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黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一上学期10月段考数学试卷


黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月段考 数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则(?RS)∪T=() A.(﹣2,1] B.(﹣∞,﹣4] C.(﹣∞,1] 2.函数 y= A. (﹣ 的定义域为() B. D. C. D.[1,+∞)

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3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e
﹣x

C.y=﹣x +1

2

D.y=lg|x|

4.函数 f(x)= A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

5.已知函数 f(x)=

,若 f[f(0)]=4a,则实数 a 等于()

A.

B.

C. 2

D.9

6. 若函数 y=f (x) 为偶函数, 且在 (0, +∞) 上是减函数, 又( f 3) =0, 则 的解集为() A.(﹣3,3) +∞)

B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) C. (﹣3,0)∪(3, D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)
x

7.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 ﹣4(x≥0) ,则{x|f(x﹣2)>0}=() A.{x|x<﹣2 或 x>4}B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<﹣2 或 x>2} 8.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)=()
x

A.e ﹣e

x

﹣x

B. (e +e )
0.7 0.9 0.8

x

﹣x

C. (e ﹣e )

﹣x

x

D. (e ﹣e )

x

﹣x

9.已知 a=0.7 ,b=0.7 ,c=1.1 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 10.函数 f(x)=x ﹣2x+3 在区间[0,a]上的最大值为 3,最小值为 2,则实数 a 的取值范围 为() A.(﹣∞,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[1,2]
2

11.f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

() A.(1,+∞)

B.[4,8)
3

C.(4,8)

D.(1,8)

12.已知函数 f(x)=﹣3x ﹣5x+3,若 f(a)+f(a﹣2)>6,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(1,+∞) D.(3,+∞)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣3)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间为. 14.已知函数 f(x)= 的定义域为 R,则实数 k 的单调递减区间为.
2

15.关于 x 的方程 .
3

有负根,则 a 的取值范围是

16.已知 f(x)= x +x 函数,则不等式 f(2﹣x )+f(2x+1)>0 的解集是.

2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},求 A∩B, (?UA)∪B, A∩(?UB) . 18.已知集合 A={x|(x﹣2) (x﹣3a﹣1)<0},B= 取值范围. 19.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . 若 A∩B=A,求实数 a 的

(Ⅰ)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 20.若集合 A={y|y ﹣(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y= x ﹣x+ ,0≤x≤3} (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x +1≥ax 恒成立的最小值时,求(CRA)∩B.
2 2 2 2 2

21.已知函数 f(x)=

是奇函数,

(1)求实数 a 的值 (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并用定义加以证明. 22.设二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(﹣1)=0,对于任意的实数 x 都有 f(x)﹣x≥0, 并且当 x∈(0,2)时,f(x)≤ .
2

(1)求 f(1)的值; (2)求证:a>0,c>0; (3)当 x∈(﹣1,1)时,函数 g(x)=f(x)﹣mx,m∈R 是单调的,求 m 的取值范围.

黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月段考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则(?RS)∪T=() A.(﹣2,1] B.(﹣∞,﹣4] C.(﹣∞,1] D.[1,+∞)

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 S 的补集,再与 T 求补集. 解答: 解:因为集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则?RS={x|x≤﹣2}, 所以(?RS)∪T={x|x≤1}; 故选 C. 点评: 本题考查了集合的补集、补集的运算,属于基础题. 2.函数 y= 的定义域为()

A.

(﹣

B. D.

C.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 两个被开方数都需大于等于 0;列出不等式组,求出定义域. 解答: 解:要使函数有意义,需 解得 , ,

故选 B. 点评: 本题考查求函数的定义域时, 当函数解析式有开偶次方根的部分, 需使被开方数大 于等于 0.注意:定义域的形式是集合或区间. 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e
﹣x

C.y=﹣x +1

2

D.y=lg|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间(0,+∞)上的单调性,从而得出 结论. 解答: 解:对于 A.由于 y= 定义域[﹣1,+∞)不关于原点对称,不是偶函数,故 排除 A; 对于 B.函数是指数函数,不是偶函数,故 B 不满足条件; 2 对于 C.定义域为 R,f(﹣x)=﹣(﹣x) +1=f(x) ,满足 f(﹣x)=f(x) ,是偶函数, 由二次函数的性质可得(0,+∞)上递减,故 C 正确; 对于 D.f(x)=lg|x|是偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递增,故排除 D. 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,属于中档题.

4.函数 f(x)= A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 考点: 专题: 分析: 解答:

的图象() B. 关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

奇偶函数图象的对称性;函数的图象与图象变化. 计算题;函数的性质及应用. 要判断函数的图象的对称性,只要先判断函数的奇偶性即可 解:函数的定义域{x|x≠0}

∵f(x)=

∴f(﹣x)=

=

=f(x)

则函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 B 点评: 本题主要考查了偶函数的判断及偶函数的图象的性质的简单应用,属于基础试题

5.已知函数 f(x)=

,若 f[f(0)]=4a,则实数 a 等于()

A.

B.

C. 2

D.9

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f(0)=2,再令 f(2)=4a,解方程 4+2a=4a,得 a 值. 解答: 解:由题知 f(0)=2,f(2)=4+2a,由 4+2a=4a,解得 a=2. 故选 C. 点评: 此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函 数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解. 6. 若函数 y=f (x) 为偶函数, 且在 (0, +∞) 上是减函数, 又( f 3) =0, 则 的解集为() A.(﹣3,3) +∞)

B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) C. (﹣3,0)∪(3, D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性将不等式进行化简,然后利用函数的单调性确定不等式的解集. 解答: 解:因为 y=f(x)为偶函数,所以 ,

所以不等式等价为



因为函数 y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又 f(3)=0, 所以解得 x>3 或﹣3<x<0, 即不等式的解集为(﹣3,0)∪(3,+∞) . 故选 C.

点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用数形结合的思想是解决本题的关键. 7.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 ﹣4(x≥0) ,则{x|f(x﹣2)>0}=() A.{x|x<﹣2 或 x>4}B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<﹣2 或 x>2} 考点: 偶函数;其他不等式的解法. 专题: 计算题. x |x| 分析: 由偶函数 f(x)满足 f(x)=2 ﹣4(x≥0) ,可得 f(x)=f(|x|)=2 ﹣4,根据偶 函数的性质将函数转化为绝对值函数,再求解不等式,可得答案. x |x| 解答: 解:由偶函数 f(x)满足 f(x)=2 ﹣4(x≥0) ,可得 f(x)=f(|x|)=2 ﹣4, |x﹣2| |x﹣2| 则 f(x﹣2)=f(|x﹣2|)=2 ﹣4,要使 f(|x﹣2|)>0,只需 2 ﹣4>0,|x﹣2|>2 解得 x>4,或 x<0. 应选:B. 点评: 本题主要考查偶函数性质、 不等式的解法以及相应的运算能力, 解答本题的关键是 利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,从而简化计算. 8.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)=() A.e ﹣e
x
﹣x

x

x

B. (e +e )

x

﹣x

C. (e ﹣e )

﹣x

x

D. (e ﹣e )

x

﹣x

考点: 偶函数;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 专题: 计算题. x 分析: 根据已知中定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e , 根据奇函数和偶函数的性质,我们易得到关于 f(x) 、g(x)的另一个方程:f(﹣x)+g(﹣ x)=e ,解方程组即可得到 g(x)的解析式. 解答: 解:∵f(x)为定义在 R 上的偶函数 ∴f(﹣x)=f(x) 又∵g(x)为定义在 R 上的奇函数 g(﹣x)=﹣g(x) x 由 f(x)+g(x)=e ,
﹣x

∴f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x)=e , ∴g(x)= (e ﹣e ) 故选:D 点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法, 及函数奇偶性的性质, 其中 根据函数奇偶性的定义构造出关于关于 f(x) 、g(x)的另一个方程:f(﹣x)+g(﹣x)=e
﹣x

﹣x

x

﹣x

,是解答本题的关键.
0.7 0.9 0.8

9.已知 a=0.7 ,b=0.7 ,c=1.1 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 考点: 指数函数的图像与性质;不等关系与不等式. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数的单调性及特殊点的函数值即可比较 a,b,c 的大小关系. x 解答: 解:∵y=0.7 为减函数, 0 0.7 0.9 ∴1=0.7 >0.7 >0.7 >0, 即 1>a>b>0; 同理 1.1 >1.1 =1,即 c>1, ∴c>a>b. 故选 A. 点评: 本题考查指数函数的单调性及特殊点的函数值, 考查不等关系与不等式, 属于中档 题. 10.函数 f(x)=x ﹣2x+3 在区间[0,a]上的最大值为 3,最小值为 2,则实数 a 的取值范围 为() A.(﹣∞,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[1,2] 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: f(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2,由二次函数的性质求实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2, 又∵f(1)=2,f(0)=f(2)=3, 则 a∈[1,2]. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的性质,属于基础题.
2 0.8 0

11.f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

() A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

考点: 函数单调性的判断与证明.

专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据当 x≤1 时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再根据 当 x>1 时,f(x)=a 为增函数,可得底数大于 1,最后当 x=1 时,函数对应于一次函数的 取值要小于指数函数的取值.综合,可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≤1 时,f(x)=(4﹣ )x+2 为增函数 ∴4﹣ >0?a<8 又∵当 x>1 时,f(x)=a 为增函数 ∴a>1 同时,当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 ∴(4﹣ )×1+2≤a =a?a≥4 综上所述,4≤a<8 故选 B 点评: 本题以分段函数为例, 考查了函数的单调性、 基本初等函数等概念, 属于基础题. 解 题时,应该注意在间断点处函数值的大小比较. 12.已知函数 f(x)=﹣3x ﹣5x+3,若 f(a)+f(a﹣2)>6,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(1,+∞) D.(3,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由函数的解析式,算出 f(﹣x)+f(x)=6 对任意的 x 均成立.因此原不等式等价 于 f(a﹣2)>f(﹣a) ,再利用导数证出 f(x)是 R 上的单调减函数,可得原不等式即 a﹣ 2<﹣a,由此即可解出实数 a 的取值范围. 3 解答: 解:∵f(x)=﹣3x ﹣5x+3, 3 ∴f(﹣x)=3x 5x+3,可得 f(﹣x)+f(x)=6 对任意的 x 均成立 因此不等式 f(a)+f(a﹣2)>6,即 f(a﹣2)>6﹣f(a) , 等价于 f(a﹣2)>f(﹣a) ∵f'(x)=﹣9x ﹣5<0 恒成立 ∴f(x)是 R 上的单调减函数, 所以由 f(a﹣2)>f(﹣a)得到 a﹣2<﹣a,即 a<1 故选:A 点评: 本题给出多项式函数, 求解关于 a 的不等式, 着重考查了利用导数研究函数的单调 性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识,属于基础题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 13.已知 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣3)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间为(﹣∞,0) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数的定义 f(﹣x)=f(x) ,解出 k 的值,化简 f(x)的解析式,通过解 析式求出 f(x)的递减区间.
2 3 1 x x

解答: 解:∵函数 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣3)x+3 是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 (k﹣2)x ﹣(k﹣3)x+3=(k﹣2)x +(k﹣3)x+3, ∴k=3, 2 ∴f(x)=x +3,f(x)的递减区间是(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题考查偶函数的定义及二次函数的单调性、单调区间的求法. 14.已知函数 f(x)= 的定义域为 R,则实数 k 的单调递减区间为[0,1].
2 2

2

考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:0≤k≤1, 故答案为:[0,1]. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查二次函数的性质,二次根式的性质,是一道基 础题. 15.关于 x 的方程 ﹣3<a<1. 考点: 根的存在性及根的个数判断;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 把方程有负根转化为 0<5 <1,再利用 解答: 解:因为关于 x 的方程 即 ?﹣3<a<1 故答案为:﹣3<a<1. 点评: 本题在解题中用了数学上的转化思想.很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中 得以解决.
3 2 x

有负根,则 a 的取值范围是

解得 a 的取值范围.
x

有负根,即 x<0,∴0<5 <1

16.已知 f(x)= x +x 函数,则不等式 f(2﹣x )+f(2x+1)>0 的解集是(﹣1,3) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用.

分析: 可以判断函数为奇函数,利用导数判断函数为增函数,不等式 f(2﹣x )+f(2x+1) 2 >0?2x+1>x ﹣2 解得即可. 解答: 解:∵f(x)= x +x, ∴f(﹣x)=﹣ x ﹣x=﹣f(x) , ∴f(x)= x +x 是奇函数, 又∵f′(x)=x +1>0, ∴f(x)= x +x 在 R 上是增函数, ∴f(2﹣x )+f(2x+1)>0 2 ?f(2x+1)>﹣f(2﹣x ) 2 ?f(2x+1)>f(x ﹣2) 2 ?2x+1>x ﹣2 2 ?x ﹣2x﹣3<0 ?(x﹣3) (x+1)<0 ?﹣1<x<3 2 ∴不等式 f(2﹣x )+f(2x+1)>0 的解集是(﹣1,3) . 故答案为(﹣1,3) . 点评: 本题主要考查函数的单调性奇偶性的判断及应用,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},求 A∩B, (?UA)∪B, A∩(?UB) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},求出 CUA,CUB,由此 能求出 A∩B, (?UA)∪B,A∩(?UB) .画数轴是最直观的方法. 解答: 解:如图所示,
2 3 2 3 3 3

2

∵A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2}, ∴?UA={x|x≤﹣2,或 3≤x≤4},?UB={x|x<﹣3,或 2<x≤4}. 故 A∩B={x|﹣2<x≤2}, (?UA)∪B={x|x≤2,或 3≤x≤4},A∩(?UB)={x|2<x<3}. 点评: 本题属于以不等式为依托,求集合的交集补集的基础题,也是 2015 届高考常会考 的题型. 18.已知集合 A={x|(x﹣2) (x﹣3a﹣1)<0}, B= 的取值范围. 若 A∩B=A,求实数 a

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,根据 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集, 分类讨论 a 的范围确定出 A 中不等式的解集,即可确定出满足题意 a 的范围. 解答: 解:由 B 中不等式解得:﹣1≤x<5,即 B=[﹣1,5) , ∵A∩B=A,∴A?B, 由 A 中的不等式(x﹣2) (x﹣3a﹣1)<0, 当 a< ,即 3a+1<2 时,解得:3a+1<x<2,

此时有

,即﹣ ≤a< ;

当 a= 时,A=?,满足题意; 当 a> ,即 3a+1>2 时,解得:2<x<3a+1,

此时有

,即 <a≤ ,

综上,a 的取值范围为[﹣ , ]. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 19.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . (Ⅰ)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)f(x)为二次函数且二次项系数为 a,把不等式 f(x)>﹣2x 变形为 f(x) +2x>0 因为它的解集为(1,3) ,则可设 f(x)+2x=a(x﹣1) (x﹣3)且 a<0,解出 f(x) ; 又因为方程 f (x) +6a=0 有两个相等的根, 利用根的判别式解出 a 的值得出 f (x) 即可; (Ⅱ) 因为 f(x)为开口向下的抛物线,利用公式当 x= 时,最大值为

=

.和 a<0 联立组成不等式组,求出解集即可.

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3) .f(x)+2x=a(x﹣1) (x﹣3) ,且 a 2 <0.因而 f(x)=a(x﹣1) (x﹣3)﹣2x=ax ﹣(2+4a)x+3a.① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax ﹣(2+4a)x+9a=0.② 2 因为方程②有两个相等的根,所以△ =[﹣(2+4a)] ﹣4a?9a=0, 即 5a ﹣4a﹣1=0.解得 a=1 或 a=﹣ .
2

由于 a<0,a=﹣ ,舍去,故 a=﹣ . 将 a=﹣ 代入①得 f(x)的解析式 (Ⅱ)由 及 a<0,可得 f(x)的最大值为 .就 .



解得 a<﹣2﹣

或﹣2+

<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 . 点评: 考查学生函数与方程的综合运用能力.
2 2 2 2

20.若集合 A={y|y ﹣(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y= x ﹣x+ ,0≤x≤3} (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; 2 (2)当 a 取使不等式 x +1≥ax 恒成立的最小值时,求(CRA)∩B. 考点: 函数的值域;交、并、补集的混合运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 解一元二次不等式求出集合 A 和集合 B, 由 A∩B=?, 可得集合的端点满足 a≤2 且 a +1≥4,由此求得 实数 a 的取值范围. (2)由条件判断 a=﹣2,求出 CRA,即可求得(CRA)∩B. 2 2 2 2 解答: 解: (1)∵集合 A={y|y ﹣(a +a+1)y+a(a +1)>0}={y|(y﹣a) (y﹣a ﹣1)> 0} ={y|y<a,或 y>a +1}, B={y|y= x ﹣x+ ,0≤x≤3}={y|y= (x﹣1) +2,0≤x≤3}={y|2≤y≤4}. 由 A∩B=?, 2 ∴a≤2 且 a +1≥4,解得 ≤a≤2,或 a≤﹣ , 故实数 a 的取值范围为[ ,2]∪(﹣∞,﹣ ]. 2 2 (2)使不等式 x +1≥ax 恒成立时,由判别式△ =a ﹣4≤0,解得﹣2≤a≤2, 2 故当 a 取使不等式 x +1≥ax 恒成立的最小值时,a=﹣2. 2 由(1)可得 CRA={y|a≤y≤a +1 }={y|﹣2≤y≤5},B={y|2≤y≤4}. (CRA)∩B=B=[2,4]. 点评: 本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算,二次函数的性质,属于 基础题.
2 2 2 2

21.已知函数 f(x)=

是奇函数,

(1)求实数 a 的值 (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并用定义加以证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(0)=0,解出即可; (2)根据题目要求,利用定义证明即可. 解答: (1)解:∵f(x)是奇函数, ∴f(0)=0,∴a=﹣1; (2) :由(1)得: f(x)= =﹣1+ ,

证明:?x1,x2∈R,令 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= ,

∵x1<x2,∴





∴f(x1 )>f(x2) , ∴f(x)在 R 上是减函数. 点评: 本题考查了函数的单调性的证明问题, 利用定义证明是基本的方法之一, 本题是一 道基础题. 22.设二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(﹣1)=0,对于任意的实数 x 都有 f(x)﹣x≥0, 并且当 x∈(0,2)时,f(x)≤ .
2

(1)求 f(1)的值; (2)求证:a>0,c>0; (3)当 x∈(﹣1,1)时,函数 g(x)=f(x)﹣mx,m∈R 是单调的,求 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)由 f(x)≤ 可得 f(1)≤1,由 f(x)﹣x≥0 可得 f(1)≥1,故有

(1)=1. (2)f(x)﹣x≥0 恒成立,可得 a>0,且 f(0)﹣0≥0 恒成立,从而得到 c≥0. (3)由题意得,g(x)的对称轴在区间(﹣1,1)的左边或右边,即 ≥1,解出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(﹣1)=0,∴a+c=b,函数 f(x)=ax + (a+c)x+c. ∵当 x∈(0,2)时,f(x)≤ ,∴f(1)≤1.
2 2

≤﹣1,或

又对于任意的实数 x 都有 f(x)﹣x≥0,∴f(1)﹣1≥0,f(1)≥1,故 f(1)=1. (2)由题意得,f(x)﹣x=ax +(a+c﹣1)x+c≥0 恒成立,∴a>0,且 f(0)﹣0≥0 恒成立, ∴c≥0. 综上,a>0,c≥0. 2 (3)∵g(x)=f(x)﹣mx=ax +(a+c﹣m)x+c,当 x∈(﹣1,1)时,g(x)是单调的, ∴ ≤﹣1,或 ≥1,∴m≤c﹣a,或 m≥3a+c,
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故 m 的取值范围为(﹣∞,c﹣a]∪[3a+c,+∞) . 点评: 本题考查二次函数的性质,解分式不等式,正确使用题中条件是解题的关键.


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