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北京市101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷(文科)


北京市 101 中学 2011-2012 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科)
考试时间:100 分钟 试卷满分:120 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} ,A ? ? 则集合 CU ( A ? B) ? ( 1,2,3,

4?, B ? ?4,5,6? , )

A.

?4?

B. ? 1,2,5,6?

C. ?1,2,3,5,6? )

D. ?

2. 函数 y ?

ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

3. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (4, 2) ,则 f ( ) ? (

1 4



A.

2

B.

1 2

C.

1 4 1 2
0.3

D.

2 2
) D. b ? a ? c )

4. 设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则(
3

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? c ? a

5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? ? log2 x( x ? 0) C. y ? x ? x( x ? R)
3

B. y ? 3 ( x ? R)
x

D. y ? ?

1 ( x ? R, x ? 0) x


6. 函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的(

A. 充分条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的递增区间是(
2



A. (??,1)

B. (2, ??)

C. (??, )

3 2

D. ( , ??)

3 2

1

8. 为了得到函数 y ? lg

x?3 的图象,只需把函数 y ? lg x 的图象上的所有点( 10



A. 向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C. 向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

e x ? e? x 9. 函数 y ? x 的图象大致为( e ? e? x



10. 设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中 得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( A. (1.25 , 1.5) B. (1 , 1.25) C. (1.5 , 2) ) D. 不能确定

11. 设函数 f ( x) ? lg x ,则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? mf ( x) ? n ? 0 恰有三个不同实数解的 充要条件是( ) B. m ? 0且n ? 0 C. m ? 0且n=0 D. m ? 0且n=0

A. m ? 0且n ? 0
?

?1 为偶数 ? f ( n), n 12. 定 义 在 N 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f (1)? 1, 且 f (n ? 1)? ? 2 ,则 ? ????n为奇数 ? f (n ),
f ( 2 2 )? (
A. ) B.

1 1024

1 512

C.

1 2048

D. 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 13. 已知函数 f ( x ) ? a ?

1 ,若 f ( x) 为奇函数,则 a =__________。 2 ?1
x

14. 曲线 y=x3 过点(1,1)的切线方程为
3 2



。 。 。

15. 命题“对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 16. 函数 f ?x ? ? x ln x 的单调递减区间是 17.

3 3? 1 ? ] f ? x? ? ,在 [0, 上 f ? x? 是 R 上 的 偶 函 数 , f ? x ? ? ? ? 2 2? f ( x) ?


2 x ? , 1则

f ? 2012? ?

18. 已知函数 f ( x) ? ? 值范围是 。

?? x 2 ? 6 x ? e2 ? 5e ? 2, x ? e, ? x ? 2ln x, x ? e,

若 f (6 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取
2

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 经过点 (?1,0), (3,0), (0, ?3) 。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ?[t , t ?1] 时,求 f ( x ) 的最小值 g (t ) 。

20. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) , f ( x) ? ax 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 21. 水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年 数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

( Ⅰ)该 水库的 蓄水量小于 50 的时 期称为 枯水 期。以 i ? 1 ? t ? i 表 示第 i 月 份 ( i ? 1, 2,

,12 ) ,同一年内哪几个月份是枯水期?
1 1? t ) ( x ? 0) 的最小值恰好 x2 ? 2 x ? 2 ? t , y ? ( x ? 2 x

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算) 。 22. 已知函数 y ?| x | ?1 , y ?

3 2 是方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 。

(1)求证: a ? 2b ? 3 ;
2

(2)设 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的两个极值点。若 | x1 ? x2 |? 数 f ( x ) 的解析式。

2 ,求函 3

【试题答案】一、选择题 1-5 CCBBC 6-10 DACAA 11-12 CA
二、 填空题 13. 16. ( 0, ) 三、简答题 19.

1 14. 3x ? y ? 2 ? 0 2
17. 1

6x ? 8 y ? 2 ? 0

15. 存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

1 e

18. ? 3 ? a ? 2
2 3 2

20. 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x(1 ? x) ? x ? 2 x ? x ,

2 可得 f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? ( x ? 1)(3x ? 1) 。令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? ? 。

1 3

因为当 x ? ?1 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (? , ??) ,

1 3

1 时, f ?( x) ? 0 , 3

1 3

3

单调递减区间是 ( ?1, ? ) 。秋战国 又 f (?1) ? 0 , f ( ? ) ? ?

1 3

1 3

4 , 27 4 。 27

所以当 x ? ?1 时,函数 f ( x ) 有极大值 0 ;当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 有极小值 ? (Ⅱ) f ( x) ? ax2 ? x3 ? 2x2 ? x ? ax2 ? x[ x 2 ? (2 ? a) x ? 1] 。 由已知 x[ x2 ? (2 ? a) x ? 1] ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立, 所以 x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立, 即 a?2?

1 3

1 ? x 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立。 x 1 ? x ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”号) 。 x

因为 x ? 0 ,所以

所以

1 ? x 的最小值为 2。由 a ? 2 ? 2 ,得 a ? 4 , x

所以 f ( x) ? ax 2 恒成立时,实数 a 的取值范围是 (??, 4] 。 21. 解 : ( Ⅰ ) ① 当 0 ? t ? 10 时 , V ( t )? ( ?t ? 14 t ? 4 0e) ?
2 1 x 4

5? 0 ,5化 0简得

t 2 ?1 4 t? 40 ? ,0

解得 t ? 4 ,或 t ? 10 ,又 0 ? t ? 10 ,故 0 ? t ? 4 。

②当 10 ? t ? 12 时, V (t ) ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50 ? 50 ,化简得 (t ? 10)(3t ? 41) ? 0 , 解得 10 ? t ?

41 ,又 10 ? t ? 12 ,故 10 ? t ? 12 。综合得 0 ? t ? 4 ,或 10 ? t ? 12 ; 3

故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: V (t ) 的最大值只能在(4,10)内达到。
t 1 2 3 1 1 由 V (t ) ? c (? t ? t ? 4) ? ? c 4 (t ? 2)(t ? 8), 4 2 4 ' 1 t 4

令 V ' (t ) ? 0 ,解得 t ? 8 ( t ? ?2 舍去) 。 当 t 变化时, V ' (t ) 与 V (t ) 的变化情况如下表:

t
V ' (t )
V (t )

(4,8) + ↗

8 0 极大值
2

(8,10) - ↘

由上表, V (t ) 在 t=8 时取得最大值 V (8) ? 8e ? 50 ? 108.32 (亿立方米) 。 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

1 ) ? 0 ,得 c ??a ? b? 1 22. 解: (1)三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t ,由 f (
∴ f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ? x ? ax ? bx ? (a ? b ? 1)
3 2 3 2

4

? ( x ?1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,
故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t 。 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1。

( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ? 1)2 ,即 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2

∴ a ? 2b ? 3 。
2

(2) ①依题意 x1 , x2 是方程 f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的根, 故有 x1 ? x2 ? ? 且△ ? (2a)2 ?12b ? 0 ,得 b ? 3 。 由 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

2a b ,x1 x2 ? , 3 3

2 a 2 ? 3b 2 3 ? b ? 3 3

2 3?b 2 ? ;得, b ? 2 , a2 ? 2b ? 3 ? 7 。 3 3
由(1)知 1 ? t ? 1? t ? ?(a ? 1) ? 0 ,故 a ? ?1 , ∴ a ? ? 7 , c ? ?(a ? b ? 1) ? 7 ? 3 ∴ f ( x) ? x3 ? 7 x2 ? 2x ? 7 ? 3 。

5


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