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2013年金版高考数学 第二章第四节 垂直关系优化训练


(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独 装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2009 年山东卷)已知 α ,β 表示两个不 同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 “α ⊥β ”是“m⊥β ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由平面与平面垂直的判定定理知 如果 m 为平面 α 内的一条直

线,m⊥β ,则 α ⊥β ,反过来则不一定.所以“α ⊥β ”是 “m⊥β ”的必要不充分条件. 【答案】 B 2.(2009 年广东卷)给定下列四个命题: )

用心

爱心

专心

1

①若一个平面内的两条直线与另一个平面 都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么 这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们 的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② C.③和④ )

B.②和③ D.②和④

【解析】 当两个平面相交时,一个平面内 的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对; 由平面与平面垂直的判定可知②正确; 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以 相交也可以异面,故③不对; 若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们 的交线垂直的直线才与另一个平面垂直, 故④正 确.
用心 爱心 专心 2

【答案】 D 3.(2008 年宁夏卷)已知平面 α ⊥平面 β , α ∩β =l,点 A∈α ,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关 系中,不一定成立的是( A.AB∥m C.AB∥β B.AC⊥m D.AC⊥β )

【解析】 如下图所示

AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?AC⊥m; AB∥l?AB∥β ,故选 D. 【答案】 D

4.如右图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上的射影
用心 爱心 专心 3

H 必在(

)

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部 【解析】 CA⊥AB ? ??CA⊥面 ABC1 CA⊥BC1?

?面 ABC⊥面 ABC1, ∴过 C1 作垂直于平面 ABC 的线在面 ABC1 内, ∴H∈AB. 【答案】 A 5.已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为 两个不同的平面,下列四个命题中,错误命题的 .. 个数是( ) α ,n β ,则 m∥n; ①α ∥β ,m ②若 m α ∥β ; ③若 α ⊥β ,m α ,则 m⊥β ; α ,n

α ,且 m∥β ,n∥β ,则

④若 α ⊥β ,m⊥β ,m?α ,则 m∥α . A.1 B.2
用心 爱心 专心 4

C.3

D.4

【解析】 ①错,两平行平面内任意两直线 可平行或异面; ②错,只有两个平面内的两条相交直线互相 平行,两个平面才平行; ③由面面垂直的性质定理可知当且仅当直 线 m 垂直两平面交线时,命题才成立; ④空间想象易知命题成立,综上可知只有④ 是正确的,其他三个命题均错误,故选 C. 【答案】 C 6.如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,三棱锥 A1-ABC 的面是直角三角形的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】 据题意由 AA1⊥平面 ABCD, 可得三角形 AA1B,AA1C 为直角三角形,
用心 爱心 专心 5

又易推出 BC⊥平面 AA1B, 故三角形 A1BC 和 ABC 为直角三角形, 即此四 面体各个面均为直角三角形. 【答案】 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知直线 a 和两个平面 α ,β ,给出下 列四个命题: ①若 a∥α , α 内的任何直线都与 a 平行; 则 ②若 a⊥α , α 内的任何直线都与 a 垂直; 则 ③若 α ∥β , β 内的任何直线都与 α 平 则 行; ④若 α ⊥β , β 内的任何直线都与 α 垂 则 直. 则其中________是真命题. 【解析】 若 a∥α ,则 α 内的无数直线都 与 a 平行,但不是任意一条,即①不正确;若 a⊥α ,则 α 内的任何直线都与 a 垂直,即②正 确; α ∥β , β 内的任何直线都与 α 平行, 若 则
用心 爱心 专心 6

即③正确;若 α ⊥β ,则 β 内有无数条直线都 与 α 垂直,但不是任意一条,即④不正确.综 上可得②、③为真. 【答案】 ②、③

8.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一 动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 【解析】 由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC 平面 PCD,

∴平面 MBD⊥平面 PCD. 【答案】 DM⊥PC(或 BM⊥PC 等)
用心 爱心 专心 7

9.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并 且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为 ________.

【解析】 由题意知:点 P 的轨迹为如图所 示的三角形 EFG,其中 G、F 为中点,

三、解答题(共 46 分)

用心

爱心

专心

8

10.(15 分)如图所示,P 为△ABC 所在平面 外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F. 求证:(1)BC⊥平面 PAB; (2)AE⊥平面 PBC; (3)PC⊥EF. 【证明】 (1)∵PA⊥平面 ABC,BC ABC, ∴PA⊥BC.∵AB⊥BC,AB∩PA=A,∴BC⊥平 面 PAB. (2)∵BC⊥平面 PAB,AE ∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE,BC∩PB=B,∴AE⊥平面 PBC. (3)∵AE⊥平面 PBC,PC ∴AE⊥PC,
用心 爱心 专心 9

平面

平面 PAB,

平面 PBC,

∵AF⊥PC,AE∩AF=A, ∴PC⊥平面 AEF. 而 EF 面 AEF,

∴PC⊥EF. 11.(15 分)如图 1,矩形 ABCD 中,AB= 2AD=2a, 为 DC 的中点, E 现将△ADE 沿 AE 折起, 使平面 ADE⊥平面 ABCE,如图 2. (1)求四棱锥 D-ABCE 的体积; (2)求证:AD⊥平面 BDE.

【解析】

(1)取 AE 中点 O,连接 DO,由题意知: AB=2AD=2a,ED=EC, ∴AD=DE,∴DO⊥AE,
用心 爱心 专心 10

又∵平面 ADE⊥平面 ABCE, ∴DO⊥平面 ABCE. 在等腰 Rt△ADE 中,AD=DE=a,

(2)证明:在题图 1 中,连接 BE,

∴AE⊥EB, 由(1)知 DO⊥平面 ABCE, ∴DO⊥BE,又 DO∩AE=O, ∴BE⊥平面 ADE ∴BE⊥AD
用心 爱心 专心 11

又∵AD⊥DE, ∴AD⊥平面 BDE.

12.(16 分)(2009 年山东卷)如图,在直四 棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别 是棱 AD,AA1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点, 证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 【证明】 (1)方法一:取 A1B1 的中点为 F1. 连结 FF1,C1F1. 由于 FF1∥BB1∥CC1,所以 F1∈平面 FCC1, 因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1. 连结 A1D,F1C, 由于 A1F1 D1C1 CD,
用心 爱心 专心 12

所以四边形 A1DCF1 为平行四边形, 因此 A1D∥F1C.又 EE1∥A1D, 得 EE1∥F1C. 而 EE1?平面 FCC1,F1C 故 EE1∥平面 FCC1. 平面 FCC1,

方法二:因为 F 为 AB 的中点,CD=2, AB=4,AB∥CD, 所以 CD AF,

因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC ?平面 FCC1,AD∩DD1=D,AD ?平面 ADD1A1, 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1 平面 ADD1A1,所以 EE1∥平面 FCC1.
用心 爱心 专心 13

平面 FCC1,CC1 平面 ADD1A1,DD1

(2)连结 AC,在△FBC 中,FC=BC=FB, 又 F 为 AB 的中点,所以 AF=FC=FB. 因此∠ACB=90°,即 AC⊥BC. 又 AC⊥CC1,且 CC1∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 而 AC 平面 D1AC, 故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.

用心

爱心

专心

14


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