tan 上是增函数的函数个数是( ) 2. 设函数 f ( x) ? 2 cos x ?
2

? x x 其中周期为 ? , 且在 (0 , ) ? cot ④y ? sin x , 2 2 2
C. 3 D. 4

A. 1

B. 2

( a 为实常数) 在区间 [0, 3 sin 2 x ? a
?4 D. ?3

?
2

] 上的最小值是 ?4 ,则 a 的值是 ( )

A. 4

B.

?6

C.

3. y ? sin(2 x ?
A. x ?

?
3

) cos( x ?
B.

?
6

) ? cos(2 x ?

?
3

) sin( x ?
D.

?
6

) 的图像中一条对称轴方程是( )
3? 2

?
4

x?

?
2

C. x ? ?

x?

4.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x) = f (x+2),当 x∈[3,4]时,f(x) = x-2,则( )

A.f (sin

1 2

) < f (cos

1 2

)

B.f (sin

?
3

) > f (cos

?
3

)

C.f (sin1) < f (cos1)

D.f (sin

3 2

)>

f (cos

3 2

)

5. 将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移

?
4

个单位后, 再作关于 x 轴对称的曲线, 得到函数 y=1-2sin x, 则 A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx

2

f(x)是

( )

6.曲线 y ? 2 sin( x ? P3,?,则|P2P4|等于

?
4

) cos( x ?


?
4

) 和直线 y ?
A. ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为 P1,P2, B.2 ? C.3 ?
f(



D.4 ?

f x? 7.设 f ? x ? ? 2 cos ?? x ? ? ? ? m ,恒有 (

?
3

) ? f ? ? x ? 成立,且

?
6

)?

?1 ,则实数 m 的值为

A. ?1

B. ? 3

C.-1 或 3

D.-3 或 1

8 . 使 函 数 f ( x) ? sin( 2 x? ? ? ) _____________

? 奇 函 数 , 且 在 [ 0 , ]上 是 减 函 数 的 ? 的 一 个 值 是 3 cos( x? 2? 是) 4

1 2 9.已知函数 f ( x) ? a cos 2 ? x ? sin ? x ? cos ? x ? (? ? 0, a ? 0) 的最大值为 ,其最小正周期为π 。 (Ⅰ) 2 2 求实数 a 与ω 的值。 (Ⅱ)写出曲线 y ? f ( x ) 的对称轴方程及其对称中心的坐标。

参考答案: 例 1: f (8) ? f (3) ? ? f (?3) ? ?1 例 2: 例 3: 2

f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ; 4

?

3? ? ? , k ?Z? ? x | x ? k? ? 8 ? ?

2 例 4: f ( x) ? 1 ? 2sin x ? 3sin x , M ? ?1 , N ? ?4 M ? N ? ?5

例 5:1 例 6:

3 3

例 7: a ? 1, b ? ?2 2 例 8: f ( x) ? ?2a sin(2 x ? 例 9: a ? ?1 例 10: (1) f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) ? 2a ? b ,

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

?a?2 ? a ? ?2 或? ? ?b ? ?5 ? b ? 1

?
6

)

(2) f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) 的对称方程为 k ? Z ? k ? 5 故存在。

?x?

?
6

? k? ?

?
2

1 21 1 23 59 65 ? x ? k ? , k ? Z ,由 ? k ? ? ? ?k? , 3 4 3 4 12 12

例 11:03 高考天津卷 ? ? 例 12: (1)当 x ? [ ?

?
2
2 3

, ? ? 2, ?=

2 3

?
6

,

2 ? ? ] 时, f ( x) ? sin( x ? ) ,当 x ? [ ? ? , ? ] 时 f ( x) ? ? sin x 3 3

强化练习: 1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7. D

8. ? ?

2? 3
1 2 ? a 1 1 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2 2 2

9. (1) y ? a cos2 ? x ? sin ? x ? cos ? x ?

?
?

1 2

(sin 2? x ? a cos 2? x) ?
a ?1
2

a ?1 2


2

sin(2? x ? ? ) ?

a ?1 2

∵y 的最小正周期 T=π 。 ∴ yman ?

∴ω =1。

1

2 2 2 (2)由(Ⅰ)知 a=1,ω =1,
∴ f ( x) ?

a ?1 ?
2

a ?1

?

2

, ∴a=1。

1 2

(sin 2 x ? cos 2 x) ?

2 2

sin(2 x ? ) 。 4
k? 2 ?

?

∴曲线 y=f(x)的对称轴方程为 x ? 对称中心的坐标为 (

?
8

(k ? Z ) 。

k? 2

?

?
8

, 0)(k ? z ) 。

高一年段数学培优教材第五讲
六、基础知识: 1. 向量的运算: 加法:AB ? BC ? AC ; 减法: AB ? AC ? CB ; 实数与向量的积:

平面向量(1)

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 向 量 ?a 与 a 的 关 系 ; 设 a ? ( x , y) , 则 ? a ? (? x , ? y) (? ? R)

| a |? x2 ? y 2 , | ? a | ? | ? | ? | a |
向量的数量积:

a ? a ? a ?| a |2
设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )

2

a ? b ?| a | ? | b | ? cos? (? 是 a 与 b 的夹角) ;

则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2.向量的关系: ①不等关系: || a |? | b || ? | a ? b | ? | a | ? | b | ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 则 a b ? a ? ?b ,

| a ? b | ? | a | ? | b | (注意等号的条件) a b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

a ? b ? a ?b ? 0 ;

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

3.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,那么对于这个平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ? , ? ,使 a ? ? e1 ? ? e2 。 相关结论:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,且 ? e1 ? ? e2 ? 0 ,则 ? ? ? ? 0 点 O、A、B、C 在同一平面内,A、B、C 共线的充要条件是: OA ? xOB ? yOC ( x ? y ? 1) 4.常用公式:

(a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b

2

2

(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b

2

2

?ABC 中,M 为 BC 边的

中点,G 为重心, 则 AB ? BC ? CA ? 0 ; 七、综合应用: 例 1:求证:三角形的三条中线交于一点。

1 AM ? ( AB ? AC ) ; GA ? GB ? GC ? 0 2

A? O B ? O C ? O M 例 2:设 ?ABC 外心为 O,取点 M,使 O
垂心、重心在一条直线上。

, 求证 M 是 ?ABC 的垂心,且此三角形的外心、

例 3:在三角形 ABC 中,点 M 分 AB 所成的比为 2,点 N 分 AC 所成的比为 直线 AP 和 BC 的交点为 Q,且 AB ? a , AC ? b ,用 a , b 表示 AP ; AQ

3 ,设线段 CM 和 BN 交于点 P, 2

例 4:已知 O 为 ?ABC 内一点, ?AOB ? 150 , ?BOC ? 90 ,设 OA ? a , OB ? b , OC ? c , 且

| a |? 2 , | b |? 1 , | c |? 3 ,试用 a, b 表示 c 。

例 5: (1)已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 在( ) A

?ABC 内部

B

?ABC 外部

C 在直线 AB 上

D

在直线 AC 上

(2)O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB | AB | ? AC | AC | ? ? ? [0, ?? ). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的





A.外心 该四边形一定是( ) 三、强化训练:

B.内心 A 矩形 B

C.重心 正方形 C 菱形

D.垂心 D 等腰梯形

(3)在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,若 a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a ,则

1. 已知 A 、 B 、 C 三点在同一直线上, O 在直线外, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,且存在实数 k ,使

a ? 2 kb ? 5 c ? 0 成立,求点 C 分 BA 所成的比 ? 及 k 的值。
2. 若 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? , (? ? ?1) ,则有 OP ?

OA ? ? OB 。 1? ?

3. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,当 k 为何值时: (1) k a ? b 与 a ? 3b 平行?平行时是否同向? (2) k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 4.如图,在平行四边形 ABCD 中, AH ? HD , BF ? MC ?

AM , MH , AF , MD

1 BC ,设 AB ? a , AD ? b, 以 a, b 为基底表示 4 D C M H

A
5. 设 O 为 ?ABC 内一点,且满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,求 S ?ABC : S ?AOC

B

F

6. ?ABC 中,M 是 AB 的中点,E 是 CM 的中点,延长 AE 交 BC 于 F,作 MH∥AF,求证:BH= HF =FC。

7.如图,在平面斜坐标系 xOy中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若

op ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴 y 轴同方向的单位向量,则 p 点斜坐标为 ( x, y ) .
若 p 点斜坐标为(2,-2) ,求 p 到 O 的距离|PO|;

y

8.已知向量 u ? ( x, y) , v ? ( y, 2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u) 表示。 (1)证明:

o

60 ?

x

对任意向量 a , b 及常数 m, n ,恒有 f (ma ? nb) ? mf ( a) ? nf ( b) 成立; (2)设 a ? (1,1) , b ? (1, 0),求 向量 f (a), f (b) 的 坐标。 (3)求使 f (c) ? ( p, q) ( p, q 为常数)的向量 c 的坐标。

参考答案: 例 1:略 例 2: AM ? BC ? (OM ? OA)(OC ? OB) ? (OC ? OB)(OC ? OB) ? OC ? OB ? 0
2 2

GA ? GB ? GB ? 0 , ?OA ? OG ? OB ? OG ? OC ? OG ? 0 , ? OA ? OB ? OC ? 3OG , ?OM ? 3OG , ?O , M , G 三点共线。
说明: ?ABC 外心为 O,取点 M,使 OA ? OB ? OC ? OM 成立的充要条件是 M 为 ?ABC 的垂心 例 3: AP ? 4a ? 5b , AQ ? ?4a ? 5b 例 4: 如图建立直角坐标系: A (2,0) , B (?

3 1 3 3 3 , ) , C(? ,? ) 2 2 2 2 B

a ? (2,0) , b ? (?

3 1 3 3 3 , ) , c ? (? , ? ) 2 2 2 2

O C

设 c ? ? a ? ? b ? ? ? ?3, ? ? ?3 3

A

例 5: (1)D 强化练习:

(2)B

(3)A

1. k ? 3 , ? ? ? 2.略 3. (1) k ? ? 4. AM ? a ? 5. 3

1 6

1 3

反向

(2) k ? 19

3 1 1 1 b , MH ? ?a ? b , AF ? a ? b , MD ? ?a ? b 4 4 4 4

6. OP ? 2e1 ? 2e2 ? | OP |? 2 7. (2) f (a) ? (1,1) ,

f (b) ? (0, ?1)

(3) c ? (2 p ? q , p)

高一年段数学培优教材第六讲

平面向量(2)

例 1: (1)点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? PC ,则角 C 的大小为_________________ (2)在 ?ABC 中,| BC | GA? | AC | GB? | AB | GC ? 0 ,其中 G 为 ?ABC 的重心,则 ?ABC 的形状是___ (3)设 ?ABC 的外心为 O,H 是它的垂心,求证: OH ? OA ? OB ? OC

(4)已知 O 为 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 | OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 ?| OC |2 ? | AB |2 ,求 证:点 O 是 ?ABC 的垂心。

(5)O 为 ?ABC 所在平面内的一点,则 O 为 ?ABC 的垂心的充要条件是: OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA

例 2: 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 a 与 b 之间有关系式:| ka ? b |? 其中 k>0. (1)证明: (a ? b) ? (a ? b) ; (2)试用 k 表示 a b

3 | a ? kb | ,

?

例 3:已知平面上的三个向量 a, b, c 的模均为 1 ,它们相互之间的夹角都是 120 , (1) 求证: ( a ? b) ? c (2)若 | ka ? b ? c |? 1 , (k ? R) ,求 k 的取值范围。

例 4:已知向量 a ? ( 3, ?1) , b ? ( ,

1 2

3 ) ,存在实数 k , t ,使得向量 x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb, 且 2

(1)试将 k 表示为 t 得函数 k ? f (t ) ; (2)求 x ? y,

k ? t2 得最小值。 t

例 5.已知向量 a ? (cos x,sin x) , b ? (sin 2 x,1 ? cos 2 x) , c ? (0,1) , x ? (0, ? ) (1)向量 a , b 是否共线? (2)求函数 f ( x) ?| b | ?(a ? b) ? c 的最大值。

例 6:在 Rt△ABC 中,已知 ?A ? 90 , BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角 ? 取 何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

强化训练: 1.已知 ?ABC 满足 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则 ?ABC 的形状是( ) A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 ( )条件
2

2.已知 a, b, c 为非零的平面向量. 甲: a ? b ? a ? c,乙 : b ? c, 则 甲是乙的 A.充分条件但不是必要 B.必要条件但不是充分 C.充要条件

D.既非充分也非必要

3.已知平面上直线 l 的方向向量 e ? ( ? 则 O?A? ? ? e ,其中 ? = (

4 3 , ), 点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O ' 和 A ' , 5 5 11 11 ) A. B. ? C.2 D.-2 5 5

4.已知 e1 , e 2 是夹角为 45 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? e2 , 则 a , b 的夹角为___________ 5.如果向量 a 与 b 的夹角为 ? ,那么我们称 a ? b 为向量 a 与 b 的“向量积” , a ? b 是一个向量,它的长 度 | a ? b |?| a || b | sin ? ,如果 | a |? 3, | b |? 2, a ? b ? ?2 ,则 | a ? b |? ______________ 6 . 对 于 n 个 向 量 a1 , a2 , a??? 3,

n

,a, , 若 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 , ???, kn , 使 得

k1 a 1? k a ??? ? kn an ? 0 成 立 , 则 称 向 量 a1 , a2 , a3 , ???, an , 是 “ 线 性 相 关 ” 的 。 按 此 规 定 , 能 说 明 2 ?2 a1 ? (1,0) , a2 ? (1, ?1) , a3 ? (2, 2) “线性相关”的实数 k1 , k2 , k3 的一组取值为____________________

7.设向量 a ? (cos 23?, cos 67?), b ? (cos 53?, cos 37?), 则a ? b ? ___________ 8.已知向量 m ? (1,1) ,向量 n 与 m 的夹角为

3? ,且 m ? n ? ?1 ,则 n =______________ 4

2 2 2 9.在 ?ABC 内求一点 P,使 AP ? BP ? CP 的值最小。

10.已知 a ? (1,3) , b ? (1,1) , c ? a ? ?b ,是否存在实数 ? ,使 a 与 c 的夹角为锐角?说明你的理由。 11. 已知向量 a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), | a? b |? (2)若 0 ? ? ?
? ? ? ?

2 5 5

. (1)求 cos(? ? ? ) 的值;

?
2

,?

?
2

? ? ? 0, 且 sin ? ? ?

5 13

, 求 sin ? 的值

12. 已知向量 a ? (2sin x,cos x), b ? ( 3cos x,2cos x), 定义函数 f ( x) ? a ? b ?1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (3)画出函数 g ( x) ? f ( x), x ? [? 参考答案 例 1: (1) 60 (3) (2) 等边三角形 (2)求函数 f ( x) 的单调减区间;

7? 5? , ] 的图象,由图象研究并写出 g ( x) 的对称轴和对称中心. 12 12

A D H O B C

如图,联结 BO 并延长交三角形外接圆于点 D,则

? AH DC ? AHCD 为 ? ? DA CH
? OH ? OA ? AH ? OA ? DC ? OA ? OC ? OD ? OA ? OC ? OB
(4) 略 (5)略

例 2: (1) | a |?| b |? 1

k 2 ?1 4k 2 例 3: (2) k ? 2k ? 0 ? k ? 2, k ? 0
(2) a ? b ? 例 4: (1) f (t ) ?

t 3 ? 3t 4

(2)

7 k ? t2 1 7 ? (t ? 2)2 ? ,当 t ? ?2 时取最小值 ? 4 t 4 4

例 5: (1)共线 ;

2 (2) f ( x) ? ?2sin x ? sin x ; f ( x)max ?

1 8

例 6:04 湖北高考题 BP ? CQ ? ?a ? a cos? ,所以当 ? ? 0 时,取最大值 0
2 2

强化练习: 1 C 2 B 3 D 4

arccos

3 46 46

5

4 2

6

?4, 2,1

7

3 2

8 (0, ?1) 或 ( ?1, 0)

9.设 AB ? a , AC ? b , AP ? x ,则

AP ? BP ? CP ?| x |2 ?( x ? a)2 ? ( x ? b)2 ? 3x ? 2(a ? b) x ? a ? b
2 2 1 1 ? 3[ x ? (a ? b)]2 ? a ? b ? (a ? b)2 3 3

2

2

2

2

2

2

所以当 x ?

1 (a ? b) 时取最小,易证此时点 P 为三角形 ABC 的重心。 3
5 2 (0, ??)

10. ? ? (? ,0)

11. (1) cos(? ? ? ) ?

3 5

(2)

33 65

2 12.解: f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6
(1) T ?

?

2? |? |

? ?.
? 2x ?

(2) 2k? ?

?
2

?
6

? 2k? ? 2? 3

3? 2

? 2k? ?

?
3

? 2 x ? 2k? ?

4? 3

? k? ?

?
6

? x ? k? ?

(k ? Z )

?函数f ( x)的单调减区间为[k? ?
(3)

?
6

, k? ?

2? 3

](k ? Z ).

x
2x ?

?

7? 12

? ?

?
3

?

?
12

?
6

5? 12

?
6

??

?
2

0 0

?
2

?

y

0

-2

2

0

从图象上可以直观看出,此函数有一个对称中心( ?

? ,0 ) ,无对称轴 12


高一数学培优教材(1-6)教案新人教版

高一数学培优教材(1-6)教案新人教版_数学_高中教育_教育专区。高一数学 培优补差教案 配新人教版 高一数学培优教材第一讲一、 基本性质: 函数的性质 1. 函数...

高一数学 培优教材(6) 素材 新人教版

高一数学 培优教材(6) 素材 新人教版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一...好好学习 天天向上 高一年段数学培优教材第六讲 平面向量(2) 例 1: (1)点...

人教版高一必修1数学教案:精品全套

人教版高中数学必修 1 精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) 课型:新...1, 2,3, 4,5,...? 例 1. (课本例 1)用列举法表示下列集合: (1)小于...

2014人教版新版六年级数学上册全册教案

2014 新人教版六年级数学上册全册教案 第一单元 分数乘法 教学内容: 1.分数的乘法 2.分数混合运算 3.用分数解决问题 教材分析:本单元是在整数乘法、分数的意义...

高一数学 培优教材(5)素材 新人教版

高一数学 培优教材(5)素材 新人教版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学...(1,1) , (2)B (3)A A 1 6 1 3 反向 (2) k ? 19 3 1 1 1 ...

新课标人教A版高中数学必修1教案完整版

新课标人教A版高中数学必修1教案完整版_初三英语_英语_初中教育_教育专区。新课标...6. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象...

高一数学 培优教材(4)素材 新人教版

高一数学 培优教材(4)素材 新人教版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学...b ?1 ? 6 ) (2) f ( x) ? 2sin(? x ? ? 6 ) 的对称方程为 k...

最新精编新课标高一数学人教版必修1全册教案(165页)

最新精编新课标高一数学人教版必修1全册教案(165页)_数学_高中教育_教育专区。课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一...

高一年段数学培优教材(6)

宁化一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组 第六讲 平面向量(2) 例 1:(1)点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA + PB = PC ,则角 C 的大小为___ (2)在 ...