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2014年广州一模理科数学试题(word版)


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2014.3

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂

在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么 P A ? B

?

?

? P ? A ? ? P ?B ? .

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为(
2

) D. 2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

2.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2sin C
2 2

c 为( b



B. 2cos B

C. 2sin B )
2

D. 2cos C

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
B. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?

) D. ? ?2, 2?

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并
0.030

频率/组距 0.025 0.020 0.015

绘制成如图 1 所示的频率分布直方图,样本数据分组为

?50, 60 ? 、 ? 60, 70 ? 、 ? 70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100?
.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围 内的数据 16 个,则其中分数在 ?90,100 ? 范围内的样本数 据有( A. 5 个 6.已知集合 A ? ? x x ? Z 且 ) B. 6 个 C. 8 个

0.010

50

60

70

80 图1

90

100 分数

D. 10 个 ) D. 5 )

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为( 2? x ?
B. 3 C. 4

A. 2

7.设 a 、 b 是两个非零向量,则使 a ? b ? a ? b 成立的一个必要非充分的条件是( A. a ? b

?

?

? ?

? ?

?

?

B. a ? b

?

?

C. a ? ? b ? ? ? 0 ?

?

?

D. a // b

? ?

8. 设 a 、 b 、 m 为整数 ? m ? 0 ? ,若 a 和 b 被 m 除得余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为
0 1 2 20 a ? b ? mod m ? .若 a ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ? ? C20 ? 220 ,且 a ? b ? mod10 ? ,则 b 的值可以是

A. 2011

B. 2012

C. 2013

D. 2014

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,,每小题 5 分,满分 30 分)
9.若不等式 x ? a ? 1 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为 10.执行如图 2 所示的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N

?

?

.
?

?

? 的值为

. .

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是
开始 输入 k
n ? 0, S ? 0

5

n?k?




2 2 正(主)视图

1 1 侧(左)视图 图3

n ? n ?1

输出S

S ? S ? 2n ?1
图2

结束

4 俯视图

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 12 ? 6? 5 ?

.

13.在数列 ? an ? 中, 已知 a1 ? 1 ,an ?1 ? ?

1 , 记 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和, 则 S2014 ? an ? 1

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 直线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与曲 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为 15.(几何证明选讲选做题)如图 4, PC 是圆 O 的切线,切点 为点 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A 、 B 两点, ?APC 的角平分线 交弦 CA 、 CB 于 D 、 E 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 , 则 .

C D O A E B
图4

P

PE 的值为 PD

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? (1)求实数 a 的值; (2)设 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 2 ,求函数 g ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.
2

? ? ? ,0? . ? 3 ?

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是 是

2 ,甲、丙两人同时不能被聘用的概率 5

3 6 ,乙、丙两人同时能被聘用的概率为 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 10 25

(1)求乙、丙两人各自被聘用的概率; (2)设 ? 为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分布列与 均值(数学期望).

D1
18.(本小题满分 14 分) 如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是 棱 D1 D 的中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 BF . (1)求证: EF ? A1C1 ;

C1 B1

A1

E D

F
图5

C

A

B

(2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A 、 E 、 G 、 F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值. 19.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 ? an ? 的首项为 10 ,公差为 2 ,等比数列 ?bn ? 的首项为 1 ,公比为 2 , n ? N .
?

(1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 S n . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值.) 20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 5 ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 已知双曲线 E : 2 ? , 5 a 4
点 P 是直线 x ?

???? ? ???? ? a2 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 3

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3) 若点 P 的纵坐标为 1 , 过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N , 在线段 MN 上 去异于点 M 、 N 的点 H ,满足 PM ? MH ,证明点 H 恒在一条定直线上. PN HN 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e (其中 e 为自然对数的底数).
2 x

?

?

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? ,则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的 “域同区间” .试问函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是否存在 “域同区间” ?若存在, 求出所有符合条件的 “域 同区间”;若不存在,请说明理由.


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