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BX2--4.1.2圆的一般方程

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复习回顾:
圆的标准方程 是什么?

2 ? ( y ?b) 2 ? 2 ( x ? a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

r

方程x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0表示什么图形?
2 2

方程x ? y

? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0表示什么图形?
2 2

方程x ? y +Dx ? Ey ? F ? 0在什么条件下表示圆?
2 2

思考: 下面的方程是否为圆的方程

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

证明: 由x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

2 2 D 2 ? E 2 ? 4F D E (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

(1)当D ? E ? 4 F ? 0时,
2 2

方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0表示圆心在
2

2

D E 1 (? ,? )半径, 2 2 2
2 2

D ? E ? 4 F的圆
2 2

(2)当D ? E ? 4F ? 0时,

方程x ? y
2

2

2

D E ? Dx ? Ey ? F ? 0表示点(? ,? ) 2 2

(3)当D ? E ? 4 F ? 0时,
2

方程x ? y

2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0不表示任何图形.

[定义] : 圆的一般方程

x ?y
2 2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0
2

( D ? E ? 4 F ? 0)
一般式有那些特点 ?
(1)

x 和y
2

2

的系数相同,且不等于零;

(2) 没有 xy 项; (3)

D ? E ? 4F>0
2 2

思 考
圆的标准方程与一般方程各有什么优点?
标准方程:明确地指出了圆心和半径; 一般方程:突出了代数方程的形式结构, 更适合方程理论的应用

例题分析
例1:下列方程各表示什么图形?

原点(0,0) (1) x ? y ? 0 ________
2 2

(2)x ? y ? 2x ? 4y ? 6 ? 0____
2 2 2 2 2

(3)x ? y ? 2ax ? b ? 0________
(2)圆心为(1,?2), 半径为 11的圆.
(3)圆心为(a,0), 半径为

a ? b 的圆.
2 2

例题分析
例2:求下列各圆的半径和圆心坐标.

(1) x ? y ? 6 x ? 0, (2) x ? y ? 2by ? 0,
2 2 2 2

(3) x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0
2 2 2

(1)圆心(3,0),半径3. 解:
(2)圆心(0,-b),半径|b|.
(3)圆心( a, 3a ), 半径 | a | .

例题分析
求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程. 例3:

[分析]:若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用 待定系数法求解.

设圆的方程为x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 解:
2 2

把点A,B,C的坐标代入得方程组

6 ? 6D ? F ? 0 2 8 ? 8E ? F ? 0
2

F ?0

D ? ?6, E ? ?8.

所求圆的方程为:

2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 x

例题分析
例4、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.

例题分析
例5、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y

M

B

A
o x

课 (1)已知圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0的圆心为 ___ ___ 4 堂 (?2,3), 半径为4, 则D ? ___ E ? -6 F ? -3 练 (2) x 2 ? y 2 ? 2ax ? y ? a ? 0是圆 1 习 a?
2 2

的条件是 _____ 2

课堂小结

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0)
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]
配方 ????

一般方程

???? 展开

标准方程(圆心,半径)

(3)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.

课堂小结

(4)数学方法:配方法 用配方法求出圆的 圆心坐标和半径. (5)数学思想 :转化思想 ,分类讨论思想 , 数形结合思想 ,方程的思想(待定系数法) . (6) 用待定系数法求圆的方程的步骤: 1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; 2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程; 3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代 入所设方程,就得要求的方程.

辛苦一假期,考个好成绩,自己高兴,家长高兴,老师也高兴, 何乐而不为?!

假期作业:

1.练习册、活页做完;
2.做好复习,回顾课本;

3.回看做过的题:练习册和错题本;
4.练习题做完,答案在年级公共邮箱: hbgzshuxue@163.com 密码2015shuxue


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