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2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第四章第3讲知能训练轻松闯关

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→ → 1.已知 A,B,C 为平面上不共线的三点,若向量AB=(1,1),n=(1,-1),且 n· AC=2, → 则 n· BC等于( ) A.-2 B .2 C.0 D.2 或-2 → → → → → 解析:选 B.n· BC=n· (BA+AC)=n· BA+n· AC=(1,-1)· (-1,-1)+2=0+2=2. 2.(2016· 江西省九校联考)在△ABC 中,AB=AC=3,∠BAC=30°,CD 是边 AB 上的高, → → 则CD·CB=( ) 9 9 A.- B. 4 4 27 27 C. D.- 4 4 3 → → → → → → → → → 解析: 选 B.CD· CB=CD· (CA+AB)=CD· CA+0=|CD|· |CA|· cos∠ACD= ×3×cos 60° 2 9 = . 4 1 3.已知|a|=1,a· b= ,|a-b|2=1,则 a 与 b 的夹角等于( ) 2 A.30° B.45° C.60° D.120° 解析:选 C.设 a 与 b 的夹角为 θ, 1 因为 a· b=|a||b|· cos θ= ,且|a|=1, 2 1 所以|b|cos θ= .① 2 又|a-b|2=|a|2+|b|2-2a· b=1,即 1+|b|2-1=1,故|b|=1.② 1 由①②得 cos θ= . 2 又 θ∈[0°,180°],所以 θ=60°.故选 C. 1 4.设 e1,e2,e3 为单位向量,且 e3= e1+ke2(k>0),若以向量 e1,e2 为邻边的三角形的面 2 1 积为 ,则 k 的值为( ) 2 3 2 A. B. 2 2 5 7 C. D. 2 2 1 1 解析:选 A.设 e1,e2 的夹角为 θ,则由以向量 e1,e2 为邻边的三角形的面积为 ,得 ×1×1 2 2 1 1 ×sin θ= ,得 sin θ=1,所以 θ=90°,所以 e1·e2=0.从而对 e3= e1+ke2 两边同时平 2 2 1 2 3 3 方得 1= +k ,解得 k= 或- (舍去). 4 2 2 → → → → → → → → 5.已知AB,AC是非零向量,且满足(AB-2AC)⊥AB,(AC-2AB)⊥AC,则△ABC 的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 → → → → → → → → → → 解析:选 C.因为(AB-2AC)⊥AB?(AB-2AC)·AB=0,即AB·AB-2AC·AB=0. → → → → → → → → → → → → → → (AC-2AB)⊥AC?(AC-2AB)· AC=0,即AC·AC-2AB·AC=0,所以AB·AB=AC·AC= → → AB·AC 1 → → → → 2AB·AC,即|AB|=|AC|,而 cos A= = , → → 2 |AB||AC| 所以∠A=60°,所以△ABC 为等边三角形. → → → → 6.(2016· 沈阳一模)在△ABC 中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC → → 的三等分点,则AE·AF=( ) 8 10 A. B. 9 9 25 26 C. D. 9 9 → → → → → → → → → → → → 解析:选 B.因为|AB+AC|=|AB-AC|,所以AB2+AC2+2AB·AC=AB2+AC2-2AB·AC, → → → → 即有AB· AC=0, 因为 E, F 为边 BC 的三等分点, 不妨设 E 为靠近

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