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数列的定义


第三章 数列
3.1 数列

1,2,3,4,5,· · ·n, · · · .(1)
1 1 1 1 1 1, , , , ,· · · ,· · ·. (2) 2 3 4 5 n

1,1.4,1.41,1.414, · · ·. (3) 4,5,6,7,8,9,10.

2 ? 1 . 414

21 -1,1,-1,1, · · ·. (5)
1,1,1,1, · · ·. (6)

(4)

定义:
按一定顺序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的第1项(首项), 第2项,· · · · · · ,第n项, · · · · · · 。

根据数列的定义知数列是按一定顺序排列 的一列数,因此若数列中被排列的数相同,但 次序不同,则不是同一数列。
如: 数列(4)4,5,6,7,8,9,10。改为 数列(4’)10,9,8,7,6,5,4。 它们不是同一数列。 又如:数列(5)-1,1,-1,1,· · · 。改为 数列(5’)1,-1,1,-1,· · · 。 则它们也不是同一数列。

数列中的每一个数都对应着 一个序号,反过来,每个序号也都 对应着一个数。如数列(4) 项 4 5 6 7 8 9 10

序号

1

2

3

4

5

6

7

这说明:数列的项是序号的函 数,序号从1开始依次增加时,对 应的函数值按次序排出就是数列, 这就是数列的实质。

数列的一般形式可以写成:

a1, a2 , a3 ,?an ,?,
其中 an是数列的第n项,上面的数列又可简记为 如数列(1) 1, 2, 3, 4, 5, · · · · · · 可简记为 如数列(2)

?an ?

n

?n?

1 1 1 1? 1, , , ? , , ? 可简记为 ? ? ? 2 3 n ?n ?

如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表示,这个公式就叫做这 个数列的通项公式。
1,2,3,4,5,· · ·n, · · ·.

an ? n
1 an ? n

1 1 1 1 1 1, , , , ,· · · ,· · ·. 2 3 4 5 n
4,5,6,7,8,9,10.

an ? n ? 3(n ? 7)

一个数列,它的项数可以是有限的也可以 是无限的,根据数列的项数是有限的还是 无限的,数列又分为有穷数列和无穷数列。 我们规定:
项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列

如数列(4)是有穷数列
如数列(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 都是无穷数列。

an

数列(4) 用图象表 示:

10 9 8 7 6 5 4

哇!图象也 可以是一些 点呀!

3 2 1

O

1

2

3

4

5

6

7

n

an
1

1 2

数列(2) 用图象表 示

1 4 1 8

O

1

2

3

4

5

6

7

n

例1 根据下面数列?an ?的
通项公式,写出它的前5项:
( 1)
n an ? n ?1

(2) an ? ?? 1? ? n
n

解:(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列?an ?的前5项为 1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6 (2)在通项公式中依次取n=1,2, 3,4,5,得么数列?an ? 的前5项为

-1,2, - 3,4, - 5.

例2 写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; 解:此数列的前四项1,3,5,7都 是序号的2倍减去1,所以通项公式 是:

an ? 2n ? 1

2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 ( 2) , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

解:此数列的前四项的分母都
是序号加1,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是:

an

? n ? 1? ?

? 1 n?n ? 2 ? ? n ?1 n ?1
2

1 1 1 1 , ,? , . ( 3) ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5
解:此数列的前4项的绝对值都等
于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以通项公式是:

? ? 1? an ? n?n ? 1?
n

思考题:
1、 写出下列数列的一个通项公式: (1)、1,-1,1,-1;

(2)、2,0,2,0;
(3)、9,99,999,9999; (4)、0.9,0.99,0.999,0.9999。

答案: (1) an ? ?? 1?

n ?1 n ?1

(2) an ? 1 ? ?? 1?
n a ? 10 ?1 (3 ) n

(4) an ? 1 ? 10

?n

思考题:
2、数列2,4,8,16· · · 的通项 公式一定是

an ? 2

n

吗?

小结:
本节课学习的主要内容有: 1、数列的定义; 2、数列的通项公式; 3、数列的实质; 4、数列通项公式的求法等。

作业:
P114 习题3.1的1、2、3.

中央电教馆资源中心制作
2003.11


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