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辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 文


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2014-2015 学年度下学期期末考试 高一数学(文科)试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 卷Ⅰ 一、选择题:本大 题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知 sin ? ? 0, cos?

? 0 ,则 ? 的终边落在 (A)第一象限

? ? ? ? 2. 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,1) ,则 a ? 2b ?
(A) (0,5) (B) (5,?1)

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D)第四象限

(C) (?1,3)

(D) (?3,4)

3. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a1 ? (A) ?10 4 已知 sin ? ? (B) ?8 (C) ?6 (D) ?4

1 ? ,则 cos( ? ? ) ? 3 2
(B) ?

(A)

2 2 3
?

2 2 3

(C) ?

1 3

(D)

1 3

5. tan75 ? (A) 2 ? 3 (B) 1 ? 3

(C)

3? 3 3

(D) 2 ? 3

6.若等比数列前 n 项和为 S n ,且满足 S 3 ? S 2 ? S1 ,则公比 q 等于 (A) 1 (B) ? 1 (C) ? 1 (D) 不存在

7.在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c ,且 a ? 1, b ? 3,A ? 30o , 则B = (A) 60 或 120
o o

(B) 60

o

(C) 120

o

(D) 30 或 150

o

o

8.已知点 (?3,?1) 和 (4,?6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围为
1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ( A) (?24,7) (C) (?7,24) (B) (??,?7) ? (24,??) (D) (??,?24) ? (7,??)

9. 在等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a9 ? a10 ? a11 ? a12 的值为 (A) 5 (B) 7 (C) 9
?

(D) 11

10. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c , A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为

3 ,则 a ?
(A) 2 (B) 10 (C) 2 3 (D)

13

11. 已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 (A) 4 2 (B) 6

1 2 ? 的最小值为 a b
(C) 3 ? 2 2 (D)

20 3

12. 关于 x 的方程 x2 ? (a ? 2b) x ? 3a ? b ? 1 ? 0 的两个实根分别在区间 (?1, 0) 和 (0,1) 上, 则

a ? b 的取值范围为 3 1 (A) ( ? , ) 5 5

(B) ( ?

2 1 , ) 5 5

(C) (? , ? )

3 5

2 5

(D) ( ? , )

1 1 5 5

卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知非零向量 a, b 满足| a ? b |=| a ? b |,则< a, b >=

? ?

?

?

?

?

? ?



14. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c ,若 a ∶ b ∶ c ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? ________ .
2 n ? 15. 已知等比数列 ?an ? 前 n 项的和为 2 ? 1 (n ? N ) ,则数列 an 前 n 项的和为_

? ?

.

16. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32, an?1 ? an ? n ( n ? N ) ,则
?

an 取最小值时 n ? n

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)关于 x 的不等式 mx2 ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} ,求 a , b 的值.
2

18.(本小题满分 12 分) 已知 ? ? (

?

2 (Ⅰ) 求 sin ? ? cos ? 的值;
(Ⅱ) 求 sin(? ?

, ? ), sin ? ? cos ? ?

1 . 5

?
3

) 的值.

19.(本小题满分 12 分) 某厂生产甲产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨 和 3 吨,生产乙产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 1 吨.甲、 乙产品每吨可获利润分别为 3 千元和 2 千元.现有 12 吨原料 A, 8 吨原料 B.问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使 利润总额达到最大.

20. (本小题满分 12 分)
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 已知 ?ABC 中, AD 是 ?BAC 的角平分线,交 BC 于 D , BD ? 2 DC . (Ⅰ)求 AB : AC 的值; (Ⅱ)若 ?BAC ? 60 ,求 ?C .
?

A

B

D

C

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) , a1 ? 2 . (Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 S n (n ? N ? ) .

22. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? (?2 sin x, 3(cosx ? sin x)) , b ? (cosx, cos x ? sin x) , 函 数

? ?

?

?

? ? f ( x ) ? a ? b ( x ? R) .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)已知数列 an ? n f (
2

n? 11? ? )(n ? N *) ,求 {an } 的前 2 n 项和 S 2 n . 2 24

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014-2015 学年度下 学期期末考试 高一数学(文科)参考答案 一.选择题 BDBCA CACAD CA 二.填空题

90?

1200

4n ? 1 3

8

三.解答题 17. (Ⅰ)关于 x 的不等式 mx2 ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 的解集为 R , 所以(1) ? ( Ⅱ )

?m ? 0 解得 ? 9 ? m ? ?1 , (2) m ? 0 时不符合题意. ……………………5 分 ?? ? 0
2

关 于 x 的 不 等 式 x ? ax ? b ? 0 的 解 集 为 {x | x ? 2或x ? 1} , 所 以

1 ? 2 ? ?a,1? 2 ? b ,所以 a ? ?3, b ? 2 …………………………………10 分
1 24 ,所以 2sin ? cos ? ? ? ,………………………2 分 25 25 ? 49 7 2 由 ? ? ( , ? ) ,所以 (sin ? ? cos ? ) ? ,所以 sin ? ? cos ? ? .…… ………………6 分 2 25 5
18.解:(Ⅰ) (sin ? ? cos ? ) ?
2

(Ⅱ)

所以 sin(? ?

?
3

)?

2 3 3 …………………………………12 分 ? 5 10

19.解:计划生产甲产品和乙产品分别为 x , y 吨,

?x ? N , y ? N ? 则 x , y 满 足 的 约 束 条 件 为 为 ? 2 x ? 2 y ? 12 , 总 利 润 ? 3x ? y ? 8 ?

y

A

z ? 3x ? 2 y .………………………………4 分
约束条件如图所示,…………………………………8 分 恰好在点 A(1,5) 处 z ? 3x ? 2 y 取得最大值,即计划生产甲产品 和乙产品分别为 1 吨和 5 吨能使得总利润最大. …………………………………12 分

O

x

20.解:

AB BD AC CD ? ? ,在 ?ACD 中, sin ?ADB sin ?BAD sin ?ADC sin ?CAD 因为 AD 是 ?BAC 的角平分线, 所以 AB : AC ? BD : DC ? 2 :1 …………………… …………6
(Ⅰ)在 ?ABD 中,
5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分
2 2 2 2 (Ⅱ)设 AC ? b ,则 AB ? 2b ,所以 BC ? b ? 4b ? 2b ,所以 BC ? 3b ,………………9

分 所以 cos ?C ? 0, ?C ? 90? .…………………………………12 分 21.解:(Ⅰ) an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) 可得 an?1 ?1 ? 2(an ?1)(n ? N ? ) ,又 a1 ? 1 ? 1 ,所以 数列 {an ? 1} 为公比为 2 的等比数列,………………………………… 2 分 所以 an ?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? 1 (n ? N ? ) …………………………………4 分 (Ⅱ) nan ? n2n?1 ? n , 设 Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ????? (n ?1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1 则 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ????? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n 所以 Tn ? ?1 ? (21 ? 22 ???? ? 2n?2 ? 2n?1 ) ? n ? 2n

? n ? 2n ? 2n ? 1 ? (n ?1) ? 2n ? 1 …………………………………10 分
n(n ? 1) ? 1 (n ? N ? ) …………………………………12 分 2 2? ? ? ) 22 解(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? 3 ? 2? ? 7? ? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,解得 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z 2 3 2 12 12
所以 S n ? ( n ? 1)2 ?
n

………………………………………………………4 分 (Ⅱ) a n ? n f (
2

n? 11? ? ? ) ? 2n 2 sin( n? ? ) ………… ………………………………………6 2 24 4

分 所以 S 2n ?
2

2[12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ] ……………………8 分
2

又 (2n ? 1) ? (2n) ? ?4n ? 1……………………………………………………………… …10 分 所以 S 2 n ?

2?

(?3 ? 4n ? 1)n ? 2 (?2n 2 ? n) ………………………………………12 分 2
6


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