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第一章 集合与常用逻辑用语

时间:2016-09-06


第一节 集



考纲要求:1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合

中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若 a 属于集合 A,记作 a∈A;若 b 不属于集合 A,记作 b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 符号 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

2.集合间的基本关系 关 表 系 示 文字语言 记法

子集 集合 间的 基本 关系 相等 真子集

集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的 元素

A?B 或 B?A

集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少 有一个元素不属于 A 集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素, 集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元 素 A?B 且 B?A? A=B

空集是任何集合的子集 空集 3.集合的基本运算 (1)三种基本运算的概念及表示 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 空集是任何非空集合的真子集 ?

??A B 且 B≠?

集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的补集为?UA

图形表示 ?U A={x|x∈U,且 x? A}

意义

{x|x∈A,或 x∈B}

{x|x∈A,且 x∈B}

(2)三种运算的常见性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B. ②A∩A=A,A∩?=?. ③A∪A=A,A∪?=A. ④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. ⑤A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?. [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若集合 A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则 A,B,C 表示同一个集 合.( ) )

(2)若 a 在集合 A 中,则可用符号表示为 a?A.( (3)若 A?B,则 A?B 且 A≠B.( (4)N* N Z.( ) ) )

(5)若 A∩B=A∩C,则 B=C.(

(6)对于任意两个集合 A,B,都有(A∩B)?(A∪B)成立.( (7)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)? (6)√ (7)√ )

)

2.若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下面结论中正确的是( A.{a}?A B.a?A C.{a}∈A D.a?A 解析:选 D 因为 a=2 2?N,A={x∈N|x≤ 10},所以 a?A. b ? ? 3.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=(
? ?

)

)

A.1 B.-1 C.2 D.-2 b ? ? b 解析:选 C 因{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,所以 a+b=0,则 =-1,所以 a= a ? ? -1,b=1,所以 b-a=2. 4. 若集合 A 中有 n 个元素, 则集合 A 有________个子集, 有________个真子集, 有________ 个非空子集,有________个非空真子集. 答案:2n 2n-1 2n-1 2n-2

5.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB)=________. 答案:{2,4} 6.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则?R(A∪B)=________. 答案:{x|x≤2 或 x≥10}

[典题 1] (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 (2)若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则 a=( 9 A. 2 C.0 9 B. 8 9 D.0 或 8 )

)

(3)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中的元素个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (4)(2016· 厦门模拟)已知 P={x|2<x<k,x∈N},若集合 P 中恰有 3 个元素,则 k 的取值范 围为________. [听前试做] (1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合 B 中有 5 个元素. 9 (2)当 a=0 时,显然成立;当 a≠0 时,Δ=(-3)2-8a=0,即 a= . 8 (3)∵a∈A,b∈B,∴x=a+b 为 1+4=5,1+5=2+4=6,2+5=3+4=7,3+5=8.共 4 个 元素. (4)因为 P 中恰有 3 个元素,所以 P={3,4,5},故 k 的取值范围为 5<k≤6. 答案:(1)C (2)D (3)B (4)(5,6]

(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件.当集合用描

述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.

[典题 2] (1)设 P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( A.P?Q C.?RP?Q B.Q?P D.Q??RP

)

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值范 围为________. [听前试做] (1)因为 P={y|y=-x2+1, x∈R}={y|y≤1}, Q={y|y=2x, x∈R}={y|y>0}, 所以?RP={y|y>1},所以?RP?Q,选 C. (2)∵B?A, ∴①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2. 2m-1≥m+1, ? ? ②若 B≠?,则?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5.

解得 2≤m≤3.

由①、②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为(-∞,3]. 答案:(1)C (2)(-∞,3] [探究 1] 在本例(2)中,若 A?B,如何求解? 解:若 A?B,则?
? ?m+1≤-2, ?2m-1≥5, ? ? ?m≤-3, 即? ?m≥3. ?

所以 m 的取值范围为?. [探究 2] 若将本例(2)中的集合 A,B 分别更换为 A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈ R},如何求解? 解:①若 B=?,则 Δ=m2-4<0,解得-2<m<2; ②若 1∈B,则 12+m+1=0, 解得 m=-2,此时 B={1},符合题意; ③若 2∈B,则 22+2m+1=0, 1? 5 ? 解得 m=- ,此时 B=?2,2?,不合题意. 2 ? ? 综上所述,实数 m 的取值范围为[-2,2).

根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类 讨论,做到不漏解.

(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集 合中元素的互异性; (2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点 值能否取到.

1.设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样的集合 M 共有( )

A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 解析:选 A 由题意知,M={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 2.(2016· 南宁模拟)已知集合 M={x|x2-2x-3<0},N={x|x>a},若 M?N,则实数 a 的 取值范围是( )

A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[3,+∞) D.(3,+∞)

解析:选 A M={x|(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),又 M?N,因此有 a≤-1,即实数 a 的 取值范围是(-∞,-1].

有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为 低档题,且主要有以下几个命题角度: 角度一:离散型数集间的交、并、补运算 [ 典 题 3] (2016· 株 洲 模 拟 ) 设 全 集 U = {0,1,2,3,4,5} , 集 合 A = {2,4} , B = {y|y = x∈A},则集合(?UA)∩(?UB)=( A.{0,4,5,2} C.{2,4,5} B.{0,4,5} D.{1,3,5} )

[听前试做] 由题意知 B={0,2},∴?UA={0,1,3,5},?UB={1,3,4,5},∴(?UA)∩(?UB)= {1,3,5}. 答案:D 角度二:连续型数集间的交、并、补运算 [典题 4] (1)设全集 U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集 合为( )

A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x<0}

C.{x|-1≤x<0} D.{x|x<-3} (2)设集合 A={x|(x+1)(x-2)<0}, B={x|1<x<3}, 则 A∪B=________, A∩B=________. [ 听前试做 ] A∩(?UB), 所以 A∩(?UB)={x|-1≤x<0},故选 C. (2)A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2}, ∴A∪B={x|-1<x<3},A∩B={x|1<x<2}. 答案:(1)C (2){x|-1<x<3} {x|1<x<2} 角度三:根据集合的运算结果求参数 [典题 5] (1)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若 (?UA)∩B=?,则 m 的值是________. (2)已知集合 A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0,m∈R},若 A∩B =[2,4],则实数 m=________. [听前试做] (1)∵(?UA)∩B=?,∴B?A. 又 A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2}. ∴-1 和-2 是方程 x2+(m+1)x+m=0 的两个根. ∴m=2.
? ?m-3=2, (2)由题知 A=[-2,4],B=[m-3,m],因为 A∩B=[2,4],故? 则 m=5. ?m≥4, ?

(1)因为 A={x|x(x + 3)<0} = {x|- 3<x<0} , ? UB = {x|x≥ -1} ,阴影部分为

答案:(1)2 (2)5

(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用 Venn 图求解.(如角度一) (2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但是要注意端点值能否取到等号的 情况.(如角度二) (3)根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.(如 角度三)

[典题 6] (1)(2015· 湖北高考)已知集合 A={(x, y)|x2+y2≤1, x, y∈Z}, B={(x, y)||x|≤2, |y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中 元素的个数为( A.77 ) B.49 C.45 D.30

(2)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一 个“单一元”, 给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“单一元”

的集合共有________个. [听前试做] (1)A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(x,y)|x=± 1,y=0;或 x=0,y=± 1; 或 x=0,y=0}, B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(x,y)|x=-2,-1,0,1,2;y=-2,-1,0,1,2},A⊕B 表示点集. 由 x1=-1,0,1,x2=-2,-1,0,1,2,得 x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共 7 种取值可能. 同理,由 y1=-1,0,1,y2=-2,-1,0,1,2,得 y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共 7 种取 值可能. 当 x1+x2=-3 或 3 时,y1+y2 可以为-2,-1,0,1,2 中的一个值,分别构成 5 个不同的 点. 当 x1+x2=-2,-1,0,1,2 时,y1+y2 可以为-3,-2,-1,0,1,2,3 中的一个值,分别构 成 7 个不同的点. 故 A⊕B 共有 2× 5+5× 7=45(个)元素. (2)符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共 6 个. 答案:(1)C (2)6

解决集合的新定义问题,应从以下两点入手: (1)正确理解创新定义. 这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题, 而是以集合为 载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等. (2)合理利用集合性质. 运用集合的性质(如元素的性质、 集合的运算性质等)是破解新定 义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一 些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}.已知集合 A={x|0<x<2},B ={y|y≥0},则 A?B=________. 解析:由已知 A={x|0<x<2},B={y|y≥0},又由新定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, 结合数轴得 A?B={0}∪[2,+∞). 答案:{0}∪[2,+∞) ————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1. 在解题时经常用到集合元素的互异性, 一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题 的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意以下结论的应用:含有 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个非空子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真子集.

3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn 图求解. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集 合进行化简. 2.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑?是否 成立,以防漏解. 3.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴 图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

[全盘巩固] 一、选择题 1.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=( A.(-1,3) C.(0,2) B.(-1,0) D.(2,3) )

解析:选 A 将集合 A 与 B 在数轴上画出(如图).

由图可知 A∪B=(-1,3),故选 A. 2. (2016· 开封模拟)设集合 A={n|n=3k-1, k∈Z}, B={x||x-1|>3}, 则 A∩(?RB)=( A.{-1,2} B.{-2,-1,1,2,4} C.{1,4} D.? )

解析:选 A B={x|x>4 或 x<-2},∴?RB={x|-2≤x≤4},∴A∩(?RB)={-1,2}. 3.(2016· 日照模拟)集合 A={x|y= x},B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于( A.R B.? C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析:选 C A={x|y= x}={x|x≥0},B={y|y=log2x,x>0}=R.故 A∩B={x|x≥0}. 4.(2016· 海淀模拟)已知集合 P={x|x2-x-2≤0},M={-1,0,3,4},则集合 P∩M 中元 素的个数为( ) )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 选 B 由 P 中不等式变形得(x-2)(x+1)≤0, 解得-1≤x≤2, 即 P={x|-1≤x≤2}, ∵M={-1,0,3,4},∴P∩M={-1,0},则集合 P∩M 中元素的个数为 2. 5.(2016· 南昌模拟)已知集合 M={x|x2-4x<0},N={x|m<x<5},若 M∩N={x|3<x<n}, 则 m+n 等于( )

A.9 B.8 C.7 D.6 解析:选 C 由 x2-4x<0 得 0<x<4,所以 M={x|0<x<4}.又因为 N={x|m<x<5},M∩N

={x|3<x<n},所以 m=3,n=4,m+n=7. 6.(2016· 郑州模拟)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是( A.{1,2} C.{-1,0,1} B.{x|x≤1} D.R )

解析:选 A 因为 A∩B=B,所以 B?A,因为{1,2}?A,故选 A. 7.已知集合 A={-1,1},B={x|mx=1},且 B?A,则 m 的值为( A.1 或-1 或 0 B.-1 C.1 或-1 D.0 )

1 1 解析:选 A 因为 B?A,所以 B=?或{1}或{-1},即 m=0 或 =1 或 =-1,得到 m m m 的值为 1 或-1 或 0. 8.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?UA)∩B 等于( A.{x|x>2 或 x<0} B.{x|1<x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 解析:选 C 二、填空题 9.(2015· 福建高考改编)若集合 M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则 M∩N=________. 解析:∵M={x|-2≤x<2},N={0,1,2}, ∴M∩N={0,1}. 答案:{0,1} 10.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =________. 解析:经验证,点(0,1),(-1,2)在直线 x+y-1=0 上.故 A∩B={(0,1),(-1,2)}. 答案:{(0,1),(-1,2)} 11.(2016· 兰州模拟)集合 A={x|x2+x-6≤0},B={y|y= x,0≤x≤4},则 A∩(?RB)= ________. 解析:A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},B={y|y= x,0≤x≤4}={y|0≤y≤2}, ∴?RB={y|y<0 或 y>2}. ∴A∩(?RB)={x|-3≤x<0}. 答案:[-3,0) 12.已知集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若 A∪B=B,则 a= ________. 解析:因为 A∪B=B,所以 A?B,又 A={0,-4},而 B 中最多有两个元素,所以 B =A={0,-4}, ?UA={x|0≤x≤2},B={x|x>1},故(?UA)∩B={x|1<x≤2}. )

2 ? ?a -1=0, 所以? 所以 a=1. 2 2 ??-4? +2?a+1??-4?+a -1=0, ?

答案:1 [冲击名校] 1.设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的 集合为( )

A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1)

B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1)

解析:选 D 因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1],所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],故图中阴影部分表示的集合为 (-∞,-1]∪(0,1). 2.(2016· 大连模拟)已知集合 A={(x,y)|y=lg x},B={(x,y)|x=a},若 A∩B=?,则实 数 a 的取值范围是( A.a<1 B.a≤1 C.a<0 D.a≤0 解析:选 D 因为 y=lg x 的定义域为{x|x>0},依题意知,对数函数 y=lg x 的图象与直 线 x=a 没有交点,所以 a≤0. 3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 中的所有元素之和为( ) )

A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 C 由 A*B 的定义可得,A*B={0,2,4},故集合 A*B 中的所有元素之和为 6. 4x ? ? 4.(2016· 成都模拟)已知集合 M={x|x>x2},N=?yy= 2 ,x∈M?,则 M∩N=________.
? ?

1 4x 解析:对于集合 M,由 x>x2,解得 0<x<1,∴M={x|0<x<1},∵0<x<1,∴1<4x<4,∴ < 2 2
? 1 ? ? 1 ? <2,∴N=?y2<y<2?,∴M∩N=?x2<x<1?. ? ? ? ? ? 1 ? 答案:?x2<x<1? ? ?

5. 已知集合 A={x|x2-2x-3>0}, B={x|x2+ax+b≤0}, 若 A∪B=R, A∩B={x|3<x≤4}, 则 a+b 的值等于________. 解析:由已知得 A={x|x<-1 或 x>3}, ∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4}, ∴B={x|-1≤x≤4},

即方程 x2+ax+b=0 的两根为 x1=-1,x2=4. ∴a=-3,b=-4,∴a+b=-7. 答案:-7 6 . (2016· 沈阳模拟 ) 设 [x] 表示不大于 x 的最大整数,集合 A = {x|x2 - 2[x] = 3} , B =
? 1 x ? ?x <2 <8?,则 A∩B=________. ? 8 ?

解析:由集合 A 中的等式 x2-2[x]=3 变形得 x2=2[x]+3,由题意可知 x2 为整数,而 x2 -2x-3=0 的解为 x=-1 或 x=3,则[-1]=-1,[3]=3,所以 x2=2[x]+3=-2+3=1 或 x2=2×3+3=9,解得 x=± 1 或 x=± 3,经检验 x=1,x=-3 不合题意舍去,所以 x=-1 或 x=3,∴A={-1,3}, 由 B 中不等式变形得 2 3<2x<23,即-3<x<3,


∴B={x|-3<x<3},则 A∩B={-1}. 答案:{-1} 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲要求:1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的 相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

1.命题 (1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫 做真命题,判断为假的语句叫做假命题. (2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) ) ) p p?q 且 q p p

q 且 q? p p?q q且q p

(2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.(

(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( (4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( ) )

(5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( (6)q 不是 p 的必要条件时,“p 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ q”成立.( (5)√ (6)√ )

2.设 p,r 都是 q 的充分条件,s 是 q 的充要条件,t 是 s 的必要条件,t 是 r 的充分条件, 那么 p 是 t 的________条件,r 是 t 的________条件.(用“充分”“必要”“充要”填空) 提示:由题知 p?q?s?t,又 t?r,r?q,故 p 是 t 的充分条件,r 是 t 的充要条件. 答案:充分 充要 3. 记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A, 函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为________. 答案:(-∞,-3] 4.在下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x2=3x+4,q:x= 3x+4; (2)p:x-3=0,q:(x-3)(x-4)=0; (3)p:b2-4ac≥0(a≠0),q:ax2+bx+c=0(a≠0)有实根. 答案:(1)必要 (2)充分 (3)充要

5.写出命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”的逆命题、否命题和逆否命题,并判 断其真假性. 解:(1)逆命题:若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列,假命题. (2)否命题:若 a,b,c 不成等比数列,则 b2≠ac,假命题. (3)逆否命题:若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列,真命题.

[典题 1] (1)命题“若 a>b 则 a-1>b-1”的否命题是( A.若 a>b,则 a-1≤b-1 B.若 a>b,则 a-1<b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1

)

(2)(2016· 银川模拟)命题“若 x2+y2=0,x,y∈R,则 x=y=0”的逆否命题是( A.若 x≠y≠0,x,y∈R,则 x2+y2=0 B.若 x=y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0 C.若 x≠0 且 y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0 (3)下列命题中为真命题的是( )

)

A.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 B.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>1,则 x>1”的逆否命题 (4)已知:命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论 正确的是( )

A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [听前试做] (1)根据否命题的定义可知,命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题应为 “若 a≤b,则 a-1≤b-1”. (2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由 x=y=0 知 x=0 且 y=0,其否定 是 x≠0 或 y≠0. (3)对于选项 A,命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题为“若 x≤1,则 x2≤1”,易知当 x =-2 时,x2=4>1,故选项 A 为假命题;对于选项 B,命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题为 “若 x>|y|,则 x>y”,分析可知选项 B 为真命题;对于选项 C,命题“若 x=1,则 x2+x-2 =0”的否命题为“若 x≠1,则 x2+x-2≠0”,易知当 x=-2 时,x2+x-2=0,故选项 C 为假命题;对于选项 D,命题“若 x2>1,则 x>1”的逆否命题为“若 x≤1,则 x2≤1”,易 知当 x=-2 时,x2=4>1,故选项 D 为假命题.

(4)由 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 f′(x)=ex-m≥0 恒成立,∴m≤1.∴命题 “若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. 答案:(1)C (2)D (3)B (4)D

(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命 题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.

[典题 2] (1)(2015· 天津高考)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

(2)(2015· 四川高考)设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 B.充分不必要条件

)

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [听前试做] (1)|x-2|<1?1<x<3. 由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集, 所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件. (2)y=log2x(x>0)为增函数,当 a>b>1 时,log2a>log2b>0;反之,若 log2a>log2b>0,结合 对数函数的图象易知 a>b>1 成立,故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件. 答案:(1)A (2)A

充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断. (2)集合法:根据 p,q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题 进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,常用的是逆否等价法. ①綈 q 是綈 p 的充分不必要条件?p 是 q 的充分不必要条件;

②綈 q 是綈 p 的必要不充分条件?p 是 q 的必要不充分条件;

③綈 q 是綈 p 的充要条件?p 是 q 的充要条件.

1.(2015· 安徽高考)设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A 由 2x>1,得 x>0,所以 p?q,但 q 故选 A.

)

p,所以 p 是 q 的充分不必要条件,

2.设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 D 当数列{an}的首项 a1<0 时,若 q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an} 的首项 a1<0 时,要使数列{an}为递增数列,则 0<q<1,所以“q>1”是“数列{an}为递增 数列”的既不充分也不必要条件.

[典题 3] (1)(2016· 南昌模拟)已知条件 p:|x-4|≤6;条件 q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的取值范围是( A.[21,+∞) C.[19,+∞) B.[9,+∞) D.(0,+∞) )

(2)已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,则 m 的取值范围为________. [听前试做] (1)条件 p:-2≤x≤10,条件 q:1-m≤x≤m+1,又因为 p 是 q 的充分不
?1-m≤-2, ? 必要条件,所以有? 解得 m≥9. ?1+m≥10. ?

(2)由 x2-8x-20≤0,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 答案:(1)B (2)[0,3] [探究 1] 本例(2)条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解:若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.

[探究 2] 本例(2)条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S P.

∴[-2,10]?[1-m,1+m].
? ? ?1-m≤-2, ?1-m<-2, ∴? 或? ?1+m>10 ?1+m≥10. ? ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的 子集关系求解.但是,在求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的验证,不等式中 的等号是否能够取得,决定着端点的取值.

已知 p:x>1 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A.[1,+∞) B.(-∞,1]

)

C.[-3,+∞) D.(-∞,-3) 解析:选 A 法一:设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},因为 q 是 p 的充分不必要条 件,所以 Q?P, ,因此 a≥1. 法二:令 a=-3,则 q:x>-3,则由命题 q 推不出命题 p,此时 q 不是 p 的充分条件, 排除 B,C;同理,取 a=-4,排除 D;选 A. —————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法 写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按 定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否 命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充分、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接判断“若 p 则 q”,“若 q 则 p”的真假即可. (2)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A?B,则 p 是 q 的充 分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的 充要条件. [易错防范]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式. 3.要注意“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是 B”的区别.

[全盘巩固] 一、选择题 1.(2015· 山东高考)设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题 是( ) A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0 解析:选 D 根据逆否命题的定义,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆 否命题是“若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0”. 2.(2015· 浙江高考)设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 D 特值法:当 a=10,b=-1 时,a+b>0,ab<0,故 a+b>0 当 a=-2, b=-1 时, ab>0, 但 a+b<0, 所以 ab>0 的既不充分也不必要条件. 1 1 3.(2016· 晋中模拟)已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是 <x< ,则 m 的取值范 3 2 围是( ) 4 ? B.? ?3,+∞? 1 4 - , ? D.? ? 2 3? ab>0; )

a+b>0.故“a+b>0”是“ab>0”

1 -∞.- ? A.? 2? ? 4 1 - , ? C.? ? 3 2?

1 1 解析:选 D 由|x-m|<1 得 m-1<x<1+m,又因为|x-m|<1 的充分不必要条件是 <x< , 3 2

?m-1≤3, 借助数轴,所以? 1 ?m+1≥2,

1

1 4 解得- ≤m≤ . 2 3

4.已知 a,b,c∈R,命题“如果 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.如果 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.如果 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.如果 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.如果 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

)

解析: 选 A “a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”, “a2+b2+c2≥3”的否定是“a2 +b2+c2<3”,故根据否命题的定义知选 A. 5.(2015· 陕西高考)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A cos 2α=0 等价于 cos2α-sin2α=0,即 cos α=± sin α.由 cos α=sin α 可得到 cos 2α=0,反之不成立,故选 A. 6.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:选 D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时,这两个平面才相 互平行,所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理,所以②为真命题;垂直于 同一直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以③为假命题;根据两个平面垂直的 性质定理易知④为真命题. 7.(2016· 株洲模拟)设 a,b∈R,那么“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 解析:选 B 由 要不充条件. π 1 8.在斜三角形 ABC 中,命题甲:A= ,命题乙:cos B≠ ,则甲是乙的( 6 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) D.既不充分也不必要条件 a ,得 >1,解得 a>b>0 或 a<b<0,所以“ b ”是“a>b>0”的必 ”是“a>b>0”的( ) ) )

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

π π π 1 解析:选 A 因为△ABC 为斜三角形,所以若 A= ,则 B≠ 且 B≠ ,所以 cos B≠ 且 6 3 2 2 1 π π π 7π cos B≠0;反之,若 cos B≠ ,则 B≠ ,不妨取 B= ,A= ,C= ,满足△ABC 为斜三角 2 3 6 4 12 形,所以选 A. 二、填空题 9.命题“全等三角形一定相似”的逆否命题为________. 解析:首先将原命题写成“若 p 则 q”的形式.其中 p:两个三角形全等,q:两个三角 形相似,则其逆否命题为“若綈 q,则綈 p”. 答案:若两个三角形不相似,则它们一定不全等 10.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则綈 B 也是綈 A 的必要不充分条件;
? ?a>0, ②“? ”是“一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件; 2 ?Δ=b -4ac≤0 ?

③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件. 解析:易知①②正确.对于③,若 x=-1,则 x2=1,充分性不成立,故③错误. 答案:①② 11.已知 p(x):x2+2x-m>0,若 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围为 ________. 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,解得 m≥3;又 p(2)是真命题,所以 4+4 -m>0,解得 m<8.故实数 m 的取值范围是[3,8). 答案:[3,8) 12.有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 解析: ①原命题的否命题为“若 a≤b, 则 a2≤b2”, 假命题. ②原命题的逆命题为: “若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,真命题.③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x2≥4”,真命题. 答案:②③ [冲击名校]

1.设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 选 A 若函数 f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数, 则 φ=kπ, k∈Z, 所以由“φ=0”, 可以得到“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”, 但由“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”, 可以 得到 φ=kπ,k∈Z,因此“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件. 2.对于直线 m,n 和平面 α,β,使 m⊥α 成立的一个充分条件是( A.m⊥n,n∥α B.m∥β,β⊥α )

C.m⊥β,n⊥β,n⊥α D.m⊥n,n⊥β,β⊥α 解析:选 C 因为 m⊥β,n⊥β,所以 m∥n,又 n⊥α,所以 m⊥α. 3. 在四边形 ABCD 中, “存在 λ∈R, 使得 为平行四边形”的( ) , ”是“四边形 ABCD

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 若存在 λ∈R,使得 , ,则 AB∥CD,AD∥BC,故四

边形 ABCD 为平行四边形.反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则存在 λ=1 满足题意. 1 4.已知函数 f(x)= x +a(x≠0),则“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的________条 3 -1 件.(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写) 1 1 解析:若 f(x)= x +a 是奇函数,则 f(-x)=-f(x),即 f(-x)+f(x)=0,∴ -x +a 3 -1 3 -1 + 3x-1 1 3x 1 1 1 1 + a = 2 a + + = 0 ,即 2 a + =0,∴2a-1=0,即 a= ,f(1)= + = 2 2 2 3x-1 1-3x 3x-1 1-3x

1 1 1.若 f(1)=1,即 f(1)= +a=1,解得 a= ,代入得,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数.∴“f(1) 2 2 =1”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件. 答案:充要 5.若方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是________. 解析:方程 x2-mx+2m=0 对应二次函数 f(x)=x2-mx+2m,若方程 x2-mx+2m=0 有 两根,其中一根大于 3 一根小于 3,则 f(3)<0,解得 m>9,即方程 x2-mx+2m=0 有两根, 其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m>9.

答案:m>9 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲要求:1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑. (2)命题 p∧q、p∨q、綈 p 的真假判定

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

2.量词及含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词 ①全称量词有:所有的,任意一个,任给一个,用符号“?”表示;存在量词有:存在 一个,至少有一个,有些,用符号“?”表示. ②含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”用符号简 记为:?x∈M,p(x). ③含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在 M 中元素 x0,使 p(x0)成立”用符号简 记为:?x0∈M,p(x0). (2)含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0)

?x0∈M,p(x0)

?x∈M,綈 p(x) [自我查验]

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题“5>6 或 5>2”是真命题.( )

(2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( (3)若 p∧q 为真,则 p 为真或 q 为真.(

) ) ) ) ) ) )

(4)p∧q 为假的充要条件是 p,q 至少有一个为假.( (5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( (6)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,綈 p(x)的真假性相反.( (7)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(

(8)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)× (8)×

2.已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;q:x=1 是方程 x+2=0 的根.则下列命题 为真命题的是________. ①p∧綈 q;②綈 p∧q;③綈 p∧綈 q;④p∧q. 答案:① 3.已知命题 p:?x∈R,x2≠x,则綈 p:________. 答案:?x0∈R,x2 0=x0 4.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是________. 答案:对任意实数 x,都有 x≤1

[典题 1] (1)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ C.②③ ) D.②④
- -x

(2)(2016· 开封模拟)已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2

在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2,q4:p1∧(綈 p2)中,真 命题是( )

A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 (3)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的________条件.

[听前试做] (1)当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题.

当 x>y 时,x2>y2 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题.

由真值表知,①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假命题. (2)∵y=2x 在 R 上为增函数, 1?x - y=2 x=? ?2? 在 R 上为减函数, 1?x - ∴y=-2 x=-? ?2? 在 R 上为增函数, ∴y=2x-2 x 在 R 上为增函数,故 p1 是真命题.


y=2x+2 x 在 R 上为减函数是错误的,故 p2 是假命题.


∴q1:p1∨p2 是真命题,因此排除选项 B 和选项 D, q2:p1∧p2 是假命题, q3:(綈 p1)∨p2 是假命题,排除选项 A,故选 C. (3)p 或 q 为真命题?/ p 是 q 为真命题; p 且 q 为真命题?p 且 q 为真命题. 答案:(1)C (2)C (3)必要不充分 [解题模板] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

全称命题与特称命题是高考的常考内容,题型多为选择题,难度较小,属容易题,且主 要有以下几个角度: 角度一:全称命题、特称命题的否定 [典题 2] (1)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n )

C.?n∈N,n2≤2n

D.?n∈N,n2=2n )

(2)(2016· 大连模拟)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥ln 2”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<ln 2 B.不存在 x∈R,都有 x2<ln 2 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥ln 2
2 D.存在 x0∈R,使得 x0 <ln 2

(3)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等

)

[听前试做] (1)因为“?x0∈M,p(x0)”的否定是“?x∈M,綈 p(x)”,所以命题“?n ∈N,n2>2n”的否定是“?n∈N,n2≤2n”. (2)按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,应该为存在 x0∈R,使得 x2 0<ln 2. (3)命题是省略量词的全称命题.易知选 D. 答案:(1)C (2)D (3)D

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时, 一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论, 而一般命题的否定只需直接否定结论即可.另外,对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的 隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定. 角度二:全称命题、特称命题的真假判断 [典题 3] (1)下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x 1>0


)

B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x0∈R,ln x0<1 D.?x0∈R,tan x0=2 4 1 (2)已知命题 p:?x>0,x+ ≥4;命题 q:?x0∈(0,+∞),2x0= ,则下列判断正确的 x 2 是( ) A.p 是假命题 B.q 是真命题

C.p∧(綈 q)是真命题 D.(綈 p)∧q 是真命题

[听前试做] (1)因为 2x 1>0,对?x∈R 恒成立,所以 A 是真命题;当 x=1 时,(x-1)2


=0,所以 B 是假命题;存在 0<x0<e,使得 ln x0<1,所以 C 是真命题;因为正切函数 y=tan x 的值域是 R,所以 D 是真命题. 4 (2)当 x>0 时,x+ ≥2 x 4 x· =4,p 是真命题;当 x>0 时,2x>1,q 是假命题,所以 p∧ x

(綈 q)是真命题,(綈 p)∧q 是假命题. 答案:(1)B (2)C

1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成 立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p(x0)不 成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立 即可,否则这一特称命题就是假命题.

[典题 4] 已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y= 2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p∨q 是真命题,则实数 a 的取值范围是________. [听前试做] 若命题 p 是真命题,则 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;若命题 q 是真 a 命题,则- ≤3,即 a≥-12. 4 因为 p 或 q 是真命题,所以 a∈R,即 a 的取值范围是(-∞,+∞). 答案:(-∞,+∞) [探究 1] 在本例条件下,若 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:∵p∧q 为真,∴p 和 q 均为真, ∴a 的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞). [探究 2] 在本例条件下,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 解:由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a< -12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). [探究 3] 在本例条件下,若綈 p 为真命题,求实数 a 的取值范围.

解:∵綈 p 为真命题,∴p 为假命题,

故 Δ=a2-16<0,即-4<a<4. 即实数 a 的取值范围是(-4,4).

以命题真假为依据求参数的取值范围时, 首先要对两个简单命题进行化简, 然后依据“p ∧q”“p∨q”“綈 p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.

1.已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”;命题 q:“?x0∈R,使得 x2 0+4x0+a=0”.若 命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围为________. 解析:若命题“p∧q”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题. 由?x∈[0,1],a≥ex,得 a≥e;
2 由?x0∈R,使 x0 +4x0+a=0,

知 Δ=16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 则实数 a 的取值范围为[e,4]. 答案:[e,4] 2.(2016· 昆明模拟)由命题“存在 x0∈R,使 x2 0+2x0+m≤0”是假命题,求得 m 的取值 范围是(a,+∞),则实数 a 的值是________.
2 解析:∵命题“存在 x0∈R,使 x2 0+2x0+m≤0”是假命题,∴命题“?x∈R,x +2x+

m>0”是真命题,故 Δ=22-4m<0,即 m>1,故 a=1. 答案:1 —————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1. 含有逻辑联结词的命题真假判断口诀: p∨q→见真即真, p∧q→见假即假, p 与綈 p→ 真假相反. 2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,否 定的规律是“改量词,否结论”. 3.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真 假. [易错防范] 1.注意区分命题的否定与否命题的不同. “否命题”是对原命题“若 p, 则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题, 它既否 定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 2.由于全称量词经常省略,因此,在写这类命题的否定时,应先确定其中的全称量词,

再否定量词和结论. 3.“p∨q”的否定是“(綈 p)∧(綈 q)”;“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”.

[全盘巩固] 一、选择题 1.(2016· 开封模拟)已知命题 p:?x>0,x3>0,那么綈 p 是( A.?x0≤0,x3 0≤0 C.?x0>0,x3 0≤0 解析:选 C 改成“≤”. 2.(2015· 浙江高考)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是( A.?n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0 解析:选 D 写全称命题的否定时,要把量词?改为?,并且否定结论,注意把“且” 改为“或”. 3.命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( A.p 或 q C.q B.p 且 q D.綈 p ) ) B.?x>0,x3≤0 D.?x<0,x3≤0 )

全称命题的否定为特称命题,所以应将“?”改成“?”,结论中的“>”

π 5π 解析:选 B 取 x= ,y= ,可知命题 p 不正确;由(x-y)2≥0 恒成立,可知命题 q 正 3 6 确,故綈 p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题. 4.下列命题中,真命题是( A.?x∈R,-x2-1<0
2 B.?x0∈R,x0 +x0=-1

)

1 C.?x∈R,x2-x+ >0 4 D.?x0∈R,x2 0+2x0+2<0 1 解析:选 A A 真;由 x2+x=-1 无解,所以 x2 B 假;由 x2-x+ = 0+x0=-1 不成立, 4

2 ?x-1?2≥0,C 假;x2 0+2x0+2=(x0+1) +1>0,D 假. ? 2?

5.如果命题“p 且 q”是假命题,“綈 p”也是假命题,则(

)

A.命题“綈 p 或 q”是假命题 B.命题“p 或 q”是假命题 C.命题“綈 p 且 q”是真命题

D.命题“p 且綈 q”是假命题

解析:选 A 由“綈 p”是假命题可得 p 为真命题.因为“p 且 q”是假命题,所以 q 为

假命题.所以命题“綈 p 或 q”是假命题,即 A 正确;“p 或 q”是真命题,即 B 错误;

“綈 p 且 q”是假命题,C 错误;“p 且綈 q”是真命题,即 D 错误. 6.(2016· 商丘模拟)已知命题 p:函数 y=ax 1+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(-1,2);命


题 q:已知平面 α∥平面 β,则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件.则下列命题为真命题的 是( ) A.p∧q B.(綈 p)∧(綈 q)

C.(綈 p)∧q D.p∧(綈 q) 解析:选 D 由指数函数恒过点(0,1)知,函数 y=ax 1+1 是由 y=ax 先向左平移 1 个单


位,再向上平移 1 个单位得到.所以函数 y=ax 1+1 恒过点(-1,2),故命题 p 为真命题;命


题 q:m 与 β 的位置关系也可能是 m?β,故 q 是假命题.所以 p∧(綈 q)为真命题. 7.若命题“?x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,3] B.(-1,3) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
2 解析:选 D 因为命题“?x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”等价于 x0+(a-1)x0+1=0 有两

)

个不等的实根,所以 Δ=(a-1)2-4>0,即 a2-2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3. 8.已知命题 p:?x0∈R,使 sin x0= 5 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列 2

结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命题;③命题“(綈 p)∨q”是真

命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题,其中正确的命题是( A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③ 解析:选 A ∵

)

1?2 3 3 5 >1,∴命题 p 是假命题,又∵x2+x+1=? ?x+2? +4≥4>0,∴命题 q 2

是真命题,由命题真假的真值表可以判断②③正确. 二、填空题 9.命题“?x∈R,cos x≤1”的否定是________. 答案:?x0∈R,cos x0>1 π 0, ?, tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为 10 . (2015· 山东高考 ) 若“? x ∈? ? 4? ________. π? ? π? 解析:由题意,原命题等价于 tan x≤m 在区间? ?0,4?上恒成立,即 y=tan x 在?0,4?上 π? 的最大值小于或等于 m,又 y=tan x 在? ?0,4?上的最大值为 1,所以 m≥1,即 m 的最小值为 1. 答案:1 11.已知下列结论: ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“綈 p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件, 其中正确的是________(只填序号). 解析:p∧q 为真时,p,q 均为真, 此时 p∨q 一定为真, 而 p∨q 为真时只要 p,q 至少有一个为真即可, 故“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件,结论①正确; p∧q 为假,可能 p,q 均假,此时 p∨q 为假,结论②不正确;

綈 p 为真时,p 假,此时 p∧q 一定为假,条件是充分的,但在 p∧q 为假时,可能 p 真,

此时綈 p 为假,

故“綈 p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,结论③不正确. 答案:① 12.已知命题 p:函数 y=(c-1)x+1 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 x2-x+c≤0 的 解集是?.若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是________. 解析:要使函数 y=(c-1)x+1 在 R 上单调递增, 则 c-1>0,解得 c>1. 所以 p:c>1. 因为不等式 x2-x+c≤0 的解集是?, 所以判别式 Δ=1-4c<0, 1 1 解得 c> ,即 q:c> . 4 4 因为 p 且 q 为真命题,所以 p,q 同为真, 1 即 c> 且 c>1.解得 c>1. 4 所以实数 c 的取值范围是(1,+∞). 答案:(1,+∞) [冲击名校] π? 1.已知命题 p:?x0∈R,2x0>3x0;命题 q:?x∈? ?0,2?,tan x>sin x,则下列是真命题 的是( )

A.(綈 p)∧q B.(綈 p)∨(綈 q)

C.p∧(綈 q) D.p∨(綈 q) π? - - 解析:选 D 当 x=-1 时,2 1>3 1,所以 p 为真命题;当 x∈? ?0,2?时,tan x-sin x= sin x?1-cos x? >0,所以 q 为真命题,所以 p∨(綈 q)为真命题. cos x 2.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sin x 恒成立;

②命题“若 x-sin x=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x-sin x≠0”; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件; ④命题“?x∈R,x-ln x>0”的否定是“?x0∈R,x0-ln x0≤0”. 其中正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 C 设 F(x)=x-sin x,则 F′(x)=1-cos x≥0,所以 F(x)>F(0)=0,故①正确; 由逆否命题的定义知②正确;由 p∨q 为真,不一定推出 p∧q 为真,反之一定成立,故③应 是必要不充分条件,所以③错误;全称命题的否定为存在命题且否定结论,故④正确. 3.下列四个命题, 1? ?1? p1:?x0∈(0,+∞),? ?2?x0<?3?x0; 1 1 p2:?x0∈(0,1),log x0>log x0; 2 3 1?x 1 p3:?x∈(0,+∞),? ?2? >log2x; 1? ?1?x 1 p4:?x∈? ?0,3?,?2? <log3x. 其中的真命题是( )

A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 1?x 1 ?1?x 解析:选 D 数形结合,在平面直角坐标系中作出函数 y1=? ?2? ,y2=?3? ,y3=log2x, 1?x 1 y4=log x 的图象,如图所示.由图象可知,当 x∈(0,+∞)时,函数 y1=? ?2? 的图象始终在 3 1?x ?1?x ?1?x 函数 y2=? ?3? 的图象的上方,即?2? >?3? 恒成立,故 p1 为假命题;当 x∈(0,1)时,函数 y3= 1 1 1 1 log x 的图象始终在函数 y4=log x 的图象的上方,故?x0∈(0,1),log x0>log x0,故 p2 为真 2 3 2 3 1?1 1 2 11 ? 1? 命题;当 x= 时,? ?2?2= 2 <1,log22=1,故 p3 为假命题;由图象可知当 x∈?0,3?时,函 2 1?x 1 数 y1=? ?2? 的图象始终在函数 y4=log3x 的图象的下方,故 p4 为真命题.综上可知 p2,p4 为 真命题.

4.已知函数 f(x)=x2+mx+1,若命题“?x0>0,f(x0)<0”为真,则 m 的取值范围是 ________. 解析:因为函数 f(x)=x2+mx+1 的图象过点(0,1),若命题“?x0>0,f(x0)<0”为真,则 函数 f(x)=x2+mx+1 的图象的对称轴必在 y 轴的右侧,且与 x 轴有两个交点,所以 Δ=m2- m 4>0,且- >0,即 m<-2,所以 m 的取值范围是(-∞,-2). 2 答案:(-∞,-2) 5.设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x2+x>2+ax 在 x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 2 解析:对于命题 p:Δ<0 且 a>0,故 a>2;对于命题 q:a>2x- +1 在 x∈(-∞,-1)上 x 2 ? 2 恒成立,又函数 y=2x- +1 为增函数,所以? ?2x-x+1?<1,故 a≥1,命题“p∨q”为真命 x 题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2. 答案:[1,2]

考点一:集 合 1. (2015· 新课标全国卷Ⅱ)已知集合 A={-2, -1,0,1,2}, B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B =( ) A.{-1,0} B.{0,1}

C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 解析:选 A 由题意知 B={x|-2<x<1},所以 A∩B={-1,0}. 2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B =( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)

解析:选 A A={x|x≤-1 或 x≥3},故 A∩B=[-2,-1],选 A. 3. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4}, B ={x|x=n2, n∈A}, 则 A∩B=( A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 解析:选 A n=1,2,3,4 时,x=1,4,9,16,∴集合 B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}. 4.(2012· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 ) )

C.8 D.10 解析:选 D 列举得集合 B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3), (5,4)},共含有 10 个元素. 5.(2015· 浙江高考)已知集合 P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 解析:选 C 由 x2-2x≥0,得 x≤0 或 x≥2,即 P={x|x≤0 或 x≥2},所以?RP={x|0< x<2}=(0,2). 又 Q={x|1<x≤2}=(1,2],所以(?RP)∩Q=(1,2). 6. (2014· 辽宁高考)已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} ) )

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 解析:选 D A∪B={x|x≤0 或 x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}. 考点二:充分、必要条件 1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x) 在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( )

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:选 C 设 f(x)=x3,f′(0)=0,但是 f(x)是单调增函数,在 x=0 处不存在极值,故 若 p 则 q 是一个假命题,由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题.故选 C. 2.(2015· 湖南高考)设 x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 由于函数 f(x)=x3 在 R 上为增函数,所以当 x>1 时,x3>1 成立,反过来, 当 x3>1 时,x>1 也成立.因此“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选 C. 3.(2015· 安徽高考)设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的( A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

解析:选 C 将 p,q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示,易知,当 p 成立时,q 不 一定成立;当 q 成立时,p 一定成立,故 p 是 q 成立的必要不充分条件.

4. (2015· 北京高考)设 α, β 是两个不同的平面, m 是直线且 m?α, “m∥β ”是“α∥β ” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交,因而 m∥β?/ α∥β; 当 α∥β 时,α 内任一直线与 β 平行,因为 m?α,所以 m∥β.综上知,“m∥β ”是“α∥β ” 的必要而不充分条件. 5.(2014· 福建高考)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 1 是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 A 若 k=1,则直线 l:y=x+1 与圆相交于(0,1),(-1,0)两点,所以△OAB 的 1 1 1 1 面积 S△OAB= ×1×1= ,所以“k=1”?“△OAB 的面积为 ”;若△OAB 的面积为 ,则 2 2 2 2 1 k=± 1,所以“△OAB 的面积为 ” 2 分而不必要条件,故选 A. 考点三:四种命题及其关系 (2015· 浙江高考)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中 card(A)表示有限集 A 中元素的个数, 命题①:对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).( A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 ) 1 “k=1”,所以“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充 2 )

解析:选 A 命题①成立,若 A≠B,则 card(A∪B)>card(A∩B),所以 d(A,B)=card(A ∪B)-card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推, 故“A≠B”是“d(A, B)>0”的充分必要条 件; 命题②成立,由 Venn 图,知 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C), d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C), ∴d(A,B)+d(B,C)-d(A,C) =card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C) -2card(B∩C)-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)] =2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C) =2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)] ≥2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)] =[2card(B)-2card((A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)]≥0, ∴d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得证. 考点四:含逻辑联结词的命题 (2014· 辽宁高考)设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0; 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q B.p∧q )

C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 解析:选 A 如图,若 a= ,b= ,c= ,则 a· c≠0,命题 p 为假命题;显然命

题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题.故选 A.

考点五:全称量词与存在量词 1.(2015· 湖北高考)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x∈/(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.?x0∈/(0,+∞),ln x0=x0-1 解析:选 A 改变原命题中的三个地方即可得其否定,?改为?,x0 改为 x,否定结论, 即 ln x≠x-1,故选 A. 2.(2014· 湖北高考)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( ) )

A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x 解析:选 D 全称命题的否定是特称命题:?x∈R,x2=x.


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第一章集合与常用逻辑用语

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一轮复习第一章集合与常用逻辑用语

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