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人教A版数学必修二第四章第三课时同步练习4.2.1直线与圆的位置关系

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§4.2.1 直线与圆的位置关系
1. 圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 上与直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) )

2. 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是( B. 1

? 2 C. 2 ?

A. 2

2 2

D. 1 ? 2 2

3. 过圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? my ? 0 上一点 P(1,1) 的圆的切线方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0



D. x ? 2 y ? 1 ? 0

4. 已知点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所 在的直线,若直线 n 的方程为 ax ? by ? r 2 ,则( A. m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 C. m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离
2 2



B. m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 D. m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离

5. 过圆 x ? y ? 4 上一点 (1, 3) 的圆的切线方程________________. 6. 自点 A(2, 2) 作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线 l ,切线 l 的方程为_______________. 7. 从圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 外一点 P(2,3) 向圆引切线,切线长是________. 8.已知圆 x ? y ? 2 ,与该圆相切且在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方
2 2

程_____________________. 9.若直线 y ? x ? b 与 y ?

4 ? x 2 有两个不同的交点,实数 b 的取值范围____________.

10. 已知圆 C 的圆心与点 P (?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称, 直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为
2 2

_____



11. 求直线 4 x ? 3 y ? 40 和圆 x ? y ? 100 的公共点坐标,并判断它们的位置关系.

12. 自点 A(?1, 4) 作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线 l ,求切线 l 的方程.

13. 求直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长.
2 2

14. 已知圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , 求与该圆相切且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 l 的 方程.

15. 若直线 y ? x ? b 与 x ?

4 ? y 2 恰有一个公共点,求实数 b 的取值范围.

参考答案解析
1. C 2.B 3. D 4. A 6. 答案: y ? 2 . 8.答案: y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 10.答案: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 18 5. 答案: x ? 3 y ? 4 . 7. 答案: 2 . 9.答案: 2 ? b ? 2 2 .

11. 分析:直线方程和圆的方程联立方程组即可 【解】直线 4 x ? 3 y ? 40 和圆 x2 ? y 2 ? 100 的公共点坐标就是方程组

?4 x ? 3 y ? 40 的解. ? 2 2 ? x ? y ? 100
? x1 ? 10, 解这个方程组,得 ? ? y1 ? 0,

14 ? x2 ? , ? ? 5 ? ? y ? 48 . 2 ? 5 ?

所以公共点坐标为 (10, 0), (

14 48 , ). 5 5

直线 4 x ? 3 y ? 40 和圆 x2 ? y 2 ? 100 有两个公共点,所以直线和圆相交. 12.【解】法 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l : x ? ?1 与圆相离,不满足条件 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程为

y ? 4 ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? (k ? 4) ? 0
如图,因为直线与圆相切, 所以圆心 (2,3) 到直线 l 的距离等于圆的半径,



2k ? 3 ? ( k ? 4) k ?1
2

3 ? 1 解得 k ? 0 或 k ? ? . 4

因此,所求直线 l 的方程是 y ? 4 或 3x ? 4 y ? 13 ? 0 法 2:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l : x ? ?1 与圆相离,不满足条件. 当直线 l 不垂直于 x 轴时, 可设直线 l 的方程为 y ? 4 ? k ( x ? 1), 由于直线 l 与圆相切,所以

方程组 ?

? y ? 4 ? k ( x ? 1),

2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 由方程组消去 y ,得关于 x 的一元二次方程

仅有一组解.

(1 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 2k ? 4) x ? k 2 ? 2k ? 4 ? 0 ,因为一元二次方程有两个相等实根,所以
判别式 ? ? (2k 2 ? 2k ? 4)2 ? 4(1? k 2 )(k 2 ? 2 解得 k ? 0 或 k ? ? k ? 4) ? 0 直线 l 的方程是 y ? 4 或 3x ? 4 y ? 13 ? 0 .

3 因此,所求 4

点评:该题用待定系数法先设直线方程,应注意直线的斜率是否存在的问题.本题给出了 两种解法,可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多. 13. 分析: 可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题 【解】法 1:如图,设直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点,弦 AB 的中
2 2

点为 M ,则 OM ? AB ( O 为坐标原点) , 所以 OM ?

0?0?2 3 12 ? (? 3)2

? 3,

所以 AB ? 2 AM ? 2 OA2 ? OM 2

? 2 22 ? ( 3) 2 ? 2 .

法 2: 直 线 x ? 3 y ? 2

3 ?

和 0 圆 x ?y ?4 的 公 共 点 坐 标 就 是 方 程 组
2 2

? ? x ? 3 y ? 2 3 ? 0, 的解 ? 2 2 x ? y ? 4 ? ?
解得 ?

? x1 ? ? 3, ? x2 ? 0, ? ? ? ? y2 ? 2. ? y1 ? 1,

所以公共点坐标为 (? 3,1),(0, 2), 直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4
2 2

截得的弦长为 (? 3 ? 0) ? (1 ? 2) ? 2
2 2

14. 【解】由题意设切线 l 与 x 轴和 y 轴的截距为 a , b ,则 a ? b ① a ? 0 时,设 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? a ? 0 , a a

因为直线和圆相切,所以圆心 (2,3) 到直线 l 的距离等于圆的半径,故

2?3? a 2

? 1, 解得 a ? 5 ? 2 或 a ? 5 ? 2

所以 l 的方程为 x ? y ? (5 ? 2) ? 0 或 x ? y ? (5 ? 2) ? 0 ② a ? 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0

所以

2k ? 3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

6?2 3 6?2 3 或k ? 3 3

所以 l 的方程为 (6+2 3) x ? 3 y ? 0 或 (6-2 3) x ? 3 y ? 0 综上所述: l 的方程为 x ? y ? (5 ? 2) ? 0或 x ? y ? (5 ? 2) ? 0 或 (6+2 3) x ? 3 y ? 0 或

(6-2 3) x ? 3 y ? 0 .
点评:本题较为复杂,要讨论的情况比较多,解题过程中要注重分析.

15. 分析:由题意 x ?

4 ? y 2 可化为 x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) 表示一个右半圆,如图所示,

对于 y ? x ? b 当 b 变化时所得的直线是互相平行的,由图可知 l1 与半圆有一个交点

l2 与半圆正好有两个交点,所以位于 l1 和 l2 之间的直线都与半圆只有一个交点,另外 l3 与
半圆相切也符合题意 【解】由题意 x ?

4 ? y 2 可化为 x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0)

表示一个右半圆,如图所示 直线 l1 的方程为: y ? x ? 2 ,

直线 l2 的方程为: y ? x ? 2 , 因为直线 l3 与半圆相切, 所以

b 2

? 2 ,解得 b ? 2 2

所以直线 l3 的方程为: y ? x ? 2 2 , 由图可知位于 l1 和 l2 之间的直线都与半圆只有一个交点,且 l3 与半圆相切, 所以实数 b 的取值范围为:

?2 ? b ? 2 或 b ? 2 2
点评:本题应用数形结合的方法去解题.

思维点拔:
在解决直线与圆的位置关系的问题时,我们通常采用“几何法” .例如,求与圆相切的直 线方程时,先用待定系数法设出直线方程,然后根据 d ? r 即可求得.这种数形结合的思 想贯穿了整个章节.


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